Modul_II

2. Показательная функция:

где – основание показательной функции

,

a) При a 0;1 функция является убывающей:

12

4.4

;

Таблица значений тригонометрических функций в первой четверти.

15

Лекция № 14. Тема 2 : Пределы

14.1Функции целочисленной переменной. Числовые последовательности.

1. Определение и примеры. До сих пор мы рассматривали переменную как величину, непрерывно пробегающую все значения в некотором интервале.

Однако в математике часто встречаются и величины, зависящие только от натурального числа, номера n , который может принимать значения 1, 2, 3, . . .

Такую величину называют функцией целочисленной (натуральной) переменной, или числовой функцией, или же функцией индекса, рассматривая целочисленную независимую переменную как номер или индекс (указатель). Смысл этого понятия мы лучше всего поймем на примерах.

тоже является функцией натуральной переменной n

Функцию целочисленного аргумента обычно представляют в виде

Другими словами, здесь мы имеем функцию натурального аргумента п. Единственная разница состоит в том, что вместо символа u(n) пользуются индексным обозначением uп. Сокращенно числовую последовательность

записывают в виде .

2. Понятие предела последовательности чисел.

Понятие предела последовательности принадлежит, наряду с понятием функции, к числу основных понятий математического анализа. Разъясним этот вопрос сначала на нескольких примерах.

Все числа этой последовательности отличны от нуля, однако чем больше индекс

Наглядно это означает, что если изображать числа точками числовой прямой, то точки при возрастании п все плотнее и плотнее скопляются у предельной

точки нуль.

Совершенно таким же образом ведут себя числа последовательности

только в том, что эти числа попеременно то больше, то меньше своего предела, или что они, как говорят, колеблются вокруг своего предела 0. Символически

Для удобства вычислений запишем (1) в виде подстановки в

17

последовательность предельного значения . Такая запись

приводит к важному соотношению –

3. Определение сходимости.

Обобщая рассмотренные ранее примеры, мы приходим к следующему общему

следовательно, совпадают со своим пределом A.

Только что данному определению можно придать и следующую, эквивалентную, формулировку, общепринятую в математике:

df 1. Число A называется пределом числовой последовательности , е сли для любого, сколь угодно малого положительного числа существует такое

Несходящаяся числовая последовательность называется расходящейся, если с возрастанием п числа безгранично возрастают, пробегая положительные значения, то говорят, что последовательность расходится к + ∞.

df 2. Числовая последовательность называется расходящейся при

,если для любого, сколь угодно большого положительного числа M

требовалось доказать.

Замечание. Расходимость может происходить и другим путем, как, например, у последовательности , , , , члены которой принимают поочередно два различных значения и совершают колебания от одного значения к другому и обратно.

Еще одно важное замечание: поведение последовательности в отношении сходимости не изменится, если удалить из нее конечное число членов . В дальнейшем мы этим будем часто пользоваться, ставя, например, вопрос о сходимости или расходимости таких последовательностей, в которых члены для конечного числа значений п вообще не определены.

Полезно запомнить, что из определения предела последовательности непосредственно вытекают следующие свойства:

С1. Предел постоянной равен этой постоянной.

С2. Если последовательность имеет предел, то он единственный. С3. Если последовательность имеет предел, то она ограничена. С4. Не любая последовательность имеет предел.

С5. Монотонная ограниченная последовательность имеет предел.

Замечание. Во всех рассмотренных примерах дело обстояло так, что пределом изучаемой последовательности являлось уже известное нам число. Если бы понятие предела не давало ничего другого, кроме указания на возможность приближенно выражать с какой угодно точностью некоторые известные числа с помощью последовательности других известных чисел, то это понятие не принесло бы много пользы. Плодотворность понятия предела в анализе определяется в значительной степени тем, что пределы последовательностей известных чисел порождают новые числа, до этого не известные или не допускающие другого представления.

19

Весь математический анализ дает сплошную цепь примеров, подтверждающих этот факт, который нам станет в дальнейшем все яснее и яснее. Представление иррациональных чисел в виде пределов рациональных чисел можно рассматривать как первый пример. С другими примерами мы познакомимся позже.

сколь угодно малой для достаточно больших значений аргумента. Т.к. в нашем

угодно близкие к а, но не равные а. Рассмотрим функцию f(x) = 2х – 1. Еѐ значение при х = 2 равно 3, т.е. f(2) = 3. Покажем, что при х 2 значения f(x)

20