Основы математики. Неопределенный и определенный интеграл
.pdf0tg(x +1)
17.−∫1 cos2 (x +1) dx
π
2sin 2x
19.∫0 1+ cos2 x dx
Примеры.
1. ∫x cos xdx
2π |
1− cos x |
|
18. ∫ |
|
dx |
(x − sin x)2 |
||
π |
|
|
π
20.∫2 xcos x + sin x dx
π(xsin x)2
4
2.3. Интегрирование по частям
∫U(x)dυ(x) =U(x) V(x) − ∫V(x)dU(x)
|
x =U |
dU = dx |
|
|
|
|
|||
|
||||
= |
cos xdx = dV |
V = ∫cos xdx = sin x |
|
= |
|
|
|||
|
|
= xsin x − ∫sin xdx = xsin x + cos x + C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dU = |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctgx = U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
2. ∫xarctgxdx = |
|
1+ x2 |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
xdx |
= dV |
V = |
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 x2dx x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
(x2 +1) −1 |
||||||||||||||
|
|
|
= |
|
arctgx − |
2 ∫ |
|
|
|
= |
|
|
arctgx − |
|
∫ |
|
dx = |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
1+ x2 |
2 |
2 |
x2 +1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
x |
2 |
arctgx − |
1 |
|
|
|
x2 +1 |
dx − |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
= |
x2 |
arctgx − |
1 |
(x − arctgx) + C = |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
2 |
2 |
∫ x |
2 |
+1 |
∫ x |
2 |
+1 |
2 |
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 1 (x2arctgx − x + arctgx) + C |
|
|
|
||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
∫ex sin2xdx = |
|
ex =U |
dU = exdx |
|
= − |
1 |
1 |
∫ex cos2xdx |
|
|
|
|||||||||
|
|
|||||||||
|
sin2xdx = dV |
|
1 |
|
2 ex cos2x + |
2 |
||||
|
|
|
V = − |
2 cos2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вновь полученный интеграл снова возьмем по частям:
20
∫ex cos2xdx = |
|
ex =U |
|
|
dU = exdx |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
∫ex sin2xdx |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
cos2xdx = dV V = |
1sin2x |
= |
2 ex sin2x |
− |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пришли к исходному интегралу. Итак, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
I = ∫e |
x |
sin2xdx = − |
1 |
|
|
x |
cos2x + |
1 |
|
1 |
e |
x |
sin2x |
− |
1 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||
Следовательно, 5 I = |
1 ex (2sin2x − cos2x) или |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ex sin2xdx = |
1 |
ex (sin2x − 2cos2x) + C |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
|
arctgxdx = |
|
arctgx = U dU = |
dx |
|
= xarctgx − |
|
|
|
xdx |
= |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1+ x2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
|
|
∫1+ x2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = dV |
|
|
|
|
|
V |
= x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
2xdx |
|
|
|
|
|
1 |
|
d 1+ x2 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||
= xarctgx − |
∫ |
= xarctgx − |
∫ |
|
( |
= xarctgx − |
ln(1+ x2 )+ C |
||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
1+ x2 |
2 |
|
1+ x2 |
|
2 |
|
Задания для самостоятельного решения |
||||
|
Найти неопределенные интегралы |
|
|
|
|
1. |
∫xexdx |
2. |
∫xcos xdx |
||
3. |
∫x2 ln xdx |
4. |
∫2xarctgxdx |
||
5. |
∫(2x + 3)sin xdx |
6. |
∫arccos xdx |
||
7. |
∫(x2 + 5x + 6)cos2xdx |
8. |
∫x2e3xdx |
||
|
0 |
|
0 |
|
|
9. |
∫(x2 + 4x + 3)cos xdx |
10. ∫(x + 2)2 cos3xdx |
|||
|
−1 |
|
−2 |
|
|
|
0 |
|
1 |
x |
|
11. ∫(x2 + 6x + 9)sin2xdx |
12. ∫x2e− |
|
|
||
2dx |
|||||
|
−3 |
|
−1 |
|
|
21
|
3 |
|
π |
|
|
|
|
13. |
∫xarctgxdx |
|
2 |
|
xcos x |
|
|
|
|
14. |
∫π |
|
|
dx |
|
|
0 |
sin3 x |
|||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
π |
|
π |
|
|
|
|
|
4 |
|
2 |
|
xdx |
|
|
15. |
∫tgxlncos xdx |
16. |
∫ |
|
|
|
|
sin2 x |
|
||||||
|
0 |
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
2.4.Дробно-рациональные функции, их интегрирование
•Определение. Дробно рациональной функцией (алгебраической дробью) R(x) называется отношение двух многочленов с действительны-
ми коэффициентами, т. е. R(x) = Pn (x) , где m и n – степени многочленов.
