Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Волгоградский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Основы математики. Неопределенный и определенный интеграл

.pdf

Скачиваний:

205

Добавлен:

14.03.2016

Размер:

2.74 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1313

Вариант 28

∫cos

xdx

∫

cos2

3+ 2tgt

∫(4 − 3x)e−3xdx

∫sin5t costdt

5. ∫

x − 3

3x + 7

6. ∫ x3 − x dx

x2 + 6x +10

∫

13x + 9

∫cos

(x +1)2 (x + 2)

−5

∫2

10. 6

sin3x

3 − x + 4 3 − x

∫

2 + cos3x

1. Вычислить площадь

фигуры,

заключенной между параболами

y = x2 и y = 9 − x2 .

2.Вычислить длину дуги 2y = 4 − 3x от точки x1 = 0 до точки x2 =1 между токами пересечения с осями координат.

3.Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фи-

гуры, ограниченной кривой y2 = −3x , если −1≤ x ≤ 0.

4. Найти функцию U (x, y), если задан ее полный дифференциал

dU = (ey + yex )dx + (xey + ex )dy

5. Вычислить или установить расходимость несобственного интегра-

∞		dx
ла ∫

		9 + x2
1

120

Вариант 29

∫x3 sin(3x4 )dx

2. ∫3 cos4 sin zdz

∫e

−3x

(2 − 9x)dx

4. ∫

(1+ t2 )arctg5t

5. ∫

5 − 2x

3x − 2

6. ∫ x3 + x dx

x2 − 6x + 8

∫

10x −10

8. ∫sin3 5xdx

(x +1)(x − 2)3

3 z

∫cos2 3x sin2 3x dx

10. ∫0 1+ 3 z dz

1. Найти площадь фигуры, заключенной внутри кривой r = 3 + 2cosϕ.

2. Найти длину дуги кривой x = 4 −	t4	,	y =	t6	, где 0 ≤ t ≤ 2 .

4			6

3. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох

фигуры, ограниченной параболой y = 2 +	x2	и прямыми x = ±1.

4

4. Найти функцию U (x, y), если задан ее полный дифференциал dU = sin2 ydx + xsin 2ydy

5. Вычислить или установить расходимость несобственного интегра-

+∞

ла ∫ dx e xln3 x

121

Вариант 30

∫sin6 xcos xdx

∫e−2x2 xdx

∫

exdx

∫(2x +1)exdx

4 + e2x

5. ∫

xdx

6. ∫

5x −8

x3 +1 dx

x2 − 4x + 3

∫

3x + 2

∫

sin2x

x(x2 + x +1)

5+ cos2x

x + 3 +1

∫sin4 2xdx

10. ∫1

x + 3 −1dx

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кардиоидой r = 3(1+ cosϕ).

2. Вычислить длину дуги кривой x = t2 −1,	y =	t	(t2	−3),	где

	3

0 ≤ t ≤ 3.

3.Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной осями координат и линиями y = (x + 4)3 и x = −2.

4.Найти функцию U (x, y), если задан ее полный дифференциал

dU = (6xy + 2y2 − 5)dx + (3x2 + 4xy + 4y3)dy

5. Вычислить или установить расходимость несобственного интегра-

ла −∫2 (x + 2)2

122

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1.Бермант, А. Ф. Краткий курс математического анализа / А. Ф. Бермант. – М. : Наука, 1964.

2.Бугров, Я. С. Задачник : для инж. техн. спец. вузов / Я. С. Бугров, С. М. Никольский. – М.: Наука, 1982. – 192 с. (Высшая математика)

3.Бугров, Я. С. Дифференциальное и интегральное исчисление : учебник /

Я.С. Бугров, С. М. Никольский. – 4-е изд-е., перераб. и доп. – Ростов-на-Дону : Феникс, 1997. – 512 с. (Высшая математика).

4.Красс, М. С. Математика в экономике. Основы математики : учебник /

М.С. Красс. – М. : ИД ФБК-ПРЕСС, 2005. – 469, с.

5.Красс, М. С. Математические методы и модели для магистрантов экономики : учеб. пособие / М. С. Красс, Б. П. Чупрынов. – СПб. : Питер, 2006. – 496 с.

6.Лузин, Н. Н. Интегральное начисление / Н. Н. Лузин. – М. : Советская нау-

ка, 1995.

7.Решебник к сборнику задач по курсу математического анализа Бермана. – СПб. : Лань, 2011. – 607 с.

