u_course
.pdfФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ”СИБИРСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ” ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ
Ю.Я. Белов
УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ
ПРОИЗВОДНЫМИ
Учебное пособие
Красноярск
СФУ
2008
Содержание
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
3 |
|
1. |
Классификация уравнений в частных производных . . . . . . . |
4 |
2. |
Постановки краевых задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
8 |
3.Единственность классического решения краевых задач для уравнения колебания струны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.Метод разделения переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5.Задача Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
6.Принцип максимума для уравнений параболического и эллиптического типов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
7. Функциональные пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
8. Обобщенные производные (по Л.С. Соболеву ) и их свойства . 54
9.Пространства Соболева Hl(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
10.След функций из H1(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
11.Формула интегрирования по частям для функций класса H1(Ω) 67
12.Первая краевая задача для эллиптического уравнения. Теоре-
ма существования и единственности . . . . . . . . . . . . . . 70
13.Метод Галеркина для эллиптического уравнения . . . . . . . . 72
14.Проблема минимума квадратичного функционала и краевые задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
15.Метод Ритца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
16. Параболическое уравнение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
17.Краевые задачи для гиперболического уравнения . . . . . . . 96
18.Некоторые обобщения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
2
Введение
Учебное пособие предназначено для студентов математических специальностей и написано на основание курсов лекций по уравнениям математической физике и уравнениям в частных производных, читавшихся автором на математическом факультете, факультете математики и информатики Красноярского государственного университета.
Пособие состоит из двух больших частей. Первая часть посвящена вопросам, связанным с классическими решениями начально-краевых задач и рассчитана на один семестр курса. Вторая часть посвящена обобщенным решениям начально-краевых задач. Здесь изучаются краевые задачи для многомерных уравнений математической физики – эллиптических, параболических, гиперболических. Основным методом доказательства разрешимости краевых задач является метод Галеркина, метод основанный на теореме Рисса о представлении линейного непрерывного функционала в гильбертовом пространстве. Обобщенные решения ищутся в пространствах С.Л. Соболева.
В дополнении сформулированы результаты о существовании, единственности, гладкости решений для более общих краевых задач.
Автор надеется, что данное пособие поможет студентам в первоначальном изучении курсов математической физики, уравнений в частных производных. При написании курса в основном использовались известные учебники и монографии ([5], [7], [11], [14], [17], [19])
3
1. Классификация уравнений в частных производных
Пусть En - n-мерное евклидово пространство, D, G, Ω обозначим области из пространства En. Через x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn) обозначим точки пространства En. Пусть v(x) = v(x1, . . . , xn), u(x) = u(x1, . . . , xn) En - функции, определённые на некоторых областях пространства En
Определение. Уравнением в частных производных называется уравнение, в которое входят независимые переменные x = (x1, . . . , xn), неизвестная функция u(x) и ее частные производные. Порядок наибольшей производной, входящей в уравнение, называется порядком уравнения. (Предполагается, что эта производная нетривиальным образом входит в уравнение).
Примеры.
ux1 + ux2 + ux1x2 = 0, |
(1.1) |
|
u2 |
+ f(u, ux ) = 0, |
(1.2) |
x1x2x3 |
1 |
|
где (1.1) - уравнение второго порядка, (1.2) - уравнение третьего порядка. Под уравнениями математической физики понимают дифференциальные уравнения, описывающие те или иные физические процессы. В данном
курсе мы изучаем уравнения в частных производных второго порядка.
Определение.Уравнение называется сильно нелинейным, если старшие производные уравнения входят в него нелинейно (коэффициенты перед ними зависят от старших производных уравнения).
Уравнение (1.1) не является сильно нелинейным, уравнение (1.2) явялется сильно нелинейным также как и уравнение
sin(ux1x2x3 ) + f(ru) = 0.
Определение. Нелинейное уравнение, не являющееся сильно нелинейным, называется квазилинейным уравнением.
Определение. Нелинейное уравнение, в котором нелинейным образом входит только неизвестная функция, называется полулинейным.