Qm (x)
Алгебраическая дробь называется правильной в том случае, если степень старшего члена числителя меньше степени старшего члена знаменателя, и неправильной, если старшая степень числителя больше или равна старшей степени знаменателя. Всякая неправильная дробь может быть преобразована в сумму некоторого многочлена L(x) – целая часть и пра-
вильной дроби |
M(x) |
: |
P(x) |
|
= L(x) + |
M(x) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Q(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
N(x) |
|
|
|
N(x) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Например, |
|
3x4 −10x3 |
+ 22x2 − 24x +10 |
= 3x2 |
− 4x + 5− |
|
|
2x + 5 |
, |
|||||||||||||
|
|
|
|
x2 − 2x + 3 |
x2 |
− 2x + 3 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3х4 – 10х3 + 22х2 – 24х + 10 |
|
|
х2 – 2х + 3 |
|
|
|
||||||||||||||
|
– 3х4 – 6х3 + 9х2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3х2 – 4х + 5 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
– 4х3 + 13х2 – 24х + 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
целая часть |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
– |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
– 4х3 + 8х2 – 12х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
– |
5х2 – 12х + 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
5х2 – 10х + 15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
– 2х – 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
остаток |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22
Разложение на простейшие дроби. Всякая правильная несократи-
мая алгебраическая дробь P(x) может быть единственным образом преоб-
Q(x)
разована в сумму простейших дробей вида |
A |
или |
Bx + C |
, ес- |
||||
|
|
|||||||
(x − α)k |
(x2 + px + q)l |
|||||||
|
p 2 |
− q < 0. При этом могут быть следующие четыре случая. |
|
|||||
ли |
|
|
|
|||||
|
|
|||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
Знаменатель Q(x) = xn + b |
xn−1 + ...+ b x + b (коэффициент |
при |
||||
|
|
|
n−1 |
1 |
0 |
|
|
старшем члене знаменателя удобно сделать равным 1, деля на него числитель и знаменатель дроби) такой, что уравнение Q(x) = 0 имеет только
действительные однократные (простые) корни α1, α2, |
..., αn. В этом слу- |
|||||||||||||||||||
чае разложение ведется по формуле: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
P(x) |
= |
a |
m |
xm + a |
m−1 |
xm−1 |
+ ...+ a x + a |
= |
A |
+ |
B |
|
+ ...+ |
C |
|
, |
|||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
Q(x) |
|
(x − α )(x − α |
2 |
)...(x − α |
|
) |
x − α |
x − α |
2 |
x − α |
|
||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
n |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
где А, В, … С – неопределенные коэффициенты.