8.Феофанова, Л. Н. Учебно-справочные материалы по математике : учеб. пособие / Л. Н. Феофанова, В. И. Кудряшов, Л. С. Сагателова ; ВолгГТУ. – Волгоград : ВолгГТУ, 2011. – 199 с.

123

ПР ИЛ ОЖ Е НИЕ

Таблица производных

	Функция		Производная

1	х									1

2	xα			α xα−1
3	1							−		1
3	x							−			x		2
													2


4										1
	n x									1


				nn							xn−1
				nn							xn−1
5										1
		x								1

							2
												x
												x

6	ln x									1
6	ln x										x
											x

7	ex								ex

8	(ax )			ax ln a

9	sin x					cosx

10	cosx				−sin x

11	tgx									1

					cos2 x
					cos2 x
	ctgx									1

12			− sin2 x
12			− sin2 x
13	arcsin x									1


							1− x2
							1− x2
14	arccos x		−							1


								1− x2
								1− x2
15	arctgx									1

					1+ x2
					1+ x2
16	arcctg x			−						1
16	arcctg x			−			1			+ x2
							1			+ x2

Функция

Производная

sh x

ch x

sh x

th x

ch2x

cth x

−

sh2x

U′(x)

U(x)

2 U (x)

ln(U (x))

U′(x)

U (x)

U (x)e

U (x)

′

(x)

U (x)a

lna

U (x)

′

U(x)

sinU (x)

U′(x)cosU(x)

cosU (x)

−U′(x)sinU(x)

tgU (x)

U′(x)

cos2 U(x)

ctgU (x)

−

U′(x)

sin2 U(x)

arcsinU (x)

U′(x)

1−U2 (x)

arccosU (x)

−

U′(x)

1−U 2 (x)

arctgU(x)

U′(x)

1+U 2 (x)

arcctgU (x)

−

U′(x)

+U 2 (x)

124

Правила дифференцирования

Функции u = u(x) и v = v(x) дифференцируемы в точке х, C − const :

u′, где C ≠ 0

C′ = 0

′

(u ± v)

= u

± v

dy = y dx y

(u + C)′ = u′

d[u(x)]= u′(x)dx

(uv)′ = u′v + uv′

Если u = u(y)

и y = y(x), то u′x = u′y y′x

(Cu)′ = Cu′

(uα (x))′ = α uα−1 u′(x)

′

u v − uv

(au(x))′ = au(x) lna u′(x)

Таблица интегралов

∫dx = x + C

2. ∫xαdx =

xα+1

3. ∫

+ C, где α ≠ −1

= ln

+ C

α +1

∫

= 1 ln

kx + b

+ C,

где k ≠ 0

5. ∫axdx =

+ C

kx + b

ln a

∫exdx = ex + C

7. ∫sin хdx = −cos x + C

8. ∫cos xdx = sin x + C

∫

= −ctgx + C

10. ∫

= tgx + C

11. ∫tgxdx = −ln

cos x

+ C

sin2 x

cos2 x

12.

∫

ctgxdx = ln

sin x

+ C

13.

= ln

+ C

14.

= ln

−

+ C

∫sin x

∫cos x

15. ∫

16. ∫

= arcsin

+ C = C − arccos

= ln

x + x2 ± a2

+ C

2 − x2

x2 ± a2

17. ∫

18. ∫

x + a

+ C

= a arctg

+ C

a2 + x2

a2 − x2

x − a

125

Окончание таблицы

19.

∫

x − a

+ C

20. ∫ch x dx = sh x + C

x + a

− a

21.

∫

= −cthх + C

22. ∫sh x dx = ch x + C

23. ∫

= thх + C

sh x

∫xsin axdx = sin

2ax −

xcosax

∫x2 sin axdx =

24.

25.

sin ax

−

cosax.

∫xcosaxdx =

cosax

xsin ax

∫x

26.

27.

cosaxdx =

cosax +

−

sin ax.

28.

∫

f (kx + b)dx = 1F(kx + b) + C

29.

∫udv = uv − ∫vdu

30.

∫ f (x)dx = F(x)

ba = F(b) − F(a)

31.

∫udv = uv

ba − ∫vdu

Интегралы от дифференциальных биномов
∫xm (a + bxn )p dx,	(*)

где m, n и p – рациональные числа.

Условие Чебышева. Интеграл (*) выражается через конечную комбинацию элементарных функций лишь в следующих трех случаях:

1) если р – целое число;

2) если m +1 – целое число. Здесь применяется подстановка n

a +bxn = zs, где s – знаменатель дроби р;

3) если m +1 + p – целое число. В этом случае используется подста- n

новка axn +b = zs , где s – знаменатель дроби р.

