Модуль моменту сили

, (5)

де — кут між і ; — плече сили — довжина перпендикуляра, опущеного з точки О на лінію дії сили .

Момент сили відносно нерухомої вісі Z, яка співпадає з напрямком вектора , то момент сили зображається у вигляді вектора, який співпадає з віссю:

. (6)

Для нашого випадку плече сили дорівнює радіусу обода колеса R, тоді модуль моменту сили дорівнює

. (7)

З рівнянь (2) та (7) отримаємо кутове прискорення колеса:

. (8)

Для однорідного диска (циліндра) радіуса і масою відносно осі, що збігається з віссю диска, момент інерції дорівнює:

; (9)

Момент інерції з виразу (9) підставляємо в вираз (8) і отримаємо вираз для розрахунку кутового прискорення:

= (10)

З рівняння кутової швидкості визначаємо час t, після початку дії сили, коли колесо буде мати частоту обертання :

, при умові, що = 0. (11)

Дані умови задачі підставляємо в вирази (10) та (11) і отримаємо відповіді:

= =

35. До краю стола прикріплений блок (див. рис. 1.78). Через блок перекинена невагома нитка, до кінців якої прикріплені вантажі. Один вантаж рухається по поверхні стола, а інший - вздовж вертикалі вниз. Визначити коефіцієнт тертя між поверхнею вантажу і столу, якщо маса кожного вантажу і маса блоку однакові і вантажі рухаються з прискоренням а = 5,6 м/с². Силою тертя на блоці нехтувати.

1.78.

Рис. 1.78.

Дано

m1 = m2 = = а = 5,6 м/с2

= ?

Розв’язок.

Запишемо основне рівняння динаміки руху усіх зв’язаних тіл:

. (1)

Момент сили знаходимо за формулою:

, (2)

де - радіус блоку.

Момент інерції блоку визначаємо за формулою для диску, ось обертання якого проходить через його центр мас:

, (3)

а кутове прискорення можна визначити за формулою:

. (4)

З перших двох рівнянь системи (1) визначаємо сили натягу нитки і підставляємо в рівняння (2), в якому розписуємо момент сили:

, (5)

З останнього рівняння (5) визначаємо коефіцієнт тертя між поверхнею вантажу і столу:

= (6)

Дані умови задачі підставляємо в вираз (6) і отримаємо відповідь:

=

35. Кулька масою m = 60 г, що прив'язана до кінця нитки довжиною L₁ = 1,2 м, обертається з частотою = 2 с^-1, опираючись на горизонтальну площину. Нитка скорочується, наближаючи кульку до осі на відстань L₂ = 0,6 м. З якою частотою , буде при цьому обертатися кулька? Яку роботу здійснює зовнішня сила, укорочуючи нитку?

1.79.

Дано

m = 60 г L1 = 1,2 м = 2 с-1 L2 = 0,6 м

= ? = ?

Розв’язок.

Закон збереження моменту імпульсу в ізольованій механічній системі, якою можна вважати кульку, що рухається без тертя о горизонтальну поверхню, на яку вона опирається, має вигляд:

, (1)

де момент інерції кульки визначаємо як для матеріальної точки, тобто .

З рівняння (1) знаходимо вираз для розрахунку другої частоти:

= (2)

Роботу, яку здійснює зовнішня сила, укорочуючи нитку, визначаємо з зміни кінетичної енергії кульки:

. (3)

Дані умови задачі (виражені в одиницях системи СІ) підставляємо в вирази (2) та (3) і отримаємо відповіді:

= =

35. Маховик, момент інерції якого J = 63,6 кгм², обертається з кутовою швидкістю  = 31,4 рад/с. Найти момент сил гальмування М, під дією якого маховик зупиняється через час t = 20 с. Маховик вважати однорідним диском.

1.80.

Дано

J = 63,6 кгм2 0 = 31,4 рад/с t = 20 с

= ?

Розв’язок.

Основне рівняння динаміки обертального руху твердого тіла має вигляд:

, (1)

де — геометрична сума моментів зовнішніх сил; — момент інерції тіла; — кутове прискорення.