2. Корни знаменателя действительные, но среди них есть кратные. Тогда разложение ведется по формуле:
|
P(x) |
|
|
a |
m |
xm |
+ a |
m−1 |
xm−1 + ...+ a x + a |
|
A |
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
Ak |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
= |
|
1 |
|
|
+ |
|
|
|
2 |
|
+ ...+ |
|
1 |
|
+ |
|
|||||||||||||
|
Q(x) |
|
(x − α )k1 (x − α |
|
)k2 |
...(x − α |
|
|
x − α |
|
(x |
− α )2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
)km |
|
|
|
|
|
|
|
|
(x − α )k1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||
+ |
|
|
|
B |
|
|
+ |
|
|
|
|
B |
|
|
|
+ ...+ |
Bk |
2 |
|
|
+ ...+ |
|
|
C |
+ |
|
|
C |
2 |
|
|
+ ...+ |
|
Ck |
i |
. |
||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(x − α2 )2 |
(x − α2 )k2 |
x − αi |
|
(x − αi )2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x − α2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x |
− αi )km |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3. Среди корней знаменателя есть комплексные однократные, т. е. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
дискриминант |
|
|
|
|
− q < 0 |
для квадратного трехчлена |
x |
|
+ px + q. В этом |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
случае разложение ведется следующим образом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
P(x) |
|
|
|
|
|
|
|
a |
m |
xm + a |
m−1 |
xm−1 + ...+ a x + a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Q(x) |
|
(x − α )(x − α |
2 |
)k (x2 + p x + q )(x2 + p |
x + q |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23
= |
A1 |
+ |
B1 |
|
+ |
B2 |
|
+ ...+ |
Bk |
|
+ |
|
C1x + D1 |
|
+ |
C2x + D2 |
. |
|
x − α |
x − α |
|
(x − α |
)2 |
(x − α |
)k |
|
2 + p x + q |
|
|||||||||
|
|
2 |
|
|
|
x |
x2 + p x + q |
2 |
|
|||||||||
1 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
1 |
1 |
|
2 |
|
4. Среди корней знаменателя есть комплексные кратные. Разложение ведется по формуле:
P(x) |
= |
a |
m |
xm |
+ a |
m−1 |
xm−1 + ...+ a x + a |
|
|
= |
|||
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
||||
Q(x) |
(x − α )(x − α |
2 |
)k (x2 |
+ p x + q )(x2 |
+ p |
x + q |
)s |
||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
1 |
2 |
2 |
|
|
= |
A1 |
+ |
|
B1 |
|
+ ...+ |
|
|
Bk |
|
+ |
Cx + D |
|
+ |
|
|
|||
x − α |
x |
− α |
2 |
(x − α |
)k |
x2 + p x + q |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
+ |
|
E1x + F1 |
|
|
+ |
E2x + F2 |
+ ...+ |
|
Es x + Fs |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||
|
|
x |
2 + p x + q |
2 |
|
(x2 + p x + q )2 |
|
(x2 + p |
x + q )s |
||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
2 |
2 |
|
Замечание. Для нахождения неопределенных коэффициентов используют условия равенства двух многочленов:
а) два многочлена равны, если равны коэффициенты при одинаковых степенях х;
б) если многочлены равны, то равны их числовые значения при одинаковых числовых значениях х.
Интегрирование простейших дробей
I ∫ |
|
A |
dx = Aln |
|
x − a |
|
+ C |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|||||||
|
x − a |
|
|
|
|
(x − a)−n+1 |
||||
|
|
|
||||||||
|
|
A |
||||||||
II ∫ |
|
dx = A∫(x − a)−ndx = A |
|
+ C |
||||||
(x − a)n |
−n +1 |
III Интегрирование простейшей дроби III типа рассмотрим на примере:
∫ |
3x + 5 |
|
|
dx = |
x2 |
+ 2x +10 |
|
выделим полный квадрат: |
|||||||||||
x2 + 2x +10 |
|
D < 0 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x2 + 2x +10 = (x2 + 2x) +10 = (x +1)2 −1+10 = (x +1)2 + 9 |
= |
|||||||||||||||||
|
= ∫ |
|
3x + 5 |
|
|
|
введем новую переменную |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
dx = |
|
|
x +1= t dx = dt |
|
|
= |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
(x +1)2 + 9 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = t −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3(t −1) + 5 |
|
3t + 2 |
|
tdt |
|
dt |
|
|
|||||||||
|
= ∫ |
|
|
|
|
dt = ∫ |
|
dt = 3∫ |
|
+ 2∫ |
|
= |
|
||||||
|
|
|
t2 + 9 |
|
t2 + 9 |
t2 + 9 |
t2 + 9 |
|
24
|
1 d(t2 + 9) |
|
|
dt |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
t |
|
||||||
= 3∫ |
2 |
|
|
|
+ 2∫ |
|
= |
|
ln |
|
t2 |
+ 9 |
|
+ 2 |
arctg |
+ C = |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
t2 + 9 |
|
|
t |
2 + 32 |
2 |
3 |
3 |
||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
x +1 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
= |
ln |
x2 |
+ |
2x +10 |
|
+ |
arctg |
|
+ C . |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание. Вычисление интегралов от простейших дробей IV типа здесь рассматривать не будем.
