Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Днепропетровский национальный университет железнодорожного транспорта им. академика В. Лазаряна

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

методичка по математике

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.02.2016

Размер:

701.42 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 66

x +3

\ x−5

3x2 −1

x +3 − x +5 3x2 −1

3x2 −1

lim 1

−1

= lim 1+

= lim

x −

x −5

x→∞

→∞

x→∞

3−

−5

8(3x2 −1)

3x2 −1

lim

x−5 (3x

−1)

8 lim

x−5

x→∞

−

= lim

x−5

= e

x→∞

= e

x −5

x→∞

4. Спочатку спростимо вираз:

= e8 ∞ = e∞ = ∞.

5x + 2

ln(5x + 2) −ln 5x =

ln x −ln y

= ln

Тепер перейдемо до розв’язування прикладу:

lim

{

x [ln(5x + 2) −ln 5x]

У квадратних дужках маємо

lim

x ln

x→+∞

}

x→+∞

невизначеність виду{∞ −∞}

Використаємо властивість

∞

lim ln

1 +

= ln

lim

{1 }

a ln x = ln xa

x→+∞

2 2

5x x

e5x

= ln e5

ln e =

, оскільки ln e =1.

= ln

lim

= ln

lim

→+∞

x→+∞

5. Знайдемо границі основи функції і показника функції:

lim (9 −8x)=1,

lim

=∞.

x→1

x→1 x −

Маємо невизначеність {1∞}. Але для того, щоб скористатись другою чу-

довою границею, потрібно, щоб

x →∞ або

x →0 . Тому зробимо заміну:

x −1 =t .

x −1 = t, звідси

x = t +1.

lim (

9 −8x)x−1

={1∞} =

Якщо x →1, то t буде

= lim [9 −8(t +1)]t

→1

t→0

прямувати до нуля.

−24 t

= lim(9 −8t −8)

= lim(1−8t)

∞

= lim (1

(−8t))

−8t

(−8t) t

= lim е

= 1

→0

t→0

{ }

→0

t→0

= е−24 =

е24

Випадок 6. Розкриття невизначеності виду {∞ −∞}.

Приклад. Обчислити границі:

(

x2 +1 − x).

lim

−

;

lim

x→−2 2 + x

+ x

x→+∞

Розв’язання. 1. Різницю приведемо до спільного знаменника.

={∞ −∞}= lim

4−2x+x2 /

lim

−

+ x3

2 + x

+ x3

→−2

2 + x

x→−2

4 − 2x + x2 −12

x2 − 2x −8

= lim

+ x)(4 −2x

x→−2 (2

+ x2 ) x

→−2 (2

+ x)(4 − 2x + x2 )

Вилучимо "критичний

lim

(x + 2) (x − 4)

= lim

x − 4

+ x) (4

2x + x2 )

множник"

x + 2

x→−2 (2

−

x→−2 4 − 2x + x2

−2 −4

= −

1 .

4 + 4 + 4

Будемо розглядати задану функцію як дріб із

x→+∞lim (

знаменником, який дорівнює одиниці.

x2 +1 − x)={∞ −∞}= Позбавимося від ірраціональності

в чисельнику шляхом множення чисельника і

знаменника на спряжений множник

+1 + x.

= lim

( x2 +1 − x) ( x2 +1 + x)

lim

x2 +1 − x2

= lim

x2 +1 + x

x→+∞

x2 +1 + x

Невизначеності немає;

= 0.

знаменник прямує до нескінченності.

Зауваження. Розкриття останніх трьох невизначеностей {0 ∞}, {00},{∞0} буде розглянуто в іншому розділі математики.

