ТВ Практические занятия (математики)(1-12)(16.11.14)

Искомые вероятности равны

P { < 0,4} = P { = 0,1} + P { < 0,2} + P { < 0,3} = = 0,2 + 0,15 + 0,1 = 0,45;

P {6 0,2 < 0,5} = P { = 0,2} + P { < 0,3} + P { < 0,4} = = 0,15 + 0,1 + 0,35 = 0,6.

Пример 8.4. Пусть случайная величина имеет закон распределения

Найти закон распределения = sin 2 .

Решение. Очевидно, что выполнены равенства

{ = −1} = { = 3} ;

{ = 0} = { = 2} { = 4} ;

{ = 1} = { = 1} .

Следовательно закон распределения случайной величины имеет вид

P { = −1} = P { = 3} = 1/4;

P { = 0} = P { = 2} + P { = 4} = 1/8 + 1/2 = 5/8;

P { = 1} = P { = 1} = 1/8.

Таким образом, получим ряд распределения случайной величины

Пример 8.5. Во время соревнований по биатлону участнику требуется поразить на огневом рубеже 5 мишеней, имея для этого 5 основных и 2 дополнительных патронов. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле составляет 0,6. Найти закон распределения случайных величин — числа пораженных мишеней? — числа использованных патронов.

Решение. Обратимся к биномиальным вероятностям, будем считать поражение мишени «успехом», тогда вероятность успеха равна = 0,6, вероятность «неудачи» — = 1 − 0,6 = 0,4. Так как если поражено меньше пяти мишеней, то выстрелов сделано ровно семь, то используя формулы для биномиальных вероятностей получим

P { = 0} = 0,6 (7, 0) = 700,600,47 = 0,47;

P { = 1} = 0,6 (7, 1) = 710,610,46 = 7 · 0,610,46;

P { = 2} = 0,6 (7, 2) = 720,620,45 = 21 · 0,620,45;

P { = 3} = 0,6 (7, 3) = 730,630,44 = 35 · 0,630,44;

P { = 4} = 0,6 (7, 4) = 740,640,43 = 35 · 0,640,43.

Если поражено ровно пять мишеней, то дела обстоят несколько иначе. В данном случае после поражении всех пяти мишеней стрельба прекращается. Возможны случаи

—все первые пять выстрелов были удачными,

—среди первых пяти выстрелов ровно четыре удачных, тогда производится еще два выстрела до первого «успеха»,

—среди первых пяти выстрелов ровно три удачных, тогда оба дополнительных выстрела должны быть удачными.

Следовательно,

P { = 5} = 0,6 (5, 5) + 0,6 (5, 4) (0,6 + 0,6 · 0,4) + 0,6 (5, 3) 0,62 =

=550,650,40 + 540,640,41 (0,6 + 0,6 · 0,4) + 530,630,420,62 =

=550,65 + 540,650,4 + 540,650,42 + 530,650,42.

Найдем закон распределения случайной величины — числа использованных патронов. Максимальное значение, которое может принимать , равно семи, причем это значение принимает если среди первых шести выстрелов меньше пяти удачных. Следовательно,

4

∑

P { = 7} = 0,6 (6, ) = 1 − 0,6 (6, 5) − 0,6 (6, 6) =

=0

= 1 − 6 · 0,650,4 − 0,66 = 1 − 3 · 0,65.

Случайная величина примет значение шесть если среди первых пяти выстрелов удачных четыре удачных и шестой удачный

P { = 6} = 0,6 (5, 4) · 0,6 = 5 · 0,65 · 0,4 = 2 · 0,65.

Случайная величина примет значение пять если первые пять выстрелов все удачные

P { = 5} = 0,6 (5, 5) = 0,65.

Пример 8.6. Число сообщений , поступающих на пульт диспетчера в течение часа, подчиняется закону Пуассона с параметром = 5 (сообщений в час). Найти вероятности следующих событий: а) P { = 0}; б) P { > 3}.

Решение. Так как подчиняется закону Пуассона, то

{ = } = − .!

Следовательно

P { = 0} = 50 −5 = −5, 0!

P { > 3} = 1 − P { = 0} − P { = 1} − P { = 2} − P { = 3} =

= 1 − 50 −5 − 51 −5 − 52 −5 − 53 −5 .

0! 1! 2! 3!

Пример 8.7. Рабочий обслуживает 4 станка, расположенных по кругу. Расстояние между соседними станками равно 1м. Рабочий обслуживает станки в порядке возникновения отказов, после устранения неполадки рабочий остается у этого станка. Вероятность возникновения требования об обслуживании для каждого станка одна и та же и равна 0,25. Станки отказывают независимо друг от друга. — длина перехода рабочего для ликвидации очередного отказа, —

двух первых отказов. Найти распределения случайных величин а) ; б) .

Решение.