Примеры.
|
∫ |
3x4 |
−10x3 + 22x2 − 24x +10 |
|
∫ |
|
|
2 |
|
|
|
|
2x + 5 |
|
||||
1. |
|
|
|
|
|
dx = |
|
3x |
|
− 4x + 5 |
− |
|
|
|
|
dx = |
||
|
x |
2 |
− 2x |
+ 3 |
|
x |
2 |
− 2x + 3 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x2 + 5x − ∫ |
(2x − 2) + 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 5x − ∫ |
(2x − 2)dx |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
= x3 − |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = x3 − |
2x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|||||||||||||||||||
|
x2 − 2x + 3 |
x2 − 2x + 3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
−7∫ |
dx |
= |
|
d(x2 − 2x + 3) = (2x − 2)dx |
|
= |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x2 − 2x + 3 |
|
x2 − 2x + 3 = (x −1)2 + 2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
= x3 − 2x2 + 5x − ∫ |
d(x2 − 2x + 3 |
− 7∫ |
d(x −1) |
|
= |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x2 − 2x + 3 |
|
(x −1)2 + 2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
arctg |
x −1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
= x3 − 2x2 + 5x − ln |
x2 − 2x + 3 |
− |
+ C |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
6x2 − x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
A |
|
|
|
B |
|
|
|
C |
|
|
|
A(x −1)(x +1) + Bx(x +1) + Cx(x −1) |
|
||||||||||||||||||||||||
2. |
6x2 − x +1 = |
= |
+ |
|
|
|
|
+ |
|
|
= |
. |
|||||||||||||||||||||||||||
x(x −1)(x +1) |
|
x − |
1 |
x + |
1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x3 − x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(x −1)(x +1) |
|
|
Если дроби с одинаковыми знаменателями равны, то равны и их чис-
лители: A(x −1)(x +1) + Bx(x +1) + Cx(x −1) = 6x2 − x +1.
Далее зададим х значения корней знаменателя данной дроби: x = ±1;
x = 0 и подставим в последнее равенство:
x =1, |
|
2B = 6, |
B = 3, |
|
|||
x = −1, |
|
|
|
|
2C = 8, C = 4, |
||
x = 0. |
|
− A =1 |
|
|
A = −1. |
Найденные значения А, В, С запишем в простейшие дроби и получим:
25
6x2 − x +1 |
= − |
1 |
+ |
3 |
|
+ |
4 |
|
. |
||
x3 |
− x |
x |
x −1 |
x +1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6x2 − x +1 |
|
|
|
|
|
dx |
dx |
|
|
dx |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
Итак, заданный интеграл ∫ |
|
x3 − x |
|
|
dx = −∫ |
|
|
|
|
+ 3∫ |
|
|
|
+ 4∫ |
|
|
|
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
x −1 |
x +1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= −ln |
|
x |
|
+ 3ln |
|
x −1 |
|
+ 4ln |
|
x +1 |
|
+ C = ln |
|
C(x −1)3(x +1)4 |
|
= ln |
C(x −1)3 (x +1)4 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
||||||||||||
3. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
A |
|
+ |
|
B |
+ |
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
(x + 2)2 (x +1) |
|
(x + 2)2 (x +1) |
|
|
x +1 |
|
x + 2 |
|
(x + 2)2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x + 2)−2+1 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
∫ |
|
|
−4∫ |
|
=∫ |
|
− 4∫(x + 2)2 dx = ln |
|
x +1 |
|
− 4 |
|
|
+ C = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x +1 |
(x + 2)2 |
x +1 |
|
−2 +1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ln |
|
x +1 |
|
+ |
|
4 |
|
|
+ C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приведем к наименьшему общему знаменателю и приравняем числители данной и полученной дробей: x2 = A(x + 2)2 + B(x +1)(x + 2) + C(x +1).