Або в скалярному вигляді маємо

, (2)

де кутове прискорення дорівнює:

. (3)

Підставляємо прискорення з рівняння (3) у формулу (2) і визначаємо момент сил гальмування:

=

35. Маховик радіусом R = 0,2 м і масою m = 10 кг зчеплений з мотором за допомогою привідного ременя. Сила натягу ременя, що йде без ковзання, Т = 14,7 Н. Яку частоту обертання буде мати маховик через час t = 10 с після початку руху? Маховик вважати однорідним диском. Тертям знехтувати.

1.81.

Дано

R = 0,2 м m = 10 кг Т = 14,7 Н t = 10 с

= ?

Розв’язок.

Основне рівняння динаміки обертального руху твердого тіла має вигляд:

, (1)

де — геометрична сума моментів зовнішніх сил; — момент інерції тіла; — кутове прискорення.

Або в скалярному вигляді для нашого випадку маємо

, (2)

де момент інерції однорідного диску дорівнює

, (3)

а прискорення дорівнює:

. (4)

Звідки отримаємо частоту обертання, яку буде мати маховик через час t після початку руху:

. (5)

Підставляємо прискорення з рівняння (2) та момент інерції з формули (3) у формулу (5) і отримуємо вираз для розрахунку частоти:

= (6)

Дані умови задачі підставляємо в вираз (6) і отримаємо відповідь:

=

35. По дотичній до шківа маховика у вигляді диска діаметром D = 75 см і масою m = 40 кг прикладена сила F = 1 кН. Визначити кутове прискорення і частоту обертання маховика через час t = 10 с після початку дії сили, якщо радіус шківа r = 12 см.

1.82.

Дано

D = 75 см m = 40 кг = 1 кН t = 10 с = 12 см

= ? = ?

Розв’язок.

О

Рис. 1.82

сновне рівняння динаміки обертального руху твердого тіла має вигляд:

, (1)

де — геометрична сума моментів зовнішніх сил; — момент інерції тіла; — кутове прискорення.

Або в скалярному вигляді для нашого випадку маємо

, (2)

де момент інерції однорідного диску дорівнює (момент інерції шківа не враховуємо бо незадана його маса):

, (3)

Робимо підстановку моменту інерції з виразу (3) у вираз (2) для отримання формули для розрахунку кутового прискорення:

= (4)

З відомої формули прискорення визначаємо частоту обертання маховика через час t після початку дії сили:

. (5)

Дані умови задачі підставляємо в вирази (4) та (5) і отримаємо відповіді:

= =

35. Н

    

    Рис. 1.83

    а обід маховика діаметром D = 60 см намотаний шнур, до кінця якого прив'язаний вантаж масою m = 2 кг. Визначити момент інерції J маховика, якщо він обертаючись рівноприскорено під дією сили ваги вантажу, за час t = 3 с придбав кутову швидкість  = 9 рад/с.

1.83.

Дано

D = 60 см m = 2 кг t = 3 с  = 9 рад/с

= ?

Розв’язок.

Основне рівняння динаміки обертального руху твердого тіла має вигляд:

, (1)

де - геометрична сума моментів зовнішніх сил; - момент інерції тіла; - кутове прискорення.

Або в скалярному вигляді для нашого випадку маємо

, (2)

Силу натягу шнура визначимо з рівняння руху вантажу:

. (3)

З відомої формули визначаємо кутове прискорення:

. (4)

Силу натягу шнура з формули (3), кутове прискорення з формули (4) підставляємо у формулу (2) і отримаємо момент інерції J маховика:

= (5)

Дані умови задачі підставляємо в вираз (5) і отримаємо відповіді:

=

35. Нитка з прив'язаними до її кінців вантажами масами m₁ = 50 г та m₂ = 60 г перекинута через блок діаметром D = 4 см. Визначити момент інерції J блока, якщо під дією сили ваги вантажів він отримав кутове прискорення  = 9 рад/с². Тертям нитки по блоку знехтувати.

1.84.

Дано

m1 = 50 г m2 = 60 г D = 4 см  = 9 рад/с2

= ?

Розв’язок.

Запишемо основне рівняння динаміки руху усіх зв’язаних тіл:

. (1)

Момент сили знаходимо за формулою:

Рис. 1.84

, (2)

де - радіус блоку.

