ТВ Практические занятия (математики)(1-12)(16.11.14)
.pdf90 |
Занятие 10. Абсолютно непрерывные случайные величины |
а) Найти постоянную , б) функцию распределения случайной величины ,
в) вероятность {0, 5 ≤ < 0, 7}.
5. На окружность радиуса брошена точка. Найти Функцию распределения и плотность абсциссы попадания точки.
Занятие |
|
11 |
Преобразования случайных
величин
11.1Основные факты и определения
Следующая теорема дает метод нахождения распределений функций от случайных величин.
Теорема 11.1. Если случайная величина имеет плотность распределения ( ), то для любого борелевского множества имеет место равенство
∫
{ : ( ) } = ( ) .
11.2Задания для аудиторной работы
1.Случайная величина принимает с равной вероятностью любое из конечного числа значений = , = 0, . Найти закон распределения случайной величины = sin .
2.Пусть ( ) функция распределения абсолютно непрерывной случайной
величины . Выразить через ( ) функции распределения случайных величин
= 4 2 − 9, = | − 3|, = −2 .
3.Определить функцию и плотность распределения величины = ln , если
— случайная величина, равномерно распределенная на интервале (0; 3).
4.Определить функцию и плотность распределения величины = | |, если
— случайная величина, равномерно распределенная на интервале (−1; 2).
5.Случайная величина имеет распределение Коши с плотностью ( ) =
1 |
|
|
1 |
|
|
2 |
1 |
|
|
|
. Найти распределение случайных величин 1 |
= |
|
, 2 |
= |
|
, 3 = |
|
. |
( 2+1) |
|
1+ 2 |
1+ 2 |
91
92 |
Занятие 11. Преобразования случайных величин |
6. Пусть случайная величина имеет бета–распределение с параметрами
( 1, 2). Найти распределение случайных величин а) 1 = 1 − ; б) 2 = 1− .
11.3Задания для самостоятельной работы
1.Случайная величина равномерно распределена на интервале (0; 3). Определить функцию и плотность распределения величины = | − 0, 2|.
2.Случайная величина принимает значения = 8 , = 0, 8, с вероятностями { = } = 45+1. Найти закон распределения случайной величины
= cos 2 .
|
3.Пусть случайная величина, имеющая биномиальное распределение |
|
с |
параметрами |
и . Найти распределение случайной величины = |
21 |
1 + (−1) . |
|
|
(4. Случайная) |
величина имеет показательное распределение с параметром |
. Найти распределение случайных величин
а) 1 = 2;
√
б) 2 = — дробная часть; в) 3 = [ ] (целая часть).
5. Случайная величина имеет равномерное распределение на отрезке [0; 1]. Найти распределение случайных величин:
а) 1 = 2 + 1; б) 2 = − ln ; в) 2 = − ln (1 − ).
6. Построить пример такого абсолютно непрерывного распределения слу-
чайной величины с плотностью распределения ( ) и такой непрерывной функции ( ), что распределение случайной величины = ( ) не вырождено и дискретно.
Занятие |
|
12 |
Числовые характеристики
АНСВ
12.1Основные факты и определения
Определение 12.1. Определение. Пусть ( , F, ) — вероятностное пространство, ( ) — абсолютно–непрерывная случайная величина на нем с плотностью распределения вероятностей ( ). Математическим ожиданием
абсолютно–непрерывной случайной величины ( ) называется
+∞ |
+∞ |
|
= ∫−∞ |
( ) = ∫−∞ |
( ) , |
если интеграл справа сходится абсолютно.
Если ( ) — абсолютно непрерывная случайная величина и ( ) — некоторая борелевская функция, тогда ( ) также является случайной величиной. И в этом случае математическое ожидание ( ) вычисляется по формуле
∫ +∞
( ) = ( ) ( ) .
−∞
Пример 12.1. Пусть случайная величина имеет равномерное распределение на отрезке [ ; ], т.е. плотность распределения равна
{
1 , [ ; ] ;
( ) = −
0, / [ ; ] .
Вычислим ее математическое ожидание и дисперсию.
+∞ |
|
|
|
2 2 |
|
+ |
|
|
Решение. Тогда = ∫−∞ |
( ) = ∫ |
|
|
= |
2( −− ) |
= |
|
. |
− |
2 |
93
94 |
Занятие 12. Числовые характеристики АНСВ |
Как мы видим математическое ожидание равномерной случайной величины является серединой отрезка и не зависит от его длинны.
Далее, найдем второй центральный момент
2 = |
+∞ 2 ( ) = |
|
2 |
= |
3 − 3 |
= |
2 + + 2 |
. |
|
∫ |
− |
3 ( − ) |
|
||||||
|
∫−∞ |
|
|
|
3 |
|
И, наконец, дисперсия равна
= 2 |
− |
( )2 = |
2 + + 2 |
− ( |
+ |
) |
2 = |
( − )2 |
. |
|
3 |
2 |
12 |
||||||||
|
|
|
|
Дисперсия равномерной случайной величины не зависит от расположения отрезка, а зависит лишь от его длины.
