6 АНАЛИЗ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ МЕТОДОМ КОМПЛЕКСНЫХ АМПЛИТУД

ЗАДАНИЕ

6.1 Используя символьный метод комплексных амплитуд рассчитать мгновенные значения токов и напряжений ветвей цепи, схема которой приведена на рис. 12. Величины параметров элементов цепи указаны в табл. 9.

Рис. 12

Таблица 9

39

Окончание табл. 9

6.2 Проверить выполнение баланса мощностей в цепи, рассмотренной в пункте 6.1.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

6.1 Расчет разветвленных линейных электрических цепей в установившемся режиме при гармоническом воздействии осуществляют символическим методом комплексных амплитуд. Это объясняется тем, что классический метод расчета связан с решением интегральнодифференциальных уравнений и требует большого объема тригонометрических преобразований. Метод комплексных амплитуд позволяет

40

интегрально-дифференциальные уравнения свести к алгебраическим уравнениям с комплексными числами, что существенно упрощает расчет.

Расчет электрической цепи методом комплексных амплитуд сводится к следующей последовательности действий:

1)замена гармонических токов и напряжений всех ветвей их комплексными изображениями, схемы для мгновенных значений – комплексной схемой замещения;

2)составление уравнений электрического равновесия цепи для комплексных изображений токов и напряжений на основе законов Ома и Кирхгофа в комплексной форме;

3)решение системы уравнений электрического равновесия относительно комплексных изображений интересующих токов и напряжений;

4)переход от комплексных изображений интересующих токов и напряжений к их оригиналам.

Пример. Определим токи и напряжения ветвей цепи (рис. 12) при гармоническом воздействии.

Заменим схему цепи (рис. 12) комплексной схемой замещения (рис. 13), произвольно указав токи ветвей на схеме. Будем считать, что ток и напряжение ветви направлены одинаково.

Рис. 13

Число ветвей цепи р=5, число узлов q=3, следовательно, основная система уравнений электрического равновесия содержит 2р=10 уравнений, из которых m=q-1=2 составлены на основании первого закона Кирхгофа:

I1 I 2 I3 0 ;

I3 I 4 I5 0

41

и n=р-q+1=3 уравнения – на основании второго закона Кирхгофа для независимых контуров:

Уравнения, составленные на основе законов Кирхгофа, называют топологическими.

В основную систему уравнений электрического равновесия входят компонентные уравнения, связывающие токи и напряжения ветвей:

получили еще пять уравнений основной системы уравнений электрического равновесия цепи.

Решая совместно основную систему уравнений электрического равновесия цепи, можно найти комплексные действующие значения токов и напряжений.

Зная комплексные действующие значения токов и напряжений, можно записать мгновенные значения токов и напряжений ветвей как действительные части их мгновенных комплексов (см. п.1.4.).

С помощью основной системы уравнений электрического равновесия можно производить анализ любых цепей, однако, чем сложнее цепь, тем больше требуется уравнений для описания цепи. Число одновременно решаемых уравнений можно сократить, если использовать методы и теоремы теории цепей, например, методы контурных токов, узло-

вых потенциалов и другие [1, с. 224…263, 2, с, 41…60, с. 65…71].

42

6.2 Условие баланса комплексных мощностей сформулировано [1] следующим образом: сумма комплексных мощностей, отдаваемых всеми идеализированными активными элементами Psk ист , равна сумме

комплексных мощностей всех идеализированных пассивных элементов

Psk потр .

Уравнение баланса комплексных мощностей имеет вид:

где N+M – общее количество идеализированных источников, соответственно, напряжения и тока, H – количество пассивных идеализированных элементов.

Для практических расчетов электрических цепей условие баланса мощностей удобно представить в следующем виде:

Слагаемое Ek Ik есть произведение комплексного действующего

значения ЭДС источника напряжения на комплексно-сопряженный ток

этого источника; слагаемое Uk Ik равно произведению комплексного напряжения на источнике тока на комплексно-сопряженный ток этого источника. Правая часть уравнения (36) есть сумма комплексных мощностей всех идеализированных пассивных элементов, причем каждое слагаемое вида Ik2 Z k равно произведению квадрата действующего зна-

чения тока каждого идеализированного пассивного элемента на его комплексное сопротивление.

Более подробно ознакомиться с методикой расчета баланса мощностей электрической цепи можно в учебной литературе [1, с.112…114; 2, с. 38…41; 4, с. 25, 26].

43