Кутове прискорення блоку пов’язане з лінійним прискоренням точок його ободу формулою:

. (3)

З перших двох рівнянь системи (1) визначаємо сили натягу нитки і підставляємо в рівняння (2), в якому розписуємо момент сили:

, (4)

З останнього рівняння (4) визначаємо момент інерції J блока:

= (6)

Дані умови задачі підставляємо в вираз (6) і отримаємо відповідь:

=

35. Стержень обертається навколо осі, що проходить через його середину, у відповідності з рівнянням  = A t+B t³, де А = 2 рад/с, В = 0,2 рад/с³. Визначити момент сил, що буде діяти на стержень через t = 2 с після початку його руху. Момент інерції стержня J = 0,048 кг м².

1.85.

Дано

рад t = 2 с J = 0,048 кг м2

= ?

Розв’язок.

Основне рівняння динаміки обертального руху твердого тіла має вигляд:

, (1)

де - геометрична сума моментів зовнішніх сил; - момент інерції тіла; - кутове прискорення.

Або в скалярному вигляді для нашого випадку маємо

, (2)

Кутове прискорення визначаємо як другу похідну від кута повороту стержня по часу:

. (3)

Підставляємо кутове прискорення з виразу (3) та дані умови задачі в вираз (2) і отримаємо відповіді:

=

35. Визначити момент сили М, який необхідно прикласти до блока, що обертається з частотою = 12 с^-1, щоб він зупинився протягом часу t = 8 с. Діаметр блоку D = 30 см. Масу блоку m = 6 кг вважати рівномірно розподіленою по ободу.

1.85.

Дано

= 12 с-1 t = 8 с D = 30 см m = 6 кг

= ?

Розв’язок.

Основне рівняння динаміки обертального руху твердого тіла має вигляд:

, (1)

де - геометрична сума моментів зовнішніх сил; - момент інерції тіла; - кутове прискорення.

Або в скалярному вигляді для нашого випадку маємо

, (2)

Середнє кутове прискорення визначаємо за формулою:

(3)

оскільки блок зупинився.

Момент інерції блоку, маса якого рівномірно розподіленою по ободу, а вісь обертання проходить через його центр, дорівнює

. (4)

Підставляємо кутове прискорення з виразу (3), момент інерції з виразу (4) та дані умови задачі в вираз (2) і отримаємо відповіді:

=

35. Циліндр, розташований горизонтально, може обертатися навколо осі, що співпадає з віссю циліндра. Маса циліндра = 12 кг. На циліндр намотали шнур, до якого прив'язали гирю масою m₂ = 1 кг. З яким прискоренням буде опускатися гиря? Яка сила натягу шнура під час руху гирі?

Рис. 1.87

1.87.

Дано

= 12 кг m2 = 1 кг

= ? = ?

Розв’язок.

Основне рівняння динаміки обертального руху твердого тіла має вигляд:

, (1)

де - геометрична сума моментів зовнішніх сил; - момент інерції тіла; - кутове прискорення.

Або в скалярному вигляді для нашого випадку маємо

, (2)

де момент інерції циліндра навколо осі, що співпадає з віссю циліндра дорівнює

, (3)

Тоді сила натягу шнура визначається з формули (2) с використанням формули (3) та зв’язку між кутовим та лінійним прискоренням ():

, (4)

З рівняння динаміки руху вантажу отримаємо силу натягу шнура:

. (5)

Порівнюючи праві частини рівнянь (4) і (5) отримаємо рівняння для розрахунку прискорення:

. (6)

Прискорення з виразу (5) підставляємо у формулу (4) і отримаємо вираз для розрахунку сила натягу шнура під час руху гирі:

= (7)

Дані умови задачі підставляємо в вирази (6) та (7) і отримаємо відповіді:

= =

35. Через блок масою M = 200 г, виконаний у вигляді колеса, перекинена нитка, до кінців якої прив'язані вантажі масами m₁ = 100 г і m₂ = 300 г. Визначити прискорення, з яким будуть рухатися вантажі, і сили натягу нитки по обидві сторони блока.

1.88.

Дано

M = 200 г m1 = 100 г m2 = 300 г

= ? = ?

Розв’язок.

Запишемо основне рівняння динаміки руху усіх зв’язаних тіл:

Рис. 1.88

. (1)

Момент сили знаходимо за формулою:

, (2)

де - радіус блоку.

