Вертикальні асимптоти

Графік функції y=f(x) при змінній прямуючій до деяої точки має вертикальну асимптоту, якщо границя функції нескінченна Крім цьому точка x=a є точкою розриву II роду, а рівняння вертикальної асимптоти має вигляд x=a.

Похилі асимптоти

Рівняння похилої асимптоти задається рівнянням прямої а площині y=k*x+b де кутовий коефіцієнт та вільний член k,b - границі, що обчислюються за правилом Якщо обидві границі існують і скінченні то функція має похилу асимптоту, інакше – не має. Слід окремо розглядати випадки, коли змінна прямує до пюс безмежності та мінус.

Горизонтальні асимптоти

Крива y=f(x) має горизонтальну асимптоту y=c тільки в тому випадку, коли існує скінченна границя функції при змінній прямуючій до безмежності ,, і ця границя рівна сталійабо

37. Дослідження функції на екстремум. Необхідна та достатні умови

існування екстремуму.

якщо в точці х₀ похідна міняє знак з «+» на «-» (рухаючись в напрямі зростання х), то х₀ - точка максимуму (мал. 100), а якщо з «-» на «+», то х₀ - точка мінімуму (мал. 101).

 

Для дослідження у = f(x) на точки екстремуму доцільно виконувати наступну схему:

1) Знаходимо область визначення функції у = f '(х).

2) Знаходимо похідну f '(x).

3) Знаходимо критичні точки (внутрішні точки області визначення, в яких f '(x) не існує та розв’язки рівняння f '(х) = 0.

4) Позначаємо знайдені точки на області визначення функції у = f(х) та знаходимо знак похідної f '(х) у кожному з цих проміжків (для цього достатньо визначити знак похідної f'(x) в якійсь одній «пробній» точці проміжку.

5) Якщо у критичній точці х₀ похідна міняє знак з «+» на «-», то х₀= х_mах . Якщо ж міняє знак з «-» на «+», то х₀ = х_min . Якщо ж зміни знаків немає, то х₀ не є точкою екстремуму.

6) Робимо висновок (відповідь).

Необхідна ознака локального екстремуму:

Якщо функція має в точці x₀ локальний екстремум, то її похідна або рівна нулю f'(x₀)=0 , або не існує. Точки, які задовольняють виписаним вище вимогам ще називають критичними точками. Проте не в кожній критичній точці функція має екстремум. Відповідь на питання: чи буде критична точка точкою екстремуму дає наступна теорема.

Достатня ознаки існування екстремуму функції

Теорема І. Нехай функція y=f(x) неперервна в деякому інтервалі, що містить критичну точку x₀, і диференційована у всіх точках цього інтервалу (за винятком, можливо, самої точки x₀). Тоді для точки x₀ функція має максимум, якщо для аргументів x<x₀ виконується f'(x₀)>0, а для x>x₀ умоваf'(x₀)<0.

Якщо ж для x<x₀ похідна менша нуля f'(x₀)<0 , а для x>x₀ більша нуля f'(x₀)>0, то для точки x=x₀ функція має мінімум.

Теорема ІІ. Нехай функція два рази диференційована в околі точки x₀ і похідна рівна нулю f'(x₀)=0 . Тоді в точці x=x₀ функція має локальний максимум, якщо друга похідна менша нуля f"(x₀)<0 , і локальний мінімум, якщо друга похідна додатна f"(x₀)>0.

Якщо ж f"(x₀)=0, то точка x=x₀ може й не бути точкою екстремуму.

38. Найбільше і найменше значення функції на відрізку.

Цю теорему слід розуміти так, що для неперервної на [a;b] функції існують точки відрізка[a;b] у яких f(x) набуває найбільшого та найменшого на [a;b] значення. Якщо функція у= = f(x)неперервна на відрізку [а;b] і має на цьому відрізку скінченне число критичних точок, то вона набуває свого найбільшого і найменшого значення на цьому відрізку або в критичних точках, які належать цьому відрізку, або на кінцях відрізка.

схема знаходження найбільшого і найменшого значення функції у = f(x) на проміжку [a;b]:

1) Перевіряємо входження заданого проміжку в область визначення функції.

