Modul_II

3. Составим

неравенство

. Т.к.

то

неравенство

приобретает

вид

. Значит, как только

так

.

Аналогично

можно показать, что

неравенство

f(x) 3

выполняется

при

. Введя обозначение

получаем, что как только аргумент х

попадает в -окрестность точки х = 2,

так значение функции попадает в

-

окрестность точки у = 3.

df. Число А называется пределом функции y=f(x) при х а, если для

, найдется такое , что для всех х этой

любого, сколь угодно малого числа

окрестности точки х = а выполняется неравенство

.

Символически это записывается так:

.

Тогда в нашем примере

–

, т.е.

.

Определение

предела

функции

при

х

а

имеет простой геометрический смысл: для всех

аргументов из -окрестности точки х

= а,

график

функции y = f(x) находятся в полосе между

прямыми

и

. Как видно

из рисунка, на нелинейных участках кривой за

радиус -окрестности точки

х = а

берется

наименьшая из абсцисс точек пересечения

кривой y =

f(x) с граничными прямыми

и

(

).

различие между понятиями предела функции при х

а и значением функции в

точке х = а.

П 5. Рассмотрим функцию

. В точке х = 2 функция не определена,

однако

. Действительно

для

неравенство

. Т.к.

неравенству

x 2

ε , что и означает,

что как только

так

, что по определению означает, что

.

3.

Односторонние пределы.

Если функция y = f(x) имеет пределом число А при условии, что х

а слева

(

), то А называется пределом функции в точке а слева, и символически

записывается в виде

. Аналогично, Если функция y =

f(x)

имеет пределом число В при условии,

что х

а справа (

), то В

приводят к «неопределенностям», типа

,

,

,

,

,

,

Qm (x)

2

m

Пусть

lim

,

где Qm (x) b0 b 1 x b2 x

... bm x

и

x

Pn

(x)

P (x) a

0

a

1

x a

2

x 2

... a

m

x n - многочлены (полиномы) степени m и n

n

. Т.к.

, то

. Таким образом,

Правило.

Для открытия неопределенности

необходимо в числителе

и знаменателе оставлять старшие члены

(члены, дающие наибольший

вклад в бесконечность).

П 1.

2. Раскрытие неопределенности

.

Пусть

. Т.к f(a) = 0 и g(a) = 0, х = а является корнем

и

.

Тогда

3x

3

+ 2x

2

+ 16

x + 2

x

2

- 2x - 8

x + 2

–

– 3х 3 + 6x 2

3x 2 - 4x + 8

х 2

+ 2x

x - 4

- 4x 2 + 16

–

- 4x - 8

– - 4x 2 - 8x

- 4x - 8

8x +16

0

–

8x +16

0

–

–

.

.

П 3.

П 4.

Мы столкнулись с новым выражением –

.

неравенство f(x) М.

П1. Функция

ограничена на всей числовой оси (

).

П2. Функция

ограничена на [0 , 3], т.к. для

называется ограниченной

при

х

а,

если

она

ограничена в некоторой

окрестности точки а .

Т1. Если функция имеет конечный предел при х

а,

значит она ограничена в

некоторой окрестности точки а.

Доказательство. Пусть

, тогда согласно определения предела

функции, для > 0

такая окрестность точки

,

в которой

.

Т.к.

согласно

свойств

модуля

,

то

,

, или

, что и

требовалось

доказать.

Т2. Если функция

при

имеет

lim

0, то

функция

ограничена в некоторой окрестности точки х = а.

Доказательство аналогично доказательству предыдущей теоремы.

df. Функция y = (х) назывется б.м. фунцией при

, если

Это значит, что в некоторой окрестности точки

Т1. Сумма конечного числа б.м. функций при х

а также является б.м. фунцией

при х

а.

Доказательство. Пусть (х)

и (х) – б.м. функции при х

а.

Тогда,

согласно определения,

такая окрестность точки

х = а, в которой

и

. Рассмотрим функцию

Т.к.

по свойству модулей

,

то, очевидно, что в этой

окрестности

,

что,

согласно

определения,

означает,

что

сумма б.м.

функций (х)

+ (х) является б.м. функцией при х

а. Эту теорему можно

обобщить на случай суммы

любого конечного числа б.м. функций.

Т2. Произведение б.м. функции при х

а на ограниченную функцию при

х а, также является б.м. функцией при х

а.

Теорема доказывается аналогично доказательству предыдущей теоремы.

С1. Произведение конечного числа б.м. функций есть функция б.м..

24

Т3. Частное от деления б.м. функции при х

а на функцию имеющую

предел при х а, является б.м. фунцией при х а.