ЗАВДАННЯ ДЛЯ АУДИТОРНОЇ РОБОТИ Приклад 1. Обчислити границі:

lim

8x3 −5x2 +9x −1

;

lim

x2 +3x

;

2x +5

2x2 −5

x→∞ 16x3 +

x→∞

Приклад 2. Обчислити границі:

lim

−9

;

lim

6x2 −5x +1

;

8x3 −

x→−3 x2 +

4x +3

x→12

Приклад 3. Обчислити границі:

3.	lim 1+ 2 +3			+... + n .
	n→∞		(n +	2)2
3.	lim	x4	−2x2 +1		.
			x2 + x
	x→−1

1.	lim	x −1		;		2.	lim	2 −	x2 + 4	;
								x2	−3x
	x→1	8 + x −3					x→0
3.	lim	3 x −6 + 2			;	4.	lim	x2	+1 −1	.
		x3 +	8					x2
	x→−2						x→0		+9 −3

Приклад 4. Обчислити границі:

lim

tg3x ;

lim 1 −cos9x

;

x→0

lim 1 −

cos x

;

lim sin(a + x) −sin(a − x) .

x→0

x sin x

x→0

Приклад 5. Обчислити границі:

x+1

2x +1 3+x

lim

;

lim

;

x→∞

4x +

x→∞

2x +

(2x +3) [ln(x + 2) −ln x]; 4.

lim (2x −3)

lim

x−2

x→+∞

x→2

Приклад 6. Обчислити границі:

(

)

x2 +1 − x2 −1

lim

− x ;

lim

x→∞

−5

x→∞

ДОМАШНЄ ЗАВДАННЯ

Приклад 1. Обчислити границі:

lim

2x4

+3x2 + x

;

lim

3 2x3 +5x2 −1

;

lim

3x −8

+ x4

x→∞ x3 − 4x +1

x→∞

3x −

x→∞ 4 2x6

Відповіді: 1.

∞; 2.

; 3. 0.

Приклад 2. Обчислити границі:

lim

3x2

−5x − 2

;

lim

+3x2 + 2x

;

lim

2x4 − x2 −1

−1

x→2 x2 +3x −10

x→−2 x2 − x −6

x→1

Відповіді: 1. 1; 2.

−

; 3.

Приклад 3. Обчислити границі:

lim

1 + x −1

;

2. lim

x2 + x −12

;

3. lim

x −2 − 2

x −2 −

2x +1 −3

x→0

x→3

4 − x

x→4

Відповіді: 1.

; 2. 7;

Приклад 4. Обчислити границі:

cos x −cos3 x

lim

;

lim

sin 4x

;

3. lim

;

4. lim

tg x −sin x

x sin 2x

x→0 tg9x

x→0 tg 2x

x→0

Відповіді: 1.

; 2. 2;

; 4. 0.

Приклад 5. Обчислити границі:

lim 1

;

x→∞

lim

[ln(x −1) −ln x];

x→+∞ 2

−5

Відповіді: 1. e5 ;

3 ; 3. −

; 4. e−4 .

Приклад 6. Обчислити границі:

lim

−

;

x→1

1 − x3

1 − x

Відповіді: 1. 1;

2. lim 3x −3 x−1; x→∞ 3x + 2

4. lim (7 −2x)x−3 .

x→3

2. x→+∞lim x ( x2 +5 − x).

13. ПОРІВНЯННЯ НЕСКІНЧЕННО МАЛИХ ФУНКЦІЙ

Розглянемо дві нескінченно малі функції α(x) і β(x) , які є функціями одного і того ж аргументу.

Означення 1. Якщо відношення αβ((xx)) прямує до скінченої границі A ≠ 0 , то

α(x) і β(x) називають нескінченно малими одного порядку.

Приклад. Нехай α(x) =sin 3x , β(x) = x і х→0. Знайдемо границю відношення:

lim

α(x)

= lim

sin 3x

A ≠ 0 .

β(x)

= lim 3

→0

x→0

Тобто α(x) і β(x) нескінченно малі одного порядку.

Помітимо, що при x →0

нескінченно малі x , sin mx ,

tg nx є нескінченно

малими одного порядку.

α(x)

Означення 2.

Якщо відношення

прямує до

нуля, тобто якщо

β(x)

lim α(x)

= 0

lim β(x)

то α(x)

називається нескін-

=∞ ,

β(x)

α(x)

ченно малою вищого порядку відносно β(x) , а β(x) – не-

скінченно малою нижчого порядку відносно α(x) .