x = 0, |
|
0 = 4A + 2B + C, |
B = 0, |
|
x2 |
|
1 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
= |
|
− |
|
|
|||
x = −2, |
|
4 = −C, |
C = −4, |
Итак, |
|
|
|
|
|
|||
|
(x + 2)2 (x +1) |
x +1 |
(x + |
2)2 |
||||||||
x = −1. |
|
1= A |
|
|
|
|
|
|||||
|
A =1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 + 4x2 + 6 |
= |
A |
|
+ |
B |
+ |
Cx + D |
. |
|||
(x +1)2 (x2 |
+ 2) |
x + |
1 |
(x +1)2 |
x2 |
+ 2 |
|||||
|
|
|
|
4. ∫ |
x3 + 4x + 6 |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(x +1)2 (x2 + 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Приведем к наименьшему общему знаменателю и приравняем чис- |
||||||||||||||
лители: x3 + 4x2 + 6 = A(x +1)(x2 + 2) + B(x2 + 2) + (Cx + D)(x +1)2. |
|
|
|||||||||||||
Задаем х значение действительного |
корня |
знаменателя данной дроби |
|||||||||||||
x = −1, а затем приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х: |
|||||||||||||||
|
x = −1 |
|
|
9 = 3B, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x3 |
|
|
1= A + C, |
A = |
1 |
; |
B = 3; C = |
2 |
; D = − |
2 |
. |
|||
|
x2 |
|
|
4 = A + B + 2C + D, |
3 |
3 |
3 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x |
0 |
|
|
6 = 2A + 2B + D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
26
Итак, |
x3 |
+ 4x2 |
+ 6 |
= |
1 |
+ |
3 |
|
+ |
2(x −1) |
|
|
|
(x +1)2 (x2 + 2) |
3(x +1) |
(x + |
1)2 |
3(x2 |
+ 2) |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
dx |
2 |
|
|
x −1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
xdx |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
∫ |
|
|
|
|
+ 3∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 3 |
∫ |
|
|
|
|
dx = |
3ln |
|
x +1 |
|
− |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
3 ∫ |
|
|
− |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
x +1 |
(x +1)2 |
x2 + 2 |
x +1 |
x2 + 2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
∫ |
|
dx |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
1 |
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
− |
|
|
|
= |
|
|
ln |
|
x +1 |
|
− |
|
|
+ |
|
|
|
ln |
|
+ 2 |
|
− |
|
|
|
|
|
|
arctg |
|
|
|
|
|
|
+ C = |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
x2 + 2 |
3 |
x +1 |
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
2 |
arctg |
|
|
|
x |
|
+ C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ln 3 (x +1)(x2 + 2) − |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 + x = x(x3 +1) = |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
5. ∫ |
x3 + 4x2 − 2x +1 |
|
|
|
x3 + 4x2 − 2x +1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = |
= x(x +1)(x2 − x +1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x4 + x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 + x |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
A |
B |
|
|
|
|
C |
x |
+ D |
|
|
A(x +1)(x2 − x +1) + Bx(x2 − x +1) + (C |
x |
+ D)× (x +1) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
+ |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x |
x +1 |
x2 − x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(x +1)(x2 − x +1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Запишем равенство числителей данной и полученной дробей: |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x3 + 4x2 − 2x +1= A(x +1)(x2 − x +1) + Bx(x2 − x +1) + (C |
x |
+ D)x(x +1). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для нахождения неопределенных коэффициентов сначала в обе части последнего равенства зададим х значения действительных корней знаменателя данной дроби, а затем приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х:
x = 0 |
|
1= A |
|
A =1 |
|
|
|||
x = −1 |
|
6 = −3B |
|
B = −2 |
x3 |
|
1= A + B + C |
C = 2 |
|
|
|
|||
x2 |
|
4 = C + D − B |
D = 0. |
|
|
|
|
|
|
Подставляя найденные коэффициенты, сначала разложим подынтегральную функцию, а затем представим данный интеграл U в виде суммы интегралов:
U = ∫ |
dx |
− 2∫ |
dx |
+ 2∫ |
xdx |
= ln |
|
x |
|
− 2ln |
|
x +1 |
|
+ 2∫ |
xdx |
||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x |
x +1 |
x2 − x +1 |
x2 − x +1 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27
Последний интеграл U1 рассмотрим отдельно, выделяя полный квад-
рат в знаменателе x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
+ |
3 |
и полагая |
x − |
1 |
= t dx = dt : |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
− x +1 x − |
2 |
|
4 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+ |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
t + |
2 |
dt |
|
|
|
|
1 |
|
|
2tdt |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
d t |
|
4 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
U = ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
= 2 |
∫ |
|
|
|
|
|
|
+ |
2 ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||
|
t |
2 |
+ |
|
t |
2 |
+ |
t |
2 |
+ |
t |
2 |
|
|
|
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
