Многошаговые методы1
.docМногошаговые методы. Метод Адамса.
Если дифференциальное уравнение у'=f(х, у) имеет в правой части сложное аналитическое выражение, значение которого быстро изменяется при незначительном изменении аргумента, то рассмотренные выше одношаговые методы не дают желаемую точность вычислений. В таких случаях применяют многошаговые методы решения ДУ. К таким методам относятся экстраполяционный и интерполяционный методы Адамса.
Экстраполяционный метод Адамса.
Пусть для дифференциального уравнения у'=f(х, у) заданы начальные условия х=х0 , у=у0, а также известны или определены с помощью одношаговых методов ещё m точек искомой функции у1, у2, … уm. Требуется найти решение уравнения у'=f(х, у) на отрезке [а, b].
Разобьем отрезок [а, b] равномерно на n частей точками хi=х0+ h.i, i=0, 1,...,n, h = (b - а)/n. Выберем произвольно элементарный отрезок, на котором проинтегрируем дифференциальное уравнение
или
Если обозначить
,
то рекуррентная формула метода примет вид
уi+1=уi+уi.
Для нахождения производной воспользуемся второй интерполяционной формулой Ньютона. С учётом t= (х - хi)/h получим:
Подставим полученное выражение для у' в интегральное уравнение и, учитывая, что dх = hdt, имеем
где
Обозначим через qi=уi' h=f(хi, уi).h, , тогда для любой разности mqi=m (уi'h) имеем выражение
yi =qi+1/2 .qi-1+5/12 .2qi-2+3/8 .3qi-3+…+Сm.mqi-m+…,
используемое для получения решения уравнения
уi+1= уi+уi.
Две последние формулы являются основными в экстраполяционном методе Адамса.
Погрешность экстраполяционного метода Адамса можно оценить по формуле
,
где .
Для метода Адамса характерно убывание абсолютных величин конечных разностей. Этим обстоятельством обусловлен выбор m и h. Чем меньше h, тем ниже будет m – порядок конечных разностей. Однако это приводит к увеличению узловых точек, а значит и применению укороченных формул, что в свою очередь связано с ростом погрешности вычислений. Обычно m и h стараются подобрать так, чтобы последняя конечная разность, участвующая в вычислениях была практически постоянной. Обрывать формулу на практически постоянной разности удобно ещё из тех соображений, что это обстоятельство может быть использовано для текущего контроля вычислений.
Чаще всего применяется экстраполяционный метод Адамса ограниченный тремя конечными разностями.
уi+1 = уi + qi+1/2 .qi-1+5/12 .2qi-2+3/8 .3qi-3
Для начала процесса вычисления нужны четыре начальных значения у0, у1, у2 и у3, которые можно определить любым известным методом. Далее, зная у0, у1, у2 и у3 , находят q0=hy0=h f(x0, y0); q2= hy2 =h f(x2, y2); q3 = hy3=h f(x3, y3); q4= hy4= hf(x4, y4) и составляют таблицу конечных разностей величин q (табл.)
Таблица 4.3
№ п/п |
xi |
yi |
yi |
yi’=f(x0,y0) |
qi = hyi’ |
Конечные разности |
||
0 |
x0 |
y0 |
|
f(x0,y0) |
— |
— |
— |
— |
1 |
x1 |
y1 |
|
f(x1,y1) |
q0 |
q0 |
2q0 |
3q0 |
2 |
x2 |
y2 |
|
f(x2,y2) |
q1 |
q1 |
2q1 |
|
3 |
x3 |
y3 |
y3 |
f(x3,y3) |
q2 |
q2 |
|
|
4 |
x4 |
y4 |
|
f(x4,y4) |
q3 |
|
|
|
5 |
x4 |
y5 |
|
... |
... |
|
|
|
... |
... |
... |
|
|
|
|
|
|
Метод Адамса заключается в продолжении данной таблицы разностей с помощью формулы для уi. Используя уже вычисленные q3, q2, q1 и q0, расположенные в таблице диагонально, по формуле для уi получают, полагая n = 3,
у3 = q3 + 0.5q2 + (5/12) . q1 + (3/8) . q0 ,
у3 вносят в таблицу и находят у4 = у3+у3. Затем, используя х4 и у4 находят f(х4,у4), q4, q3, q2 и q1, т.е. новую диагональ. По этим данным определяют значение у4, которое тут же вносят в таблицу, и находят у5 = у4 + у4.
Таблицу продолжают по описанному алгоритму до ее заполнения, вычисляя правую часть формулы при этом только один раз. Чтобы оценить погрешность полученного результата, можно применить правило Рунге или просто следить за третьими разностями qi, которые считаются постоянными. Этого можно добиться, выбирая h каждый раз такой, чтобы выражение для оценки погрешности было |3qi-1 - 3qi| < . На практике h выбирают из неравенства h4 < , где - заданная точность решения.
Метод Рунге состоит в том, что сначала находится решение дифференциального уравнения при шаге h, а затем значение h удваивается и находится решение при новом шаге. Погрешность оценивается по формуле
= (2m - 1) . |yn~ - y~2n| ,
где yn~ - значение приближенного вычисления при двойном шаге; m - порядок метода.
Интерполяционный метод Адамса (уточняющая формула).
Алгоритм интерполяционного метода Адамса можно представить в виде
где ;
.
Для применения интерполяционной формулы Адамса на начальном этапе необходимо знать приближённое значение функции в точке xi+1. Для этого можно использовать экстраполяционную формулу Адамса. Тогда интерполяционная формула Адамса служит, как уточняющая в методе Адамса.
На практике поступают следующим образом:
-
по экстрополяционной формуле Адамса вычисляют yi+1;
-
затем это значение уточняют с помощью интерполяционной формулы;
-
если , то в качестве уточнённого решения принимается , иначе производится уточнение для по интерполяционной формуле Адамса.