Пусть в начальный момент времени рабочий находится у первого станка (на рисунке (1)). Если сломается первый (1)станок то, равно нулю. Тогда, чтобы было равно единице должен выйти из строя станок (2) или (4). И, наконец, случайная величина равна двум если выйдет из строя четвертый (4) станок. Таким образом, P { = 0} = 0,25; P { = 1} = 0,25 + 0,25 = 0,5;

P { = 2} = 0,25. Следовательно

который проходит рабочий к вышедшему из строя станку равен соответственно 0, 1 и 2. Тогда справедливы равенства

P { = 0} = P { 0} P { 0} = 0,25 · 0,25 = 0,0625;

P { = 1} = P { 0} P { 1} = P { 1} P { 0} = 2 · 0,5 · 0,25 = 0,25;

P { = 2} = P { 0} P { 2} + P { 2} P { 0} + P { 1} P { 1} =

= 0,5 · 0,5 + 0,25 · 0,25 + 0,25 · 0,25 = 0,375;

Пример 8.8. Найти распределение случайной величины = min { , }, где

имеет геометрическое распределение.

Решение. Пусть событие = { = }, тогда

— если < , то = { = };

3.Опыт состоит в трехкратном подбрасывании симметричной игральной кости. Случайная величина равна количеству появлений пяти очков на верхней грани. Найти распределение случайной величины .

4.Распределение дискретной случайной величины определяется форму-

лами:

{ = } = 14, = −3, −1, 0, 3.

Найти распределение случайных величин: а) 1 = − ; б) 2 = | |; в) 2 = 2.

5. Распределение случайной величины определяется формулами:

{ = } = ( + 1), = 1, 2, . . .

Найти: а) постоянную ; б) { ≤ 3}; в) { 1 ≤ ≤ 2}.

6. Распределение случайной величины определяется формулами

{ = } = ( + 1) ( + 2), = 1, 2, . . .

Найти: а) постоянную ; б) { ≥ 3}; в) { 1 ≤ ≤ 2}.

7.Бросается пара симметричных игральных костей. Пусть — число очков на первой игральной кости, — на второй. Найти распределение случайных величин:

а) + ; б) − ; в) max { , }; г) min { , }; д) max { , } − min { , }.

8.Случайная величина имеет распределение Пуассона с параметром , а случайная величина такая, что условная вероятность

{ = / = } = ( ) − , = 0, 1, . . . .

!

Найти безусловное распределение .

9.Если посетитель тира «Улыбка удачи» при 10 выстрелах поражает 10 мишеней, то ему в качестве приза выдают еще 5 пуль. Некто, попадающий в мишень с вероятностью 0,9, купил 10 пуль. Пусть случайная величина равна числу пораженных им мишеней. Найти распределение .

10.Дискретная случайная величина равна числу мальчиков в семьях с 5

детьми. Пусть вероятности рождения мальчика и девочки одинаковы. Найдите а) закон распределения ; б) постройте многоугольник распределения; в) запишите и постройте функцию распределения; г) найти вероятность события — в семье не менее 2, но не более 3 мальчиков; д) в семье не более 3 мальчиков; е) в семье более одного мальчика.

8.4Задания для самостоятельной работы

1.Из множества чисел {1, 2, . . . , } на удачу три числа, выбор осуществляется без возвращения. Пусть — наименьшее из них. Найти распределение случайной величины .

2.Пусть случайная величина, имеющая биномиальное распределение с па-

= 12 1 + (−1) .

3.Пусть случайная величина, имеющая распределение Пуассона с пара-

4.Найти распределение случайной величины = max { , }, где — геометрическая случайная величина.

5.Распределение случайной величины определяется формулами:

{ = } = ( − 1) ( + 1), = 2, 3, . . .

Найти: а) постоянную ; б) { ≥ 4}; в) {2 ≤ ≤ 4}.

6. Распределение случайной величины определяется формулами

{ = } = ( − 2) ( + 2), = 3, 4, . . .

Найти: а) постоянную ; б) { < 5}.

7.Два баскетболиста поочередно бросают мяч в корзину до тех пор, пока один из них не попадет. Найти распределения случайного числа бросков, производимых каждым из баскетболистов, если вероятность попадания для первого игрока равна 0,4, для второго — 0,6.

8.Двое стреляют каждый по своей мишени, делая независимо друг от друга по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка 0,6,

для второго — 0,2. Пусть случайная величина равна разности между числом попаданий в мишень первым стрелком и числом попаданий в мишень вторым стрелком. Найдите закон распределения. Найдите функцию распределения и постройте многоугольник распределения.

Второй центральный момент имеет собственное название.

Определение 9.4. Пусть ( , F, P)— вероятностное пространство, ( )—

случайная величина на нем. Дисперсией случайной величины ( ) называют

D = M ( − M )2 .

Определение 9.5. Величина

√

= D

называется среднеквадратичным отклонением.

Свойства математического ожидания.

1.Если P { = } = 1, то M = .

2.Если | | ≤ , то M | | ≤ .

3.M ( + ) = M + M , если M и M существуют.

Свойства дисперсии ожидания.

1.D = M 2 − (M )2 .

2.D = 0, если P { = } = 1.

3.D = 2 D .

9.2Примеры решения задач

Пример 9.1. Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины, которая имеет биномиальное распределение.

Решение. Имеем P { = } = − , = 0, . Тогда