2) Знаходимо похідну f '(x).

3) Знаходимо критичні точки (внутрішні точки області визначення f(x), в яких f '(x) не існує та розв’язати рівняння f ‘(x) = 0.

4) Вибираємо критичні точки, що належать проміжку [a;b].

5) Обчислюємо значення функції в вибраних критичних точках та в точках а і b.

6) Порівнюємо одержані значення та знаходимо найбільше та найменше значення функції у =f(x) на проміжку [a;b].

7) Відповідь.

39. Похідні і диференціали вищих порядків.

Нехай функція диференційовна на проміжкуX, а  її похідна, яка також є функцією відносно x. Від цієї функції знову можна шукати похідну за умови, що вона існує на заданому проміжку. Похідна від похідної називаєтьсяпохідною другого порядку (second-order derivative) функції і позначається одним із символів:

 

.

 

Так у фізиці, якщо  закон, за яким змінюється пройдений шлях при прямолінійному русі точки, то єприскоренням (acceleration) цієї точки в момент часу t.

 

Аналогічно і т. д.

 

Взагалі похідною n-го порядку від функції називається похідна від похідної-го порядку і позначається

 

, або , або.

40. Застосування похідної в економіці: граничні показники, еластичність

економічних показників.

41. Застосування граничного аналізу при розв’язуванні задач оптимізації в

економіці. Приклади.

42. Область визначення функції багатьох змінних. Інтерпретація в економіці.

43. Частинні похідні. Повна похідна. Повний диференціал і його

застосування в наближених обчисленнях.

В загальному випадку, часткову похідну функції f(x₁,…,x_n) за змінною x_i в точці (a₁,…,a_n) записують так:

Повна похідна функції — похідна функції по часу вздовж траєкторії. Нехай функція має вигляд і її аргументи залежать від часу: . Тоді , де  — параметри, що задають траєкторію. Повна похідна функції (у точці ) у такому випадку дорівнює частковій похідній по часу (у відповідній точці ) і обчислюється за формулою:

,

де  — часткові похідні.

Формула для наближених обчислень функції двох змінних в заданих точках має вигляд  тут

Приклад: За допомогою повного диференціалу наближено обчислити функцію u=xe^y в точці (х=3,02;у=0,03) приймемо х₀=3,у₀=0.

Запишемо вираз для повного диференціалу du=e^ydx+xe^ydy.

Замінивши dx i dy на х і у знаходимо:підставивши результат в формулу для наближених обрахунків отримуємо:

 

44. Похідна за напрямом. Градієнт функції, його властивості.

45. Лінії і поверхні рівня, їх економічна інтерпретація.

46. Дослідження функції багатьох змінних на екстремум.

47. Найбільше і найменше значення функції в замкненій області.

ункція, неперервна в замкненій області D, обов’язково має найбільше і найменше значення в цій області.

Найбільше і найменше значення неперервної в замкненій області функції досягають у внутрішніх точках області (або на межі області), збігаючись відповідно з максимальним або мінімальним значеннями функції.

Тому для пошуку найбільшого і найменшого значень функції в певній замкненій області треба знайти всі внутрішні критичні точки, обчислити в них значення функції, порівняти їх з найбільшим і найменшим значеннями функції на межі області. Найбільше і найменше з цих значень будуть найбільшим та найменшим значеннями неперервної функції в даній замкненій області.

48. Умовний екстремум функції багатьох змінних. Метод Лагранжа.

Метод множителей Лагранжа состоит в том, что для отыскания условного экстремума составляют функцию Лагранжа: F(x,y)=f(x,y)+λφ(x,y) (параметр λ называют множителем Лагранжа). Необходимые условия экстремума задаются системой уравнений, из которой определяются стационарные точки:

Достаточным условием, из которого можно выяснить характер экстремума, служит знак d2F=F′′xxdx2+2F′′xydxdy+F′′yydy2. Если в стационарной точке d2F>0, то функция z=f(x,y) имеет в данной точке условный минимум, если же d2F<0, то условный максимум.

49. Типові оптимізаційні задачі економіки в сфері виробництва і

споживання.