Приклад. Нехай α(x) = (x − 4)3 ,

β(x) = x −4 , x → 4 . Знайдемо границю від-

ношення: lim

α(x)

= lim

(x −4)3

= lim (x − 4)2 = 0 .

x→4

β(x)

→4

x −4

x→4

Тобто α(x) – нескінченно мала вищого порядку відносно β(x) .

Означення 3. Якщо відношення βα((xx)) прямує до одиниці, тобто якщо

lim βα((xx)) =1, то нескінченно малі називають еквівалентними

і пишуть α(x) β(x) .

Приклад. Нехай α(x) =sin x , β(x) = x , x →0 .

Тоді lim	α(x)	= lim sin x		=1, тому α(x) β(x) .
x→0	β(x)	x→0	x

Наведемо найбільш розповсюджені еквівалентні нескінченно малі. Якщо x →0 , то x sin x tg x arcsin x arctg x ln(1+ x) ex −1.

Зауваження. Якщо відношення βα((xx)) не має границі, то α(x) і β(x) не можна зрі-

внювати.

ЗАПИТАННЯ ТА ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОПЕРЕВІРКИ

1.Наведіть означення нескінченно малих одного порядку.

2.В якому випадку одна нескінченно мала буде вищого порядку ніж інша?

3.Які нескінченно малі називають еквівалентними? Наведіть приклади еквівалентних нескінченно малих функцій.

Приклад. Знайти границі за допомогою еквівалентних нескінченно малих:

1. lim sin 5x	;	2. lim 1 −cos x ;	3. lim arctg(x −3) .
x→0 sin 4x		x→0 x(ex −1)	x→3 x2 −3x

Розв’язання. 1. Скористаємося еквівалентністю нескінченно малих вели-

чин: sin x x .			sin 5x		0						5x				5
lim			sin 5x		0						5x			=	5		.
lim					=			= lim			4x			=	4		.
x→0 sin 4x					0					x→0	4x				4
2. Аналогічно1 −cos x = 2sin		2 x				x			2	x 2						x2			; e	x	−1	х.
				= 2 sin						2				=
			2	= 2 sin		2				2				=			2
			2			2					2						2
	1 −cos x						0						x2				1
lim	1 −cos x						0			= lim		2					1	.
					=		0					2			=		2
					=										=
x→0 x(ex −1)										x→0 x x

3. x arctg x .
lim	arctg(x −3)		0
lim		=
x→3 x2 −3x		0

= lim arctg(x −3)		= lim	x −3	= lim 1	=	1 .

x→3	x(x −3)	x→3 x (x −3)		x→3 x		3

ЗАВДАННЯ ДЛЯ АУДИТОРНОЇ РОБОТИ Приклад 1. Знайтиграницізадопомогоюеквівалентнихнескінченно малих:

1. lim

sin2

;

2. lim

arctg2

tg2

→0

x→0 x ln(1 + x)

Приклад2. Довестиеквівалентністьнескінченно малихфункційпри x →0 :

1. e

−e

−х;

arcsin

tg 2x

;

arctg

−

−2x

−1) .

ДОМАШНЄ ЗАВДАННЯ

Приклад1. Знайтиграницізадопомогоюеквівалентнихнескінченно малих:

1 lim

;

lim

arcsin 2x

;

lim

ex −1

x→0 tg 7x

x→0

ln(1 + x)

x→0 arctg

Відповіді: 1.

; 2. 2;

3. 5.

Приклад2. Довестиеквівалентністьнескінченно малихфункційпри х→0 .

1. e

−1 mx ;

2. tg x −sin x

;

ln cos x

БІБЛІОГРАФІЧНИЙ СПИСОК

1.Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления. – М: Наука, 1980. – Т. 1.

2.Овчинников П. П. Вища математика / П. П. Овчинников, Ф. П. Яремчук, В. М. Михайленко. – К.: Техніка, 2000. – Ч. 1.

