Задача №1

Задание: Два вала диаметра D₁ соединены втулкой с помощью двух одинаковых штифтов диаметра d, от одного вала к другому передается вращающий момент M и осевая сила Р (см. рис.1). Из условий прочности определить необходимый диаметр штифтов и наружный диаметр втулки D₂.

Исходные данные:

D₁ = 30 мм; Р = 8 кН; M = 200 Нм. Материал валов и втулки Сталь 3, материал штифтов Сталь 45.

Решение:

1).В данной конструкции могут иметь место следующие виды разрушения:

а). Срез штифтов. Штифты могут разрушится по поверхностям среза показанным на рис.1 волнистой линией. В силу симметрии достаточно рассмотреть условие прочности для одной (любой) поверхности среза –

, где Q – перерезывающая сила приходящаяся на одну поверхность среза, - площадь одной поверхности среза. С небольшой погрешностью можно считать равной площади поперечного сечения штифта -- (на самом деле поверхности среза будут цилиндрическими и иметь немного большую площадь). Тогда условие прочности перепишется в виде. Прочность на срез штифта зависит только от одного размераd, тогда из условия прочности можно сразу выразить -(1).

б). Смятие контактирующих поверхностей между штифтами и втулкой. Условие прочности на смятие для них , где- сила смятия приходящаяся на поверхность смятия,- допускаемое напряжение для менее прочного материала. Поверхности смятия цилиндрические поэтомуи условие прочности перепишется в виде. При известном диаметре штифта из условия прочности на смятие можно выразить толщину стенки втулки-(2).

2). Определим допускаемые напряжения. По справочнику [1] определяем пределы текучести материалов: Сталь 3 - _Т1 = 240 МПа; Сталь 45 - _Т2 = 360 МПа. Принимая коэффициент запаса прочности n = 1.5, определим допускаемые нормальные напряжения для материала штифтов - ; для материала валов и втулки -. Пользуясь известной зависимостью, определим допускаемые напряжения на срез для штифтов -. Допускаемые напряжения на смятие для менее прочного материала втулки ориентировочно примем.

2).Очевидно, что перерезывающая сила Q действующая на одну поверхность среза и сила смятия приходящаяся на одно поверхность смятия штифта равны суммарная сила, действующая на поверхность штифта со стороны отверстия втулки. Определим силы действующие на штифты со стороны втулки. Используем принцип наложения нагрузок определим силы возникающие от внешней силыР и внешнего момента M по отдельности. Рассмотрим сначала действие силы Р. В силу симметрии можно рассмотреть одну половину конструкции, например верхнюю, мысленно уберем втулку заменив ее действие силами Р_р (см. рис.2). Из условия равновесия очевидно - . Рассматривая действие момента снова отбросим втулку и заменим ее действие силами. Для обеспечения равновесия момент этих сил относительно оси вала должен уравновешивать внешний момент M (см. рис.3) - . Следовательно. Величина плеча h зависит от реального распределения усилий взаимодействия по поверхности штифта, однако очевидно, что . Если мы предположим, чтото, очевидно, получим завышенное по сравнению с реальным значение, следовательно, наше предположение (упрощение) пойдет в запас прочности. Итак, принимаемтогда.

Совместное действие силизаменим их равнодействующей(см. рис.3), величина которой определится по теореме Пифагора. Подставляя значения (в размерностях: [Н]; [мм]; [МПа]) получим: . Тогда из условия(1) учитывая, что определим диаметр штифта:. Округляя до целого, окончательно примем. Из условия прочности на смятие(2) . Тогда наружный диаметр втулки. Округляя до целого, окончательно примем.

В заключение отметим, что следовало бы проверить так же условие прочности на смятие между штифтом и валом, однако распределение напряжений смятия по длине цилиндрической поверхности смятия уже не может быть принято равномерным. Для определения максимального напряжения смятия в таких случаях обычно задаются некоторым априорным законом его распределения по длине.