математика

Воспользуемся формулой (3), где a = 0, b = 1, ' (x) = 0, ' (x) =

p 1 2

1 x2. Таким образом, искомый интеграл принимает вид

Задача 2. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле и вычислить полученный интеграл

Решение: Подынтегральная функция имеет вид f(x; y) = x + 2y. Нарисуем область D, состоящую из областей

D1 = 0 6 x 6 1; 0 6 y 6 x2 è

D2 = f1 6 x 6 2; 0 6 y 6 2 xg :

Область D является правильной в направлении оси Ox, при этом

0 6 y 6 1; py 6 x 6 2 y.

11

Ðèñ. 6.

Повторный интеграл, таким образом, равен

Задача 3. Расставить пределы интегрирования для двойного

RR

интеграла I = f(x; y) dxdy в области D, ограниченной прямыми

D

x = 0; y = 0; x + y = 3.

Решение: Изобразим область D в декартовых координатах. Это треугольник AOB, где A имеет координаты (0; 3), B(3; 0).

Ðèñ. 7. 12

Область D правильная, можно использовать и формулу (3), и формулу (4). По (3)

33 x

ZZ

00

Задачи.

Записать двойной интеграл в виде повторного:

D

2x

Изменить порядок интегрирования:

13

0x

RR

11 y

RR

12. dy p f(x; y) dx.

0 1 y2

Расставить пределы интегрирования в повторном интеграле, к ко-

13. Область D ограничена линиями y2 = x + 2 è y x = 0.

14. Область D ограничена линиями x = 0; x = 1; y = x; y = p

2 x2.

Занятие 2

Вычисление двойного интеграла в полярных координатах

Для упрощения вычисления двойного интеграла часто используют метод замены переменных. Определим преобразование независимых переменных x и y как

Если функции (5) задают взаимно однозначное отображение D на D, имеют в области D плоскости Ouv непрерывные частные производные первого порядка и отличный от нуля определитель

а функция f(x; y) непрерывна в области D, то справедлива формула замены переменных в двойном интеграле :

ZZ ZZ

DD

14

Функциональный определитель (6) называется определителем Якоби èëè якобианом.

Частный случай замены переменных переход от декартовых координат x и y к полярным координатам r и '. Формулы (5) имеют

âèä

Правые части в этих равенствах непрерывные функции. Якобиан преобразования определяется из (6) как

Формула замены переменных (7) принимает вид

ãäå D область в полярной системе координат, соответствующая области D в декартовой системе координат.

Для вычисления двойного интеграла в полярных координатах

применяют то же правило сведения его к повторному интегралу. Пусть область D правильная : луч, выходящий из полюса, пе-

ресекает ее границу не более чем в двух точках. Возможны три варианта расположения полюса O и области интегрирования D .

a)Полюс O не принадлежит области D . Тогда область D çàïè- сывается системой неравенств 6 ' 6 ; 1(') 6 r 6 2(').

Ðèñ. 8.

15

Применяя формулу (70) и переходя к повторному интегралу, получим

ZZ ZZ

f(x; y) dxdy = f (r cos '; r sin ') r drd' =

DD

2(')

ZZ

1(')

б) Полюс O принадлежит области интегрирования D .

Ðèñ. 9.

Тогда область D записывается как 0 6 ' 6 2 ; 0 6 r 6 ('), двойной интеграл в свою очередь сводится к повторному

ZZ ZZ

f(x; y) dxdy = f (r cos '; r sin ') r drd' =

DD

2 (')

ZZ

00

в) Полюс O принадлежит границе области интегрирования D .

Ðèñ. 10. 16

Тогда область D записывается системой неравенств 6 ' 6; 0 6 r 6 (') и двойной интеграл преобразуется в повторный

ZZ ZZ

f(x; y) dxdy = f (r cos '; r sin ') r drd' =

DD

Замечания.

1.Переход к полярным координатам полезен, когда подынтегральная функция имеет вид f x2 + y2 , область D есть круг,

кольцо или часть таковых, поскольку x2 + y2 = r2 cos2 ' + r2 sin2 ' = r2.

2.На практике переход к полярным координатам осуществляется путем замены x = r cos '; y = r sin '; dxdy = r dr d'; уравнения линий, ограничивающих область D, также преобразуются к полярным координатам. Преобразование области D в область D не выполняют, а, совместив декартову и полярную

системы координат, находят нужные пределы интегрирования по r и ' (исследуя закон изменения r и ' точки (r; ') при ее отождествлении с точкой (x; y) области D).

Задача 1. Перейти в двойном интеграле к полярным коорди-

Решение: Изобразим D в декартовых координатах: y = x биссектриса I и III координатных углов, y = 0 ось Ox, (x 1)2 + y2 = 1 окружность с центром в точке (1; 0) и радиусом 1.

17

Ðèñ. 11.

Угол ' в полярных координатах (полюс совпадает с точкой (0; 0), направление r совпадает с направлением оси Ox) меняется от 0 (ось Ox) до =4 (прямая y = x в полярных координатах имеет вид r sin ' = r cos ', т. е. ' = =4). Граница окружности x2 + y2 = 2x после преобразований имеет вид r = sin '. Область D правильная, с полюсом, лежащим на границе. Значит

Задача 2. Перейти к полярным координатам в повторном ин-

22x

RR

теграле dx f(x; y) dy:

00

Решение: Изобразим область в декартовых координатах. Это треугольник, стороны которого в полярных координатах ' = 0 (ось

Ox) и ' = arctg 2 (прямая y = 2x), а также r = 2= cos ' (прямая x = 2).

Ðèñ. 12.

18

Область правильная, полюс лежит на границе, значит

Задача 3. Вычислить RR ex2+y2 dxdy, где область D четверть

D

круга, x2 + y2 6 4, расположенная в первом квадранте. Решение: При помощи формул (50) получим

f(x; y) = ex2+y2 = er2 cos2 '+r2 sin2 ' = er2 :

Уравнение окружности x2 + y2 = 4 в полярных координатах r = 2. Угол ' меняется от 0 (ось Ox) до =2 (ось Oy).

Ðèñ. 13.

Сводим двойной интеграл к повторному и вычисляем

=2 2

19

Задачи.

RR

Перейти в двойном интеграле f(x; y) dxdy к полярным коорди-

D

натам и расставить пределы интегрирования:

1.Область D ограничена окружностями x2 + y2 = 4x è x2 + y2 = 8x и прямыми y = x; y = 2x.

4.Область D квадрат OABC с вершинами O(0; 0), A(2; 0),

B(2; 2), C(0; 2).

Перейти в повторном интеграле к полярным координатам:

p

99 x2

00

p

44y y2

RR

10

p

11 y2

p

RR

00

p

11 x2

00

Вычислить интегралы, перейдя к полярным координатам:

p

RR

11.x2 + y2 9 dxdy, где область D ограничена окружностя-

D

ìè x2 + y2 = 9 è x2 + y2 = 25.

20