Теорема доказывается аналогично доказательствам предыдущих теорем.

df. Функция y = f(х) назывется б.б. фунцией при х

а, если для М > 0, сколь

окрестности выполняется неравенство f(x) М.

Символически это записывают

Между б.б. и б.м. существует тесная связь. Легко показать, что если f(x) –

б.б. функция, то 1/ f(x) – б.м. функция

и наоборот, если (х) – б.м.

функция, то 1/ (х) – б.б. функция

.

Докажем, что если f(x) – б.б. функция, то 1/ f(x) – б.м. функция. Если f(x) –

б.б. функция, то согласно определения

и в некоторой окрестности

и согласно определения б.м. функции

– б.м. функция.

Второе соотношение

доказывается аналогично.

Пусть

и

б.м. функции при

Тогда, согласно определения

и

, поэтому

–это неопределенность

.

1. Если при

раскрытии

неопределенности

ее предел равен нулю

, то при

функция б.м.

называется б.м. более

высокого порядка, чем б.м.

, что обозначается как

.

2.

Поэтому

.

Если при раскрытии неопределенности

ее предел равен конечному числу

А

,

то при

б.м. функция

называется б.м.

одного порядка с

,

что обозначается как

. Очевидно в

окрестности нуля

.

3.

Если при раскрытии

неопределенности

ее предел

равен единице

,

то

при

б.м. функция

называется

эквивалентной б.м.

, что обозначается как

.

Т.

Для того, чтобы функция у = f(x) имела пределом число А при х а

(

, необходимо и достаточно, чтобы в некоторой окрестности точки

х = а функция у = f(x)

являлась суммой числа и б.м. функции:

f(x) = А + (х).

Доказательство.

Необходимость. Пусть

. Тогда, согласно определению предела, для

0 существует такая окрестность точки х = а, в которой

– . Вводя

обозначение

, получаем

, согласно определения,

,

–

в этой окрестности, что согласно определения

предела, означает, что

.

что при х а функция имеет два предела:

и

, причем

А В. Тогда, в силу теоремы о связи б.м.

функции и пределов,

в некоторой

окрестности точки х = а f(x) = А + (х)

и f(x) = В + (х), где (х), (х) – б.м.

Т 2. Предел алгебраической суммы двух функций f(x) и g(x) при х

а равен

сумме этих пределов, если они существуют

.

Т 3. Предел произведения двух функций f(x) и g(x) при х

а равен

произведению этих пределов, если они существуют.

.

Пусть

и

. Тогда в некоторой окрестности точки

х = а

по теореме о связи пределов с б.м. функциями f(x) = А + (х) и g(x) = В +

(х)

–

. Очевидно, в этой окрестности f(x) +

есть функция б.м. (х), тогда

f(x) + g(x) = А + В +

(х), следовательно

по теореме о связи пределов с б.м.

функциями

.

Замечание. Доказанные теоремы показывают, что предел обладает

свойством линейности:

.

Эти теоремы существенно упрощают нахождение пределов.

П 1.

=

=

12 + 14 – 6 = 20

П 2.

.

Лемма. Если функции

таковы, что для

и

, то

.

Доказательство. Согласно условию леммы,

.

Т.к. функции

имеют предел

при

, то для

в некоторой окрестности точки х = а

и

.

Поэтому

,

следовательно, в

этой

окрестности и

записи

, т.е.

.

Легко показать, что если на интервале (b;c) функции

таковы, что

они имеют пределы при

и

, то

lim

→

Найдем предел функции

при

. Очевидно

.

1.

. Рассмотрим окружность

единичного радиуса. Обозначим центральный угол OAD

через x. Как видно из рисунка,

.

Т.к.

,

а

. Как известно из элементарной

математики, площадь

кругового сектора

,

. Поэтому

. Т.к.

, где

, то деление этого выражение

на

знаки неравенств не изменит:

,

,

,

.

2.

. Найдем

. Введем новую переменную t = –x очевидно, при

–

новая переменная

,

. Таким образом, предел слева

Т.к.

односторонние пределы равны

, то

.

Предел

в математике называют первым замечательным

пределом. Т.к.

, то эти функции являются б.м. при

и согласно классификации б.м., эти функции являются эквивалентными

б.м. функциями. Поэтому в

окрестности

нуля

.

Это соотношение

существенно упрощает нахождение пределов от более сложных функций.

П 1. Вычислить предел

.

.

П 2. Вычислить предел

.

. Согласно классификации б.м.

функций,

– б.м.

одного порядка, поэтому

в

окрестности нуля

.

П 3. Вычислить предел

.

. Т.к.

, то множитель