Кутове прискорення блоку пов’язане з лінійним прискоренням точок його ободу формулою:

. (3)

З перших двох рівнянь системи (1) визначаємо сили натягу нитки і підставляємо в рівняння (2), в якому розписуємо момент сили:

, (4)

З останнього рівняння (4) визначаємо момент інерції J блока:

= (6)

Дані умови задачі підставляємо в вираз (6) і отримаємо відповідь:

=

35. Двом однаковим маховикам, що знаходяться в спокої, надали однакову кутову швидкість  = 63 рад/с і надали їх самим собі. Під дією сил тертя перший маховик зупинився через одну хвилину, а другий зробив до повної зупинки N = 360 обертів. У скільки разів момент сил тертя у першого маховика був більшим ніж у другого?

1.89.

Дано

 = 63 рад/с = 1 хв N = 360 обертів

= ?

Розв’язок.

Основне рівняння динаміки обертального руху твердого тіла має вигляд:

, (1)

де - геометрична сума моментів зовнішніх сил; - момент інерції тіла; - кутове прискорення.

Або в скалярному вигляді для нашого випадку маємо

, (2)

Запишемо відношення моментів сил тертя

. (3)

Кутове прискорення першого маховика визначимо як середнє:

. (4)

Кутове прискорення другого маховика визначимо з кількості обертів, які він зробив до повної зупинки:

. (5)

Підставляємо кутові прискорення з виразів (4) та (5) у формулу (3) і отримаємо вираз для розрахунку:

= (6)

Дані умови задачі підставляємо в вираз (6) і отримаємо відповідь:

=

35. Куля скочується з похилої площини висотою h = 90 см. Яку лінійну швидкість буде мати центр кулі у момент, коли вона скотиться з похилої площини?

1.90.

Дано

h = 90 см

= ?

Розв’язок.

Згідно з законом збереження механічної енергії для замкненої системи тіл, потенціальна енергія кулі переходить в її кінетичну енергію поступального та обертального руху:

, (1)

де - маса кулі; , - лінійна і кутова швидкість кулі, які пов’язані між собою рівнянням ; - момент інерції кулі відносно її центру мас.

Змінимо рівняння (1) з урахуванням наведених зв’язків:

, (2)

звідки отримаємо вираз для розрахунку швидкості:

= (3)

Дані умови задачі (виражені в системі одиниць СІ) підставляємо в вираз (3) і отримаємо відповідь:

=

35. На верхній поверхні горизонтального диска, який може обертатися навколо вертикальної осі, прокладені по колу радіусом r₁ =50 см рейки іграшкової залізниці. Маса диска = 10 кг, а його радіус R₂ = 60 см. На рейки нерухомого диска був поставлений заводний паровозик масою = 1 кг. Він почав рухатися відносно рейок з швидкістю = 0,8 м/с. З якою кутовою швидкістю буде обертатися диск?

1.91.

Дано

r1 =50 см = 10 кг R2 = 60 см = 1 кг = 0,8 м/с

= ?

Розв’язок.

Закон збереження моменту імпульсу в ізольованій механічній системі має вигляд:

. (1)

У скалярному вигляді цей закон можна записати так:

, (2)

де - момент інерції заводного паровозика, який вважаємо матеріальною точкою; - його кутова швидкість; - момент інерції лиска з паровозиком; - його кутова швидкість.

У рівняння (2) підставляємо приведені значення моментів інерції і кутової швидкості паровозика

. (3)

З рівняння (3) отримуємо вираз для розрахунку кутової швидкості з якою буде обертатися диск:

= (4)

Дані умови задачі (виражені в системі одиниць СІ) підставляємо в вираз (4) і отримаємо відповідь:

=

35. Блок, що має форму диска масою = 0,4 кг, обертається під дією сили натягу нитки, до кінців якої підвішені вантажі масами = 0,3 кг та = 0,7 кг. Визначити сили натягу Т₁ і Т₂ нитки по обидві сторони блоку.

1.92.

Дано

= 0,4 кг m1 = 0,3 кг = 0,7 кг

= ? = ?

Рис. 1.92

Розв’язок.

Запишемо основне рівняння динаміки руху усіх зв’язаних тіл:

. (1)

Момент сили знаходимо за формулою:

, (2)

де - радіус блоку.