+ 4 |
|
|
|
|
|
t2 |
+ |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= |
1 ln |
|
t |
2 + |
3 |
|
|
+ |
|
1 |
|
|
|
2 |
|
arctg |
|
2t |
|
|
|
= |
1 ln(x2 − x +1) + |
1 |
|
arctg |
2x |
− |
1. |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
Подставляя в предыдущее равенство, находим исходный интеграл
∫ |
x3 |
+ 4x2 − 2x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ln(x2 − x +1) + |
|
2 |
|
|
|
2x −1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = ln |
x |
− 2ln |
x +1 |
|
|
|
|
arctg |
|
|
|
+ C = |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
+ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
3 |
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x2 − x +1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ln |
|
|
x |
|
+ 2 |
|
|
|
|
|
3arctg 2x |
1 + C |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x +1)2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задания для самостоятельного решения |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
1. ∫ |
|
|
|
|
2x −1 |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
2. ∫ |
|
|
|
3x − 7 |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
(x −1)(x − |
2) |
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
− 5x + |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
3. ∫ |
|
xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. ∫ |
|
|
|
|
|
x3 − 3x2 −12 |
|
dx |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
x3 − 4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x − 2)(x − 3)(x − 4) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x − 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5. ∫ |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
6. ∫ |
|
|
x |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x3 − 4x2 + 4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
7. ∫ |
|
|
|
(2x +1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
x2dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
x3 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x + 2)2(x + 4)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
9. ∫ |
|
|
x3 − 6 |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
10. ∫ |
|
|
|
2x − 5 |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 − 5x + 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
x4 + 6x2 + 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28
11. |
∫ |
(x − 4)3 |
|
|
|
12. |
∫ |
x3 + 5x2 +12x + 4 |
|||||||||
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
||||||||
x2 −8x + 7 |
|
|
|
|
(x + 2)2 (x2 + 4) |
||||||||||||
|
∫ |
x3 + 6x2 +14x +10 |
|
|
|
3 |
|
3x2 + 2x − 3 |
|||||||||
13. |
|
dx |
14. |
∫ |
|
|
|
dx |
|||||||||
(x +1)(x + 2)3 |
|
x3 − x |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
(2x + 3) |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
dx |
|
|
|
|
15. |
∫ |
|
|
dx |
|
|
|
16. |
∫ |
|
|
|
|
|
|||
|
(x − 2)3 |
|
|
|
|
(x +1)(x3 + 4) |
|||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.5. Интегрирование тригонометрических функций |
||||||||||||||
|
|
|
Так |
как |
tgx = |
sin x |
и ctgx = |
cos x |
, |
то любую функцию |
|||||||
|
|
|
cos x |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
||
f (tgx, ctgx, |
sin x, |
cos x) можно рассматривать как функцию, зависящую |
от sin x и cos x , т. е. функцию R(sin x,cos x). Интегралы от таких функций мы и рассмотрим.
|
Универсальная тригонометрическая подстановка tg |
x |
= t . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2tg |
x |
|
|
|
|
|
|
|
1− tg |
2 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
2t |
|
|||||||||
|
Зная формулы sin x = |
|
2 |
|
|
|
|
; cos x = |
|
|
2 |
, получим sin x = |
|
|
; |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1+ tg |
2 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
1+ tg |
2 |
|
x |
|
|
|
|
|
1 |
+ t2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cosx = 1− t2 и dx = 2 |
|
|
dt |
. Следовательно, интеграл ∫R(sin x,cos x)dx сво- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1+ t |
|
+ t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
дится к интегралам от рациональных функций аргумента t. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Примеры. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1. ∫ |
dx |
= ∫ |
|
|
|
1+ t2 |
|
|
|
|
|
|
= 2∫ |
|
|
|
dt |
|
= 2∫ |
|
|
dt |
|
|
= |
|
||||||||||||||
9 + 8cos x + sin x |
|
1− t2 |
|
|
|
|
|
|
2t |
|
|
t2 + 2t +17 |
(t +1)2 + 42 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
9 + 8 |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
1+ t2 |
1+ t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg |
x |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
1 arctg |
|
|
1 arctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
= 2 |
|
+ C = |
2 |
+ C |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
29