![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Сопротивление материалов
- •Содержание
- •Раздел II
- •Основные понятия и зависимости.
- •Задача №1
- •Для проверки вычислим напряжения в обоих стержнях:
- •Задача №3
- •; Embed Equation.3 ;.
- •Раздел III
- •Основные понятия и зависимости.
- •Задача №1
- •Раздел V
- •Основные понятия и зависимости.
- •Определение перемещений при поперечном изгибе интегрированием дифференциального уравнения изогнутой оси стержня. (с постоянным по длине сечением)
- •Определение перемещений при поперечном изгибе энергетическими методами.
- •Задача №1
- •Задача №2.
- •Задача №3.
- •Лобанов Николай Владимирович
Для проверки вычислим напряжения в обоих стержнях:
Условия прочности выполняются для обоих стержней, следовательно, самый опасный стержень был выбран правильно. Удлиннения стержней можно определить по формулам:
Перемещения:
удовлетворяют условию совместности
перемещений(2).
(Знак «-»
означает, что действительные перемещения
шарниров противоположны показанным на
рис.2).
Задача №3
Задание:
Для стержневой конструкции (рис.1) из
условия прочности подобрать максимально
допускаемую внешнюю нагрузку (выраженную
через q).
При найденной
нагрузке определить перемещение точки
приложения силы P1.
Исходные данные: F = 700 мм2; l = 500 мм; a = 500 мм;P1 = qa; P2 = 3qa; M1 = 2qa2. Материал всех стержней Сталь 5, с пределом текучести т = 270 МПа; E=2105 МПа.
Определим допускаемое напряжение для материала стержней (принимая для стали коэффициент запаса прочности n = 1.5).
.
Решение:
Рассмотрим равновесие абсолютно жесткого бруса, отбросив стержни (рис.2). В данном случае рациональнее заменить отброшенные стержни нормальными силами N1, N2, N3, возникающими в них (неизвестные нормальные силы в стержнях следует показывать всегда в положительном направлении, то есть так, чтобы они были растягивающими). Для 3-х неизвестных сил можно составить 2 уравнения равновесия:
Следовательно,
задача 1 раз статически неопределима,
и необходимо составить одно уравнение
совместности деформаций. Для этого
рассмотрим возможное деформированное
состояние конструкции (возможное
означает допускаемое связями и включающее
перемещение по всем возможным степеням
упругой подвижности).
В данном случае таким состоянием будет
вертикальное поступательное перемещение
жесткого бруса и его поворот, показанное
на рис.3 (совершенно
необязательно, чтобы выбранное направление
перемещения и поворота совпадало с
действительным).
Шарниры А,
В, С займут
новые положения А1,
В1,
С1,
их вертикальные перемещения обозначим
соответственно y1,
y2,
y3.
Очевидно, что эти перемещения связаны
между собой условием, которое получается
из рассмотрения трапеции АВСА1В1С1:
.
Очевидно, что эти перемещения связаны
с абсолютными удлинениями стержней:
,
откуда следует условие совместности
деформаций:
.
Выражая удлинения стержней по закону Гука, получим дополнительное уравнение связывающее нормальные силы в стержнях:
.
Решая
совместно уравнения (1),
(2), (5) выразим
нормальные силы в стержнях:
(для
проверки следует убедится, что полученные
нормальные силы удовлетворяют исходным
уравнениям).
Нормальные напряжения в стержнях
выразятся следующим образом, чтобы их
можно было сравнить в общем виде:
.
Так как материал стержней имеет одинаковую прочность на растяжение и сжатие, то опасным будет третий стержень (с наибольшим по модулю напряжением). Из условия прочности для 3-го стержня определим допускаемую внешнюю нагрузку, выраженную через q:
.
Тогда внешние силы будут равны:
P1 = 132.6500 = 66300Н = 66.3кН; P2 = 3132.6500 = 199000Н = 199кН; M1 = 2132.65002 = 6.63107 Нмм = 66.3кНм.
Напряжения:
;
;
,
действующие в стержнях удовлетворяют
условиям прочности.
Более сложная постановка задачи.(с учетом монтажных напряжений )
Будем
считать, что стержень №2 до сборки
конструкции имел длину, отличающуюся
от номинальной на малую величину
= 0.5 мм (знак
“+”
означает, что
начальная длина стержня больше
номинальной).
Уравнения (1),
(2),
(3) останутся
без изменений, изменится только
зависимость между перемещением шарнира
B
и
удлинением стержня №2:
,тогда
уравнение совместности деформаций (4)
перепишется в виде:
,
(смотри рис.4). Используя закон Гука,
получим:
,
откуда выразим:
.
Решая совместно (1),
(2), (5)
выразим
нормальные силы и напряжения в стержнях: