![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Методичні рекомендації до розв’язування типових задач
- •1. Елементи комбінаторики Теоретичні положення
- •Типові задачі і їх розв’язуваня
- •1. Довести тотожності:
- •2. Обчислити
- •2. Випадкові події та операції над ними Теоретичні положення
- •Типові задачі і їх розв’язуваня
- •3. Означення ймовірності. Теореми додавання та множення ймовірностей Теоретичні положення
- •Типові задачі і їх розв’язуваня
- •4. Формули повної ймовірності та Байєса Теоретичні положення
- •Типові задачі і їх розв’язуваня
- •5. Послідовність незалежних випробувань. Формула Бернуллі Теоретичні положення
- •Типові задачі і їх розв’язуваня
- •6. Одновимірні випадкові величини та їх числові характеристики Теоретичні положення
- •Типові задачі і їх розв’язуваня
- •7. Основні закони розподілу випадкових величин Теоретичні положення
- •Типові задачі і їх розв’язуваня
- •8. Багатовимірні випадкові величини Теоретичні положення
- •Типові задачі і їх розв’язуваня
- •9. Граничні теореми теорії ймовірностей Теоретичні положення
- •Типові задачі і їх розв’язуваня
- •10. Елементи математичної статистики Теоретичні положення
- •Типові задачі і їх розв’язуваня
- •Додатки
- •Таблиця значень функції
- •Таблиця значень функції
- •Таблиця значень
- •Таблиця значень функції
- •Таблиця значень функції
- •Критичні точки розподілу , де– рівень значущості, а– кількість ступенів вільності
- •Список літератури
- •Приймак Василь Іванович Тестові завдання з теорії ймовірностей та математичної статистики
Типові задачі і їх розв’язуваня
1. Складові
та
дискретної випадкової величини
,
яка задана своїм законом розподілу
(див. табл. 1), характеризують якість
виробленої продукції. Визначити безумовні
закони розподілу випадкових величин
та
і обчислити
Таблиця 1
-
-2
0
1
2
0
0,15
0,1
0,05
0
1
0
0,2
0,1
0,1
2
0,05
0
0,15
0,1
Розв’язування.
Для визначення закону розподілу
випадкової величини
використаємо із (4) першу формулу
Тобто,
Отже, закон розподілу випадкової величини
має вигляд
Таблиця 2
-
0
1
2
0,3
0,4
0,3
Аналогічно за формулою
будемо мати
Ураховуючи ці значення, закон розподілу
випадкової величини
буде
мати вигляд
Таблиця 3
-
-2
0
1
2
0,2
0,3
0,3
0,2
Для обчислення
дисперсій випадкових величин
та
вирахуємо спочатку їхні початкові
моменти першого та другого порядку,
тобто,
В результаті одержимо
Звідси
2. За законом
розподілу дискретної двовимірної
випадкової величини
Таблиця 4
-
1
2
4
5
-1
0,1
0,15
0
0,05
1
0
0,25
0,15
0,1
3
0
0
0,15
0,05
вивести умовний
закон розподілу випадкової величини
за умови, що
,
умовний закон розподілу випадкової
величини
за умови, що
,
знайти умовні математичні сподівання
і
Розв’язування.
Знайдемо умовні ймовірності випадкової
величини
за формулою (5)
де
.
Оскільки
то
Отже, умовний закон
розподілу випадкової величини
за умови, що випадкова величина
набуде значення
,
має вигляд
Таблиця 5
-
-1
1
3
0,25
0,5
0,25
Аналогічно,
використовуючи формулу (6), знайдемо
умовний закон розподілу випадкової
величини
за умови, що
.
Оскільки
то
Тому, умовний закон
розподілу випадкової величини
за умови, що випадкова величина
набуде значення
,
буде мати вигляд
Таблиця 6
-
1
2
4
5
0
0,5
0,3
0,2
Тепер знайдемо шукані умовні математичні сподівання. При цьому урахуємо, що вони розраховуються за формулами (7), (8).
3. За заданою функцією розподілу
неперервної
двовимірної випадкової величини
знайти ймовірність попадання випадкової
точки
в прямокутник, обмежений прямими
Розв’язування. Ймовірність
того, що випадкова точка попаде у
прямокутник
,
можна обчислити за формулою (2)
або за другою властивістю двовимірної щільністю розподілу.
Скориставшись цією формулою, одержимо
4. Неперервна
двовимірна випадкова величина
задана своєю щільністю розподілу
.
Обчислити постійну С.
Розв’язування. Скористаємось третьою властивістю двовимірної щільністю розподілу
В результаті одержимо
5. Знайти
математичні сподівання складових
та
неперервної двовимірної випадкової
величини
,
якщо задана щільність її розподілу
Розв’язування. Для
знаходження математичного сподівання
неперервної випадкової величини
потрібно знати її щільність розподілу.
Оскільки нам задана щільність розподілу
двовимірної випадкової величини
,
то використаємо для цього формулу (10).
Отже,
Враховуючи, що
одержимо
Тепер знайдемо
математичне сподівання складової
:
Отриманий інтеграл
будемо знаходити за частинами. Нехай
,
а
Звідси
а
Тоді
Урахувавши, що
інтеграл Пуассона
,
одержимо
Аналогічно одержимо
і
6. Знайти
коефіцієнт кореляції компонент
двовимірного випадкового величини
,
заданого своїм законом розподілу (див.
табл. 7).
Таблиця 7
-
-1
2
3
1
0,15
0,05
0,1
4
0,25
0,15
0,3
Розв’язування. Щоб
обчислити коефіцієнт кореляції, потрібно
знати величину коваріації випадкового
вектора
та середні квадратичні відхилення його
складових (див формулу (24)). Тому спочатку
знайдемо закони розподілу складових
та
.
Вони будуть мати вигляд (див розв’язування
задачі 1):
Таблиця 8
-
-1
2
3
0,4
0,2
0,4
Таблиця 9
-
1
4
0,3
0,7
Тепер розрахуємо
середні квадратичні відхилення випадкових
величин
та
.
Коваріацію
випадкової величини
знайдемо за формулою (22)
Розрахуємо початковий момент (1+1) порядку.
Тобто
Звідси
Остаточно одержимо