126

		ОГЛАВЛЕНИЕ
1. Основные понятия и свойства....................................................................................			3
	1.1.	Определения........................................................................................................	3
	1.2.	Простейшие свойства неопределенного интеграла.........................................	7
	1.3.	Свойства определенного интеграла..................................................................	8
2.	Способы интегрирования............................................................................................		13
	2.1.	Непосредственное интегрирование...................................................................	13
	2.2.	Замена переменного............................................................................................	15
	2.3.	Интегрирование по частям.................................................................................	20
	2.4.	Дробно-рациональные функции, их интегрирование........................................	22
	2.5.	Интегрирование тригонометрических функций..............................................	29
	2.6.	Некоторые иррациональные выражения, их интегрирование........................	35
	2.7.	Тригонометрические подстановки ...................................................................	37
3. Применение определенного интеграла к решению задач геометрии.....................			40
4.	Применение определенного интеграла
	для вычисления криволинейных интегралов............................................................		52
	4.1.	Криволинейный интеграл по длине дуги
		(криволинейный интеграл I рода).....................................................................	52
		4.1.1. Определение.............................................................................................	52
		4.1.2. Свойства криволинейного интеграла I рода..........................................	52
		4.1.3. Методы вычисления криволинейного интеграла
		по длине дуги (I рода)..............................................................................	54
	4.2.	Криволинейный интеграл по координатам (II рода).......................................	57
		4.2.1. Определение.............................................................................................	57
		4.2.2. Методы вычисления криволинейного интеграла
		по координатам (I рода)...........................................................................	58
	4.3.	Приложения криволинейных интегралов........................................................	61
		4.3.1. Вычисление площади плоской области................................................	61
		4.3.2. Вычисление массы неоднородной кривой............................................	62
		4.3.3. Вычисление площади цилиндрической поверхности..........................	63
		4.3.4. Вычисление статических моментов и центра тяжести кривой...........	64
		4.3.5. Вычисление моментов инерции кривой................................................	65
		4.3.6. Вычисление работы силового поля........................................................	66
		4.3.7. Условия независимости криволинейного интеграла
		по координатам от пути интегрирования..............................................	67
		4.3.8. Нахождение функции по ее полному дифференциалу.........................	68
5.	Виды несобственных интегралов...............................................................................		72
	5.1.	Интеграл с бесконечными промежутками интегрирования
		(несобственный интеграл I рода)......................................................................	72
	5.2.	Интеграл от разрывных функций (несобственный интеграл II рода)............	73
Тесты для самостоятельной работы студентов................................................................			76
Варианты индивидуальных контрольных заданий.........................................................			93
Список рекомендуемой литературы.................................................................................			123
Приложение.........................................................................................................................			124

127

У чебн о е из д ани е

Людмила Николаевна Феофанова Людмила Александровна Исаева Андрей Викторович Исаев Анастасия Александровна Ермакова

ОСНОВЫ МАТЕМАТИКИ. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Учебное пособие

Редактор Л. И. Громова

Темплан 2015 г. (учебники и учебные пособия). Поз. № 206. Подписано в печать 02.10.2015 г. Формат 60×84 1/16. Бумага газетная. Гарнитура Times. Печать офсетная. Усл. печ. л. 7,44. Уч.-изд. л. 5,92 Тираж 150 экз. Заказ .

Волгоградский государственный технический университет. 400005, г. Волгоград, пр. Ленина, 28, корп. 1.

Отпечатано в типографии ИУНЛ ВолгГТУ 400005, г. Волгоград, пр. Ленина, 28, корп. 7.

128

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1313

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.2019572.93 Кб33Организация поселения. Пути и ошибки. Ковчег и....doc
#
02.04.20152.54 Mб253Органика (1-17 вопросы).docx
#
02.04.20155.62 Mб446Органика (18-34 вопросы).docx
#
16.09.20197.02 Mб57Основная часть.docx
#
14.03.20161.56 Mб118Основы выездки и езды.pdf
#
14.03.20162.74 Mб205Основы математики. Неопределенный и определенный интеграл.pdf
#
16.08.2019113.15 Кб38Основы налогов. Лекция 8.doc
#
26.08.2019293.38 Кб46Основы теории транспортных процессов и систем.doc
#
14.03.20162.28 Mб45ОсновыКомпПроект_ИвановЕрещенко.pdf
#
24.09.2019270.85 Кб27ОсновыПолитСоциологии_для всех специальн.doc
#
02.04.2015446.46 Кб29остальные.doc