§4. Построение асимптотики

Продолжим изложение алгоритма построения асимптотически субоптимальных управлений в задаче (1.1) , опираясь на доказанные утверждения.

Пусть задано натуральное число s, s≤p. Поскольку точки переключения ,j= , оптимального управления принадлежат классу и = , j=,то =+ , j= где

+ , j= (1.16)

Есть полиномы степени Тейлора s-ой степени функции . Управление

, T, (1.17)

отличающихся от оптимального на множестве меры , будем асимптотически субоптимальным управлением s-го порядка в задаче (1.1). Для построения этого управления достаточно найти коэффициенты, j= , k=, полиномов (1.16). Согласно этой методике прежде всего нужно разложить левые части уравнений (1.6), (1.7) по степеням малого параметра, применяя классическую технику Пуанкаре к прямой и сопряженной динамическим системам.

Сначала рассмотрим часто встречающийся в приложениях случай, когда l=m. В этой случае система (1.6), (1.7) распадается, и точки переключения , j=оптимального управления могут быть найдены из первых m уравнений

Hx( (1.18)

Независимо от множителей Лагранжа. Обозначим вектор-функцию в левой части (8.18) через N( , запишем эту систему в виде

N(=0. (1.19) Заметим, что в данном случае систем требование гладкости, предъявленное к вектор-функции f(x,t), x, T, можно ослабить. Точки переключения оптимального управления будут принадлежать классу , усли f(x,t).

Вектор-функция в каждой точке своей области определения имеет частные производные по до порядка p включительно.

Поэтому она представлена в виде

=. (1.20)

С помощью формализма Пуанкаре составив дифференциальные уравнения для функций ,:

=A(t)x₀+b(t)u, x₀()=,

= A(t)x₁+x₀(t),t), x₁()=0, (1.21)

=A(t)x₂ + x₁(t), x₂()=0,

………………………………………………………..

В силу (1.20) имеем

,

где

==H(,t₁,…,t_m)-, (1.22)

==H(,t₁,…,t_m), k=.

Cоставим системы линейных уравнений для коэффициентов,

j= k==, полиномов Тейлора

(=^k t_kj , j= (1.23)

функций ( j= .В соответствии со схемой применим для этого метода неопределённых коэффициентов , а именно ,разложим с помощью формулы Тейлора вектор-функцию

(t_s1(…,t_sm)

По степеням до порядка s включительно и приравняем коэффициенты разложения (начиная с коэффициента при ) к нулю. В результате получим невырожденные системы линейных уравнений для последовательного нахождения чисел t _kj , j=k=:

A₁T₁₁=-N₁(t₀₁, …, t_0m),

A₁T₂₁=-A₁₁T₁₁-A₀₂T₁₂/2-N₂(t₀₁, …, t_0m), (1.24)

……………………………………………

A_ki=, T_kj=(, j=).

Матрица A₁=, j= , будет известна после решения базовой задачи. Как видно из (1.22), чтобы сформировать правые части систем (1.24), нужно знать значения функций x_k(t, t₁, …, t_m) и их частных производных по переменным t₁,…, t_m в точке

(t^*, t₀₁,…t_0m). Значит этих функций находятся посредством интегрирования уравнений (1.21). Записывание решение первого из этих уравнений по формуле Коши, а затем дифференцируя, получаем выражение для частных производных любого порядка функции x₀, при этом убеждаемся, что смешанные производные равны нулю.Формальным дифференцированием остальных уравнений (8.21) получаем начальные задачи для частных производных функций x_k, k. Например,

=A(t)+, (t.)=0, j=

При вычислении правых частей систем (1.24) следует учитывать, что

(t, , …, ) = (t), (t, , …,) = (t), t T. В частности, (, …, ) = (, , …,) = (), где (t), t T, - решение начальной задачи

= A(t)+f((t), t), () = 0. (1.25)

Последовательно решая системы (1.24), находим коэффициенты t _kj, j= k= и составляем полиномы(1.23). Управление

µ),…,µ)),

будет асимптотически субоптимальным управлением s-го порядка в задаче (8.1) в рассмотренном случае.

Построенные асимптотические приближение точек переключения оптимального управления можно использовать для точного решения исходной задачи при заданном значение . Для этого нужно с помощью метода Ньютона корни (),=, система (8.19), взяв в качестве начального приближения (),=. Матрицу

G(t₁..,t_m,)= (1.26)

можно заменить при вычислениях матрицей

_≈

которая является асимптотическим приближением для (1.26) с точностью порядка.

Рассмотрим теперь случай, когда l > m. В этом случае коэффициенты j= полиномов (1.16) связаны с коэффициентами полинома Тейлора

(1.27)

вектора множителей Лагранжа v(. Опишем алгоритм их вычисления.

Разложим левые части уравнений (1.6), (1.7) по степеням. При сделанных предложениях о гладкости функций, формирующих задачу (1.1) , справедливы асимптотические представления

(1.28)

(t,

Составим дифференциальные уравнения для функций

применяя формализм Пуанкаре .Уравнения аналогичны (8.21) , а уравнения для имеют вид

,

- ( 1.29)

-

………………………………………………………………………..

Где H (x,

В силу (1.28) левая часть системы (1.9) допускает представление

R(y,µ)=,

Где

,

,k=

Обозначим , k= и пусть Разложим вектор-функцию по степеням µ до порядка sвключительно и приравняв коэффициенты разложения к нулю, получим невырожденные системы линейных уравнений для коэффициентов , j= , , k= , полиномов (1.16) , (1.27):

(1.30)

………………………………………………………………..

Матрица Якоби l₀ имеет вид (1.10). Чтобы сформировать правые части систем (1.30) , нужно знать значение функций x_k(t,t, ₁…,) и их частных производных по переменным t₁,…, в точке (t, t₀₁,…, ),в также значения функций (t,…,, v) и их частных производных по всем аргументам в точках (t_0j, t_01,…, t₀₁,v₀), j=. Функции x_k и их частные производные вычисляются так же, как и в предыдущем случае. Значение функций находятся с помощью интегрирования уровней. Дифференциальные урaвнениидля их частных производных по переменным t₁,…, , v получается формальным дифференциальные этих уравнений, например,

= -, ()=- .

Заметим, что частные производные функции по t₁,…, а также частные производные порядка выше первого всех функций по компонентам вектора равны нулю. Частные производные первого порядка по переменнойt равны правым частям уравнений (1.29) . Выражение для частных производных по t более высокого порядка , а также смешанных получают формальные дифференцирования этих уравнений.

При вычислении правых частей систем (1.30) следует учитывать, что

(t, t₀₁,.., )(t),(t, t₀₁,..,)=(t),

В частности,

_,

где удовлетворяет уравнение(1.25), _,

(1.30)

В силу структуры (1.10) матрицы Якоби первая из систем (1.30) расщепляется:вектор определяется из уравнения

Где

=

/(), j =.

В последней формуле ,tT- решение уравнения (1.31), но с начальным условием .

Аналогичная декомпозиция имеет место и для остальных систем (8.30).

Последовательно решая эти системы, найдем коэффициенты j=,,k=и составим полиномы (1.16), (1.27).Управление (1.17)является асимптотически субоптимальным управлением s-гo порядка в задаче (1.1).

Точки переключения этого управления вместе с построенным асимптотическим приближениемвектора Лагранжа можно использовать для точного решения задачи (1,1) при заданном значении . Для этого нужно воспользоваться процедурой доводки, т.е.найти с помощью метода Ньютона корня системы (1,6), (1,7), взяв в качестве начальных приближений , J=. Заметим, что матрица =/допускает асимптотическое представление

=+,

Где =|