Например, уравнение
ux1 + ux2 = f(u) + ϕ(x),
4
где f(u) - нелинейная функция.
Определение. Уравнение в частных производных, в котором неизвестная функция и все ее частные производные входят линейным образом, называется линейным уравнением.
Линейное уравнение второго порядка имеет вид
|
n |
∂2u(x) |
|
n |
|
∂u |
|
|
|
|
||
|
aij(x) |
+ |
bi(x) |
+ c(x)u(x) = f(x). |
(1.3) |
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
X |
∂xi∂xj |
|
Xi |
∂xi |
|
|
|
||||
|
i,j=1 |
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
Здесь aij(x), bi(x), c(x), f(x) заданные в Ω функции. |
|
|||||||||||
Линейное уравнение второго порядка |
|
|
|
|||||||||
n |
∂xj aij(x) |
|
|
|
n |
|
|
|
|
+ c(x)u(x) = f(x). |
(1.30) |
|
i,j=1 |
∂xi + i=1 bi(x)∂xi |
|||||||||||
X |
∂ |
∂u(x) |
|
X |
|
|
∂u |
|
|
|
||
называют уравнением, записанным в дивергентном виде. |
|
|||||||||||
Рассмотрим матрицу старших коэффициентов |
|
|
||||||||||
|
A(x) = |
a11. .(.x) |
.. .. .. a1.n.(.x) |
|
||||||||
|
|
|
|
an1(x) . . . ann(x) |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
уравнения (1.3) ((1.3’)). Считаем, что матрица A(x) симметрична в каждой
точке x Ω. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Зафиксируем x Ω. Рассмотрим уравнение |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a21(x) |
a22 |
(x) λ |
. . . |
a2n(x) |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
a11(x) − λ |
a12(x) |
. . . |
a1n(x) |
|
|
|
|
|||||
| |
A(x) |
− |
λE |
| |
= |
. . . |
|
. . . |
− |
. . . |
. . . |
|
|
= 0, |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.4) |
|
|
|
|
|
|
|
an1(x) |
|
. . . |
|
ann |
|
1(x) ann(x) |
|
λ |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
− |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
определяющее собственные значения матрицы A(x). Из алгебры известно,
что все собственные числа симметричной матрицы действительные. Мы имеем n действительных решений (учитывая кратность) λ1, λ2, . . . , λn
уравнения (1.4). Пусть α - число положительных, β - число отрицательных,
γ - число нулевых собственных чисел матрицы A(x).
Определение. Тройка чисел (α, β, γ) называется типом уравнения (1.3) (уравнения (1.3’)) в точке x.
5
Умножим уравнение (1.3) (уравнение (1.3’)) на -1. Получим уравнение типа (β, α, γ). Так как все решения полученного уравнения те же, что и у
исходного, мы считаем, что (α, β, γ) и (β, α, γ) - один и тот же тип. Пусть α + β + γ = n. Выделяются следующие типы уравнений:
(n, 0, 0) или (0, n, 0) - эллиптический,
(n − 1, 1, 0) (1, n − 1, 0) - гиперболический,
(n − 1, 0, 1) (0, n − 1, 1) - параболический,
(n − 2, 2, 0) (2, n − 2, 0) - ультрагиперболический,
(n − 2, 0, 2) (0, n − 2, 2) - ультрапараболический.
Примеры.
1. Уравнение, описывающее волновые процессы.
utt = a2 u + f(t, x, ru, u), |
(1.5) |
P
n ∂2u
u(x) = i=1 ∂x2i , ru(x) = grad u(x). Уравнение (1.5) называется при n = 1 - уравнение колебания струны, при n = 2 - уравнение колебания мембраны,
при n = 3 - уравнение колебания трехмерных тел.