Пример 12.2. Пусть случайная величина имеет показательное распределение с параметром . Найдем ее математическое ожидание.
Решение. В данном случае
|
|
|
|
( ) = { 0, |
− |
|
0 . |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
, > 0 ; |
|
|
|
|
|
|||||
|
∫−∞ |
|
|
|
∫0 |
|
|
|
|
|
≤ |
|
|
|
|
|
= |
( ) = |
∞ |
− = − ∫0 |
+ |
∞ |
|
− |
= |
||||||||
|
+∞ |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
|
|
|
+ |
∞ |
+∞ |
− = |
1 |
|
|
|
|
||||||
= − − 0 |
+ ∫0 |
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12.2Задания для аудиторной работы
1.Случайная величина равномерно распределена на отрезке [0, ]. Найти: а) sin , cos ;
б) sin , cos ;
в) Найти sin , cos при любом целом ≥ 1; г) асимптотику sin , cos при → ∞.
2.Случайная величина имеет треугольное распределение (распределение Симпсона) на отрезке [ ; ], если ее плотность распределения веро-
12.3. Задания для самостоятельной работы |
95 |
||||||
ятностей имеет вид: |
{ 0−, |
|
|
|
|
||
( ) = |
|
−[ ; ] . |
|
||||
|
|
2 |
|
− |
2 |
| − |
− 2 | , [ ; ] ; |
|
|
|
( )2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
Найти математическое ожидание .
3. Найти математическое ожидание и дисперсию нормальной случайной величины с параметрами ( , 2).
4Случайная величина имеет нормальное распределение ( , 2) . Найдите | − | .
5. Случайная величина имеет гамма–распределение с параметрами
( , ) ( > 0, > 0), если плотность распределения вероятностей имеет вид
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) = { 0, |
|
0, |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Γ( ) |
−1 − , > 0; |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≤ |
|
|
|
|
|
здесь ( ) — гамма функция аргумента . Найти математическое ожидание |
|||||||||||||||
и дисперсию . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
6. Пусть — случайная величина, такая что lim |
( ) = 0 и |
||||||||||||||
|
lim (1 |
− |
|
|
( )) = 0 |
|
|
|
|
|
→−∞ |
|
||||||
|
→ |
+ |
∞ |
|
|
|
|
|
|
. Докажите, что в этом случае справедливо равенство |
||||||||
|
|
−0∞ ( ) + 0+∞ (1 − ( )) |
|
|||||||||||||||
= − |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
Здесь∫ |
|
|
( ) |
— |
|
∫ |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
функция распределения . |
|
7. Сторона квадрата, имеющая длину , измерена с погрешностью , равно-
мерно распределенной на отрезке [− , ] . Найти среднее значение и дисперсию площади квадрата, вычисленной по результатам измерения.
12.3Задания для самостоятельной работы
|
1. Случайная величина имеет функцию распределения ( ) = |
1 |
+ |
|
|
2 |
|
1 |
( + 1). Найти ее математическое ожидание и дисперсию, если они су- |
||
|
|
|
|
ществуют.
2.Случайная величина равномерно распределена на интервале [0; ], найти параметр , если = 4.
3.Случайная величина имеет бета–распределение с параметрами ( , ) ( , ), если плотность распределения вероятностей имеет вид
96 |
Занятие 12. Числовые характеристики АНСВ |
( ) = |
{ 0, / [0, 1] . |
− |
) −1 , |
|
|
||
|
|
Γ( + ) |
−1 (1 |
|
|
[0, 1] ; |
|
|
|
Γ( )Γ( ) |
|
|
|
|
|
здесь ( ) — гамма функция. Найти математическое ожидание и диспер-
сию .
4.Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, плотность распределения вероятностей которой имеет вид ( ) = 12 −| | (распределение Лапласа).
5.Случайная величина имеет распределение Парето с параметрами
( , 0) ( > 0, 0 > 0), если плотность распределение вероятностей имеет вид:
( ) = { |
|
|
( |
0 |
+1 |
|
. |
|
00, |
|
0. |
||||||
|
|
|
|
) |
|
, |
> 0; |
|
|
|
|
|
|
|
≤
Это распределение встречается в задачах экономической статистики. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины .
6. Случайная величина имеет распределение Вейбула–Гнеденко с параметрами ( , ) ( > 0, > 0), если плотность распределение вероятностей имеет вид:
{ |
|
−1 − , |
> 0; |
( ) = |
|
0, ≤ 0. |
|
Это распределение часто используется в теории надежности для описания времени безотказной работы приборов. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины .
7. Внутри квадрата с вершинами в точках (0; 0), (0; 1), (1; 1), (1; 0) случайным образом выбирают точку с координатами ( , ). Найти распределение случайной величины = / и ее математическое ожидание и дисперсию.
