2.2. Аксиоматическое определение множества действительных чисел

Множество действительных чисел – это такое множество, в котором определены операции сложения, умножения, введено отношение порядка, позволяющее сравнивать числа по величине, и которое обладает так называемой непрерывностью. Для этих операций и свойств выполняются 14 приведенных ниже аксиом, разбитых на четыре группы.

I. Аксиомы сложения. Для любой упорядоченной пары действительных чисел иопределено единственным образом число, называемое их суммой. Оно обозначается через+и обладает следующими свойствами.

1. Для любой пары чисел и

+=+(переместительное, или коммутативное свойство сложения).

2. Для любой тройки чисел ,и

+( +)=(+)+(ассоциативное свойство сложения).

3. Существует такое число 0 (нуль), что для любого числа

+0=.

4. Для любого числа существует число, обозначаемое -, такое, что+(-)=0.

II. Аксиомы умножения. Для любой упорядоченной пары действительных чисел иопределено единственным образом число, называемое их произведением. Оно обозначается черезилии обладает следующими свойствами.

5. Для любой пары чисел и

(переместительное, или коммутативное свойство умножения).

6. Для любой тройки чисел ,и

()=()(ассоциативное свойство умножения).

7. Существует такое, не равное нулю, число 1 (единица), что для любого числа

=.

8. Для любого числа , не равного нулю, существует число, обозначаемоеили, такое, что

.

9. Для любой тройки чисел ,и

(+)=+(распределительное свойство сложения относительно умножения).

III. Аксиомы упорядоченности. Для любой пары чисел a и b определено хотя бы одно из двух соотношений a  b или b  a. Это соотношение называется отношением порядка и оно обладает следующими свойствами.

10. Для любой пары чисел из условий a  b и b  a следует, что a = b.

11. Для любой тройки чисел a, b и c из условий a  b и b  c следует,

что a  c (транзитивность отношения порядка).

12. Для любой тройки чисел a, b и c из условия a  b следует, что a+c

 b+c.

13. Для любой пары чисел a, b из условий 0  a и 0  b следует,

что 0  ab.

Здесь полезно слегка передохнуть и порассуждать. К перечисленным аксиомам следует добавить еще хотя бы одну, но не потому, что сейчас их 13 – несчастливое количество. Дело в том, что для множества всех рациональных чисел условия 1-13 выполняются, следовательно, необходимо дополнительное условие, которому множество всех действительных чисел удовлетворяет, а множество только рациональных – нет. Это условие не может быть простым и прозрачным, как непросто и различие между указанными множествами. Прежде чем его сформулировать, введем определение.

Множество X R называется ограниченным сверху, если существует такое число a, что для любого xX выполняется неравенство x  a . В этом случае a называется верхней гранью множества X .

Теперь мы можем привести последнюю группу, состоящую из одной аксиомы.

IV. Аксиома о точной верхней грани.

14. Для любого непустого ограниченного сверху множества Х

действительных чисел существует наименьшая верхняя грань. Она называется точной верхней гранью множества и обозначается supX (от латинского supremum, т.е. наивысший).