3.Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. – М: Наука. – Т. 1.

4.Смирнов В. М. Курс высшей математики. – М: Просвещение, 1974. – Т. 1.

5.Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа. – М: Наука,

1985.

6.Данко П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. – М.: Высш. шк., 1980. – Ч. 1.

7.Запорожец Г. И. Руководство к решению задач по математическому анализу.

–М.: Высш. шк., 1966.

		ЗМІСТ
ВСТУП...............................................................................................................................			5
1.	ЗМІННІ І СТАЛІ ВЕЛИЧИНИ....................................................................................		6
2.	ПОНЯТТЯ ФУНКЦІЇ....................................................................................................		6
3.	СПОСОБИ ЗАДАННЯ ФУНКЦІЇ ...............................................................................		7
4.	КЛАСИФІКАЦІЯ ФУНКЦІЙ......................................................................................		8
5.	ЕЛЕМЕНТАРНІ ФУНКЦІЇ........................................................................................		11
6.	ЧИСЛОВІ ПОСЛІДОВНОСТІ ГРАНИЦЯ ЧИСЛОВОЇ ПОСЛІДОВНОСТІ.......		21
7.	НЕСКІНЧЕННО МАЛІ І НЕСКІНЧЕННО
	ВЕЛИКІ ПОСЛІДОВНОСТІ (ЗМІННІ) ....................................................................		24
8.	ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ..................................................................................................		29
9.	НЕСКІНЧЕННО МАЛІ ФУНКЦІЇ І ЇХ ВЛАСТИВОСТІ........................................		34
10.		ОСНОВНІ ТЕОРЕМИ ПРО ГРАНИЦЮ ФУНКЦІЇ..............................................	37
11.		НЕВИЗНАЧЕНІ ВИРАЗИ І ЇХ РОЗКРИТТЯ.........................................................	39
12.		НАТУРАЛЬНІ ЛОГАРИФМИ.................................................................................	46
13.		ПОРІВНЯННЯ НЕСКІНЧЕННО МАЛИХ ФУНКЦІЙ.........................................	56
БІБЛІОГРАФІЧНИЙ СПИСОК.....................................................................................			58

Навчальне видання

Т. М. Бусарова, О. В. Звонарьова, Н. В. Міхєєва, В. О. Петренко

ВСТУП ДО МАТЕМАТИЧНОГО АНАЛІЗУ

Методичні рекомендації для виконання модульної роботи № 3 Частина 1

Редактор Т. В. Мацкевич

Комп’ютерна верстка Т. В. Шевченко

Підписано до друку 25.05.2007. Формат 60х84 1/16. Папір для множних апаратів. Ризограф. Ум. друк. арк. 3,46. Обл.-вид. арк. 3,6.

Тираж 300 прим. Зам. № 884. Вид. № 76.

Видавництво Дніпропетровського національного університету залізничного транспорту імені академіка В. Лазаряна

ДК № 1315 від 31.03.2003

Адреса видавництва та дільниці оперативної поліграфії: 49010, Дніпропетровськ, вул. Лазаряна, 2 www.diitrvv.dp.ua, admin@diitrvv.dp.ua

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 66

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
21.02.201618.82 Mб15Методичка л. р. УЕР 1 колія.doc
#
21.02.20169.14 Mб21Методичка л. р. УЕР 2 колії.doc
#
21.02.20161.74 Mб21Методичка ОПЦ Лесная готово.doc
#
30.10.2018516.1 Кб2Методичка по дипломуванню КассірВВ.doc
#
21.02.20161.96 Mб30Методичка по математике.doc
#
21.02.2016701.42 Кб27методичка по математике.pdf
#
21.02.2016367.62 Кб17методичка Ревизия.doc
#
18.11.2019366.08 Кб4методичка творчество окончат (8).doc
#
14.11.2019487.94 Кб2методичка теми.doc
#
21.02.20163.09 Mб11Методичка ЦДО.doc
#
21.02.20161.09 Mб43Методичка-все лекции по КЭП_ver_9.09.pdf