Литература
[1]Гихман И. И. Теория вероятностей и математическая статистика \ И. И. Гихман, А. В. Скороход, М. И. Ядренко. — К.: Вища шк., 1988. — 439 c.
[2]Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. — М.: Наука, 1989. — 448 c.
[3]Зубков А.М. Сборник задач по теории вероятностей: Учеб. пособие для вузов \ А. М. Зубков, Б. А. Севастьянов, В. П. Чистяков — М.: Наука, 1989. — 320 c. — ISBN 5–02–013949–1.
[4]Ширяев А.Н. Вероятность. — М.: Наука, 1989. — 640 c.
97
Приложение |
|
A |
Таблицы нормального
распределения
В таблице A.1 приложения для > 0 приведены значения функции плотности стандартного нормального распределения.
( ) = √1 − 2/2 2
Для < 0 можно воспользоваться равенством (− ) = ( ).
В таблице A.2 приложения для > 0приведены значения функции распределения стандартного нормального распределения.
( ) = ∫ √1 − 2/2
2
−∞
Для < 0 можно воспользоваться равенством (− ) = 1 − ( ).
В обеих таблицах в первом столбце указаны целая и десятая часть аргумента, в первой строке соответствующая сотая часть.
98
Таблица A.1 – Функция ( )
|
|
0,00 |
0,01 |
0,02 |
0,03 |
0,04 |
0,05 |
0,06 |
0,07 |
0,08 |
0,09 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,0 |
|
0,398942 |
0,398922 |
0,398862 |
0,398763 |
0,398623 |
0,398444 |
0,398225 |
0,397966 |
0,397668 |
0,397330 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,1 |
|
0,396953 |
0,396536 |
0,396080 |
0,395585 |
0,395052 |
0,394479 |
0,393868 |
0,393219 |
0,392531 |
0,391806 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,2 |
|
0,391043 |
0,390242 |
0,389404 |
0,388529 |
0,387617 |
0,386668 |
0,385683 |
0,384663 |
0,383606 |
0,382515 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,3 |
|
0,381388 |
0,380226 |
0,379031 |
0,377801 |
0,376537 |
0,375240 |
0,373911 |
0,372548 |
0,371154 |
0,369728 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,4 |
|
0,368270 |
0,366782 |
0,365263 |
0,363714 |
0,362135 |
0,360527 |
0,358890 |
0,357225 |
0,355533 |
0,353812 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,5 |
|
0,352065 |
0,350292 |
0,348493 |
0,346668 |
0,344818 |
0,342944 |
0,341046 |
0,339124 |
0,337180 |
0,335213 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,6 |
|
0,333225 |
0,331215 |
0,329184 |
0,327133 |
0,325062 |
0,322972 |
0,320864 |
0,318737 |
0,316593 |
0,314432 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,7 |
|
0,312254 |
0,310060 |
0,307851 |
0,305627 |
0,303389 |
0,301137 |
0,298872 |
0,296595 |
0,294305 |
0,292004 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,8 |
|
0,289692 |
0,287369 |
0,285036 |
0,282694 |
0,280344 |
0,277985 |
0,275618 |
0,273244 |
0,270864 |
0,268477 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,9 |
|
0,266085 |
0,263688 |
0,261286 |
0,258881 |
0,256471 |
0,254059 |
0,251644 |
0,249228 |
0,246809 |
0,244390 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,0 |
|
0,241971 |
0,239551 |
0,237132 |
0,234714 |
0,232297 |
0,229882 |
0,227470 |
0,225060 |
0,222653 |
0,220251 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,1 |
|
0,217852 |
0,215458 |
0,213069 |
0,210686 |
0,208308 |
0,205936 |
0,203571 |
0,201214 |
0,198863 |
0,196520 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,2 |
|
0,194186 |
0,191860 |
0,189543 |
0,187235 |
0,184937 |
0,182649 |
0,180371 |
0,178104 |
0,175847 |
0,173602 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,3 |
|
0,171369 |
0,392434 |
0,366415 |
0,368796 |
0,366962 |
0,365727 |
0,364379 |
0,363026 |
0,361651 |
0,360259 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,4 |
|
0,149727 |
0,147639 |
0,145564 |
0,143505 |
0,141460 |
0,139431 |
0,137417 |
0,135418 |
0,133435 |
0,131468 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,5 |
|
0,129518 |
0,127583 |
0,125665 |
0,123763 |
0,121878 |
0,120009 |
0,118157 |
0,116323 |
0,114505 |
0,112704 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,6 |
|
0,110921 |
0,109155 |
0,107406 |
0,105675 |
0,103961 |
0,102265 |
0,100586 |
0,098925 |
0,097282 |
0,095657 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,7 |
|
0,094049 |
0,092459 |
0,090887 |
0,089333 |
0,087796 |
0,086277 |
0,084776 |
0,083293 |
0,081828 |
0,080380 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Продолжение на следующей странице
99