Определим тип уравнения колебания. Матрица A(x) уравнения
utt − a2 u = f(t, x, ru, u),
где u = u(t, x), t E1, x En, имеет размерность n + 1 ×n + 1, не зависит от x и имеет вид.
|
|
1 |
0 |
. . . |
0 |
|
A = |
|
.0. . |
−. .a.2 |
.. .. .. |
.0. . |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
. . . |
0 |
−a2 |
|
|
|
|
Её собственные числа λ1 = 1, λ2 = λ3 = . . . , = λn = λn+1 = −a2. Тип уравнения - гиперболический: (1, n, 0).
Замечание. В случае уравнения (1.5) размерность независимых переменных (t, x1, . . . , xn) равна n+1 и (n+1, 0, 0), (n, 1, 0), (n, 0, 1) ((0, n+1, 0),
(1, n, 0), (0, n, 1)) типы эллиптический, гиперболический, параболический соответственно.
6
2.Уравнение (уравнение теплопроводности, диффузионное уравнение), описывающее распространение тепла, диффузионные процессы.
ut = a2 u + f(t, x, ru, u), |
(1.6) |
где u = u(t, x), t E1, x En. Перепишем (1.6) в виде
0 · utt − a2 u = −ut + f(t, x, ru, u),
и запишем матрицу A(x) = A:
|
|
0 |
a2 . . . |
0 |
|
|
|
|
0 |
0 . . . 0 |
|
||
A = |
. . . |
−. . . . . . . . . |
||||
|
|
0 |
. . . 0 |
|
a |
2 |
|
|
− |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.
Её собственные числа λ1 = 0, λ2 = λ3 = . . . , = λn = λn+1 = −a2. Тип уравнения - параболический: (0, n − 1, 0).
3. Уравнение Пуассона. |
|
u = f(x), |
(1.7) |
где u = u(x), x Ω En. |
|
Если f(x) = 0, уравнение (1.7) принимает вид |
|
u = 0. |
(1.8) |
Уравнение (1.8) называется уравнением Лапласа. Запишем матрицу A(x) = A:
|
|
1 |
0 . . . |
0 |
|
A = |
|
.0. . .1. . .. .. .. . |
0. . |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
. . . 0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Её собственные числа λ1 = λ2 = . . . , = λn = 1. Тип уравнения - эллиптический: (n, 0, 0).
7
Отметим, что тип рассмотренных выше уравнений, не зависит от точки x, так как матрицы A в этих уравнениях постоянные.
4. Уравнение Трикоми ( уравнение газовой динамики).
∂2u ∂2u
x2 ∂x21 + ∂x22 = 0.
Матрица коэффициентов имеет вид |
02 |
|
! . |
A(x) = |
1 |
||
|
x |
0 |
|
Собственные числа матрицы λ1 = x2, λ2 = 1. При x2 > 0 тип уравнения эллиптический (n, 0, 0); при x2 = 0 тип уравнения параболический (n −
1, 0, 1); при x2 < 0 тип уравнения гиперболический (n − 1, 1, 0), n = 2.
2. Постановки краевых задач
Стационарные уравнения
Рассмотрим дифференциальное операторное выражение
|
n |
|
|
∂2(·) |
|
n |
|
∂(·) |
|
L( ) = |
a |
|
+ |
b |
|
+ c( ), |
|||
· |
X |
|
ij ∂xi∂xj |
Xi |
i ∂xi |
· |
|||
|
i,j=1 |
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
где aij, bi, c - заданные коэффициенты, зависяшие от x, x Ω, Ω En. Рассмотрим уравнение
L(u) = f. |
(2.1) |
Первая краевая задача. Найти функцию u(x), определённую в Ω, удовлетворяющую в Ω уравнению (2.1) и на границе ∂Ω области Ω совпадающую с заданной функцией ϕ(x):
u|∂Ω = ϕ(x), x Ω. |
(2.2) |
Условие (2.2) называют граничным условием 1-го рода. Задача (2.1), (2.2) - первая краевая задача для уравнения (2.1), описывающего стационарные процессы.
8
Определение классического решения задачи (2.1), (2.2): Функция u(x) C2(Ω) ∩ C(Ω) называется классическим решением задачи (2.1), (2.2), если в Ω она удовлетворяет уравнению (2.1), а на границе условию
(2.2).