Момент інерції диску відносно осі, яка проходить через його центр мас, визначається за формулою:

. (3)

Кутове прискорення блоку пов’язане з лінійним прискоренням точок його ободу формулою:

. (4)

З перших двох рівнянь системи (1) визначаємо сили натягу нитки:

, (5)

та

, (6)

і підставляємо в рівняння (2), в якому розписуємо момент сили згідно з виразом (3):

, (7)

З останнього рівняння (7) визначаємо прискорення грузів:

. (8)

Значення прискорення з виразу (8) підставляємо в вираз (5) та (6) і отримаємо вирази для розрахунку сили натягу Т₁ і Т₂ нитки по обидві сторони блоку:

= (9)

та

= (10)

Дані умови задачі підставляємо в вирази (9) та (10) і отримаємо відповіді:

= =

35. Куля масою m = 1 кг, що котиться без ковзання, ударяється об стінку і відкочується від неї. Швидкість кулі до удару об стінку = 10 см/с, після удару - = 8 см/с. Найти кількість теплоти Q, що виділилася при ударі кулі об стіну.

1.93.

Дано

m = 1 кг = 10 см/с = 8 см/с

= ?

Розв’язок.

Для спрощення розв’язку задачі, вважаємо що рух кулі відбувається у горизонтальному напрямку, тоді кількість теплоти Q, яка може виділитись при ударі кулі об стінку, дорівнюватиме зміні кінетичної енергії кулі:

. (1)

Кінетична енергія кулі як до удару , так і після нього , складається з кінетичної енергії поступального і обертального руху:

(2)

Оскільки куля котиться без ковзання, то між кутовою швидкістю її обертання та лінійною швидкістю руху центру мас кулі існує такий зв'язок:

, (3)

а момент інерції кулі відносно вісі, що проходить через його центр мас, визначається формулою:

, (4)

тоді систему рівнянь (2) можна записати так:

(5)

Отримані в (5) вирази для кінетичної енергії кулі до і після удару підставляємо у формулу (1) і отримаємо вираз для розрахунку кількість теплоти Q, що виділилася при ударі кулі об стіну:

= (6)

Дані умови задачі (виражені в системі одиниць СІ) підставляємо в вираз (6) і отримаємо відповідь:

=

35. Диск діаметром D = 60 см і масою m = 1 кг обертається навколо осі, що проходить через його центр з частотою = 20 об/с. Яку роботу А треба здійснити, щоб зупинити диск?

1.94.

Дано

D = 60 см m = 1 кг = 20 об/с

= ?

Розв’язок.

Робота, яку треба здійснити, щоб зупинити диск дорівнюватиме зміні кінетичної енергії диску:

, (1)

а кінетична енергія обертового руху визначається за формулою:

, (2)

де момент інерції диску відносно осі, що проходить через його центр, дорівнює

, (3)

якщо диск зупиниться, то його кінетична енергія дорівнюватиме нулю, тоді вираз (1) матиме вигляд:

, (4)

де кутову швидкість визначають через частоту обертання диску:

. (5)

Вираз кутової швидкості з (5) підставляємо в формулу (4) і отримаємо вираз для розрахунку роботи:

= (6)

Дані умови задачі (виражені в системі одиниць СІ) підставляємо в вираз (6) і отримаємо відповідь:

= =

35. До кінців легкої і нерозтяжної нитки, перекиненої через блок, підвішені вантажі масою m₁ = 0,2 кг і m₂ = 0,3 кг. У скільки разів відрізняються сили, діючі на нитку по обидві сторони від блоку, якщо маса блоку m = 0,4 кг, а його вісь рухається вертикально вгору з прискоренням а = 2 м/с² ? Силами тертя знехтувати.

1.95.

Дано

= 0,4 кг m1 = 0,2 кг = 0,3 кг

= ? = ?

Рис. 1.95

Розв’язок.

