- •6.7 Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •Лабораторная работа №13
- •Лабораторная работа №14
- •Краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка
- •Лабораторная работа №15
- •Физическая задача №4
- •Физическая задача №5
- •6.8 Краевые задачи для уравнений в частных производных
- •Лабораторная работа №16
- •Лабораторная работа №17
- •Лабораторная работа №18
- •Физическая задача №6
- •Физическая задача №7
- •Физическая задача №8
- •Физическая задача №9
Лабораторная работа №13
Решить задачу Коши для уравнения первого порядка на одном и том же множестве значений с шагоми., используя метод Эйлера первого порядка, исправленный или модифицированный метод Эйлера и метод Рунге-Кутта 4-го порядка Полученные результаты свести в одну таблицу и сопоставить.
Используя метод Эйлера с уточнением, найти приближенное решение задачи Коши в тех же точках, что и в предыдущем задании. Точность вычислений должна составить 0,0001. Помимо решения в каждой точке вывести число итераций.
, .
, .
, .
, .
, .
, .
, .
, .
, .
, .
, .
, .
, .
, .
, .
, .
, .
, .
, .
, .
, .
, .
, .
, .
, .
, .
, .
, .
, .
, .
Лабораторная работа №14
Используя метод Рунге-Кутта 4-го порядка, найти приближенное решение изадачи Коши для дифференциального уравнения второго порядка прис шагомна отрезке, удовлетворяющее начальным условиям ,.
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
Краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка
В общем виде краевая задача записывается с помощью уравнения
при
и его краевых условий
Здесь заданные функции, коэффициенты (). Необходимо найти решение этой задачи на отрезке.
В частных случаях():
1. , краевое условие первого рода (условие Дирихле)
2. , краевое условие второго рода (условие Неймана)
3. , краевое условие третьего рода (смешанное краевое условие)
Область интегрирования разбивается на N отрезков длиной (шагом) , тогда,i=0,…,N. заданные функции в узловых точках заменяются на . Первая производная в уравнении аппроксимируется центральным конечно-разностным отношением:, вторая - отношением.
В результате задача сводится к конечно разностному уравнению
, ,
которое легко сводится к виду
, , где
, ,,.
Данное уравнение решается методом прогонки (так же как это было рассмотрено для сплайн-интерполяции).
Прогоночные коэффициенты вычисляются по рекуррентным формулам:
, ,.
Значения определяются из конечно-разностной формы первого краевого условия:. Отсюда:
, .
Из второго краевого условия и формулыопределятся
, где ,.
По формуле дляi=N, N-1, …, 2, 1 находятся все остальные значения.
Лабораторная работа №15
С помощью метода конечных разностей, найти приближенное решение краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с точностью 10-6 и шагом .
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
Физическая задача №4
Методом пошагового интегрирования найти зависимость тока от времени J(t) и параметры этой зависимости. Ток течет в колебательном контуре, содержащем емкость C, индуктивность L и сопротивление R. При постоянных значениях параметров контура имеется точное решение, описывающее процесс затухающих колебаний. Это решение рекомендуется использовать для проверки схемы счета и оценки погрешности решения. Полагается, что сопротивление цепи R увеличивается за счет выделения на нем тепла по закону Джоуля-Ленца. Дифференциальное уравнение задачи имеет вид
LdJ/dt+RJ+q/C= 0 (1)
Это уравнение отражает второй закон Кирхгофа для замкнутой цепи – сумма падений напряжений равна сумме ЭДС (ЭДС в нашей цепи нет). Первое слагаемое в (1) - падение напряжения на индуктивности UL, второе слагаемое – падение напряжения на пассивном сопротивленииUR (закон Ома), третье слагаемое – напряжение на емкостиUC (q-величина заряда на емкости). Используя связь тока с изменением заряда на конденсатореJ=dq/dt, уравнение (1) записывают в виде
d2q/dt2 + 2bdq/dt + 02q = 0, (2)
в котором использованы обозначения для декремента затухания и собственной частоты
b= 0.5R/L,02= 1/(LC) . (3)
При b= 0 дифференциальное уравнение описывает гармонические колебания с циклической частотой0 (циклическая частота равна обычной частоте умноженной на 2). Приb=const<0происходят затухающие колебания с частотой(еслиb>0 колебания ангармонические). Напомним, что в нашем случаеbconst.
Перейдем к описанию способа вычисления сопротивления R(T) =R(T(t)). При небольших изменениях температуры полагают, что сопротивление линейно зависит от температуры
R(T) =R(0) (1+(T-T0)) (4)
В этой зависимости R(0) - сопротивление при температуреT0, а- температурный коэффициент. Для нахождения температуры полагаем, что все тепло, выделившееся на сопротивлении согласно закона Джоуля-Ленца
Q(t) = J2(t)R(t)dt Jk2 Rk (5)
идет на нагрев сопротивления в соответствии с формулой
Q=mc(T–T0), (6)
в котором m- масса сопротивления, а с – теплоемкость единицы массы. Из формул (5)-(6) следует, что
T(t)T0+ (Jk2Rk)/(mc). (7)
Сумма в (7) соответствует приближенному вычислению интеграла по методу прямоугольников (- шаг по времени,k- номер шага по времени).
Опишем простейшую схему счета (можно использовать другую, но иметь доказательстваее работоспособности) с порядком аппроксимацииO(2)
qk+1 - 2qk + qk-1 + b(qk+1-qk-1) + (0)2qk =0. (8)
После преобразований схема приводится к виду
qk+1= ((2 - (0)2)qk+ (bk–1)qk-1)/(1+bk) (9)
Обсудим начальные условия задачи. В начальный момент времени полагается, что ток не течет, а на конденсаторе задается разность потенциалов U0. То есть предполагается, что начальный момент времени соответствует моменту включения в цепь заряженного конденсатора. Таким образом, имеем
q(0) =CU0,J(0) = 0 (10)
Для счета по трехслойной схеме требуются значения заряда на двух слоях. Одно значение при k= 0 следует из (10). Значение приk=1 (t=) находится из разложенияq() в ряд Тейлора и использования дифференциального уравнения вместе с начальным условием для тока
q1 =q0(1 – 0.5202) (11)
К числу фиксированных параметров относятся (используется система единиц СИ)
C= 440 мкФ ,L= 410-7Гн, с=0.896 кДж/(кг К),
R(0)= 10-4 Ом,m= 1 г , Т0= 20С, (12)
Тпл=660.1 °С, Qпл=397 к Дж/кг,0.0043/К.
Электрические параметры примерно соответствуют параметрам, которые использовались при попытках превращения графита в алмаз в лаборатории радиоспектроскопии А.С. Кимом. Графит находился в металлической обойме, которая при протекании тока расплавлялась и за счет пинч-эффекта сжимала графит. Параметры металлической обоймы (m, с,, Тпл,Qпл) соответствуют алюминию [1].
Начальное напряжение на конденсаторе определяется номером студента по формуле В.
Условия представления и защиты результатов.
1.Разбираться в физической и математической постановке задачи. Счет вести в течении периода , определенного по циклической частоте.
2. Показать зависимость интегральных характеристик решения от основного параметра метода -. В качестве интегральных характеристик выбрать первое экстремальное значение силы тока и время достижения этого значения.
3. Представить зависимости J(t), Т(t) на периоде. Объяснить их. Выяснить – достигнута ли температура плавления. Указать погрешности выбранной модели.