Ниже мы будем использовать следующие функциональные простран-
ства. |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
C(Ω) = { множество функций f |
непрерывных на Ω}, |
||||
C(Ω) = { множество функций f |
непрерывных на Ω}, |
||||
Ck(Ω) = { множество функций f |
непрерывных на Ω, имеющих в Ω |
все непрерывные производные по всем своим аргументам
до порядка k включительно}, k > 0, k− целое, C0(Ω) = C(Ω).
Вторая краевая задача. Найти функцию u(x), определённую в Ω,
удовлетворяющую в Ω уравнению (2.1) и на границе ∂Ω |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
∂u |
∂Ω = ψ(x). |
x Ω. |
(2.3) |
|
|
|
|
|
∂N |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂u |
n |
|
∂u |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
Здесь |
∂N |
= |
aij |
|
cos(n, xi) - производная по конормали, ψ(x) - за- |
||||
∂xj |
|||||||||
|
|
i,j=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
данная на ∂Ω функция, n - внешная нормаль к границе ∂Ω. Условие (2.3) - граничное условие 2-го рода. Задача (2.1), (2.3) - вторая краевая задача.
Определение классического решения задачи (2.1), (2.3): Функция u(x) C2(Ω)∩C1(Ω) называется классическим решением задачи (2.1), (2.3), если в Ω она удовлетворяет уравнению (2.1), а на границе ∂Ω условию
(2.3).
Третья краевая задача. Найти функцию u(x), определённую в Ω,
удовлетворяющую в Ω уравнению (2.1) и на границе ∂Ω условию |
|
|
∂N + σ(x) ∂Ω = µ(x), |
x Ω. |
(2.4) |
∂u |
|
|
|
|
|
Здесь σ(x), µ(x) - заданные на ∂Ω функции, σ(x) > 0.
Условие (2.4) - граничное условие 3-го рода. Задача (2.1), (2.4) - третья краевая задача.
9
В случае, когда |
|
1, i = j, |
|
|
aij |
= δij = |
bi(x) = c(x) = 0, |
||
|
|
0, |
i = j, |
|
|
|
|
6 |
|
уравнение (2.1) является уравнением Пуассона
u = f.
Первая краевая задача для уравнения Пуассона:
|
|
u = f, |
|
|
|
||
|
|
u|∂Ω = ϕ(x), |
x ∂Ω. |
|
|
||
Вторая краевая задача для уравнения Пуассона: |
|
||||||
|
|
u = f, |
|
|
|
||
|
|
∂u |
∂Ω = ψ(x), |
x ∂Ω. |
|
||
|
|
∂n |
|
||||
|
|
n |
|
|
n |
∂u cos(n, xi) = |
∂u. |
В этом случае |
∂u |
= |
aij |
∂u cos(n, xi) = |
|||
|
∂N |
i,j=1 |
∂xi |
i=1 |
∂xi |
∂n |
P P
Замечание. Можно на различных частях границы задавать различ-
ные условия. В таком случае говорят, что поставлена смешанная краевая задача.
Нестационарные уравнения
Введем следующие обозначения: QT = {(t, x)|0 < t < T, x Ω}, где Ω
En - ограниченная область, ST = (0, T ] × ∂Ω - боковая граница множества
QT , T = ST ∩ Ω, и
|
n |
|
∂2u(t, x) |
|
n |
|
∂u(t, x) |
|
|||
|
X |
|
|
Xi |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
L(u) = |
aij(t, x) ∂xi∂xj |
+ |
bi(t, x) ∂xi |
+ c(t, x)u(t, x) |
|||||||
i,j=1 |
=1 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- дифференциальный оператор с коэффициентами зависящими от временной переменной t и пространственной переменной x = (x1, . . . , xn), x Ω.
Рассмотрим уравнение
∂u(t, x) = L(u) + f(t, x), (2.5) ∂t
10