Запишемо основне рівняння динаміки руху першого та другого тіл:

. (1)

У скалярному вигляді в проекціях на напрям руху (вгору) ця система матиме вигляд:

. (2)

Звідки можна отримати сили натягу:

. (3)

Оскільки вантажі зв’язані, то їхні прискорення однакові, тому позначимо їх однією буквою:

, (4)

і отримаємо нову систему рівнянь (3):

. (5)

Запишемо основне рівняння динаміки обертального руху для блоку:

, (6)

Враховуючи, що , , - момент інерції шківа (диску), а для точок ободу шківа, та вирази з системи (5), отримаємо з виразу (6) таке рівняння

, (7)

звідки визначаємо прискорення вантажів:

. (8)

Дані умови задачі підставляємо в вираз (8), а отримане прискорення підставляємо у формули (5) і отримаємо відповіді:

= =

35. Платформа у вигляді диска діаметром D = 3 м і масою m₁ = 180 кг може обертатися навколо вертикальної осі. З якою кутовою швидкістю ₁ буде обертатися ця платформа, якщо по її краю піде людина масою m₂ = 70 кг з швидкістю = 1,8 м/с відносно платформи?

1.96.

Дано

D = 3 м = 70 кг = 180 кг = 1,8 м/с

= ?

Розв’язок.

Для розв’язку задачі використаємо закон збереження моменту імпульсу в ізольованій механічній системі, який має вигляд:

. (1)

Для системи з двох тіл цей закон можна записати у вигляді:

, (2)

де - момент інерції людини, яку вважаємо матеріальною точкою; - його кутова швидкість; - момент інерції диска і людини; - його кутова швидкість.

У рівняння (2) підставляємо приведені значення моментів інерції і кутової швидкості людини

. (3)

З рівняння (3) отримуємо вираз для розрахунку кутової швидкості з якою буде обертатися диск:

= (4)

Дані умови задачі (виражені в системі одиниць СІ) підставляємо в вираз (4) і отримаємо відповідь:

=

35. Платформа, що має форму диска, може обертатися навколо вертикальної осі. На краю платформи стоїть людина. На який кут повернеться платформа, якщо людина піде вздовж краю платформи і, обійшовши її, повернеться в початкову точку? Маса платформи m₁ = 280 кг, маса людини m₂ = 80 кг.

1.97.

Дано

= 280 кг = 80 кг

= ?

Розв’язок.

Кут, на який повернеться платформа, якщо людина піде вздовж краю платформи і, обійшовши її, повернеться в початкову точку, можна визначити за кутовою швидкістю обертового руху платформи і часу, за який людина пройде весь шлях, тобто довжину кола з радіусом диску:

. (1)

Для визначення кутової швидкості використаємо закон збереження моменту імпульсу в ізольованій механічній системі, який має вигляд:

. (2)

Для системи з двох тіл цей закон можна записати у вигляді:

, (3)

де - момент інерції людини, яку вважаємо матеріальною точкою; - його кутова швидкість; - момент інерції лиска з людиною; - його кутова швидкість; - радіус диска.

У рівняння (3) підставляємо приведені значення моментів інерції і кутової швидкості людини

. (4)

З рівняння (4) отримуємо вираз для розрахунку кута повороту диска:

= (5)

Дані умови задачі (виражені в системі одиниць СІ) підставляємо в вираз (5) і отримаємо відповідь:

=

35. Однорідний стержень довжиною = 1 м може вільно обертатися навколо горизонтальної осі, що проходить через один з його кінців. У інший кінець стержня ударяє куля масою m = 7 г, що летіла перпендикулярно стержню і його осі. Удар кулі був абсолютно непружним. Визначити масу стержня, якщо внаслідок попадання кулі він відхилиться на кут  = 60°. Швидкість кулі була = 360 м/с.

1.98.

Дано

= 1 м m = 7 г  = 60° = 360 м/с.

= ?

Рис. 1.98

Розв’язок.

Зробимо малюнок.

Оскільки удар кулі був абсолютно непружним, то куля і відповідна точка стержня після удару будуть рухатись з однаковою швидкістю . Тобто за малий проміжок часу куля надає стержню деяку кінетичну енергію:

, (1)

де момент інерції стержня відносно осі обертання згідно з формулою Штейнера дорівнює

. (2)

Завдяки цієї енергії, стержень без кулі (за умовою вона не застрягає в ньому) повертається на кут , причому його центр тяжіння піднімається на деяку висоту (див. рис. 1.98):

. (3)

При відхиленні стержень на кут він буде мати потенціальну енергію, яка дорівнює

. (4)

Згідно з законом збереження енергії, можна порівняти праві частини рівнянь (1) та (4) і отримати

. (5)