методичка по математике

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Днепропетровский национальный университет железнодорожного транспорта им. академика В. Лазаряна

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

8. Гіперболічні функції.

Гіперболічний синус: y =shx ,

Гіперболічний косинус: y = chx ,

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.02.2016

Размер:

701.42 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

3. Степенева функція y = xn .

Розглянемо лише деякі випадки. Якщо n – парне число, то обидві функції парні.

Якщо n – непарне, то, наприклад: y = x3 – функція непарна.

Якщо n – парне від’ємне число, то наприклад, y = 1 – функція парна. x2

Якщо n – непарне, від’ємне число, то, наприклад, y = 1x – функція непарна.

4. Показникова функція y = ax .	5.	Логарифмічна	функція
	y = loga x .

Функція зростаюча

Функція спадна

Функція зростаюча

Функція спадна

Із графіків випливає, що наведені показникові та логарифмічні функції строго монотонні.

6. Тригонометричні функції:

Функція непарна періодична (T = 2π)

Функція парна періодична (T = 2π)

Функція непарна періодична (T = π)

7. Обернені тригонометричні функції:

Функція непарна зростаюча на [-1,1]

Функція спадна на [-1,1]

Функція непарна зростаюча

Функція спадна

За допомогою розглянутих графіків можна будувати більш складні графіки. Нехай a – дійсне число ( a ≠ 0 ). Тоді графік функції y = f (x) + a можна одер-

жати, якщо графік y = f (x) паралельно зсунути вздовж осі OY на величину a .

Якщо a > 0 , графік зсунеться догори, якщо a < 0 – графік зсунеться униз.

Для того, щоб побудувати графік y = f (x + a) , потрібно графік функції y = f (x) зсунути паралельно вздовж осі OX на відстань a . Якщо a > 0 , то графік зсуваємо ліворуч, якщо a < 0 – праворуч.

Для того, щоб побудувати графік функції y = a f (x) , потрібно точки M (x, y) графіка y = f (x) замінити точками M (x, ay) . Причому, якщо a >1, ординати графіка збільшуються в а разів. Якщо 0 < a <1, ординати зменшуються в a−1 рази. Якщо a < 0 , то графік функції y = a f (x) буде симетричним графіку функції y = a f (x) відносно осі OX .

Функція непарна зростаюча

Функція парна

Гіперболічний тангенс: y = thx ,

Гіперболічний котангенс: y = cthx ,

де

thx =

shx

ex −e−x

де

cthx =

chx

ex +e−x

chx

ex +e−x

shx

ex −e−x

Функція непарна зростаюча

Функція непарна спадна

Відзначимо, що для гіперболічних функцій мають місце формули, аналогічні з точністю до знака, відповідно формулам для тригонометричних

функцій:

ch2x −sh2x =1, ch2x = ch2x +sh2x , ch(x ± y) = chx chy ±shx shy і т. д.

ЗАПИТАННЯ ТА ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОПЕРЕВІРКИ

1.Яка функція називається непарною, парною?

2.Що таке період функції?

3.Яка функція називається зростаючою на інтервалі? Наведіть приклади.

4.Яка функція називається неспадною на інтервалі?

5.Яка функція називається монотонною (строго монотонною)?

6.Що таке обмежена функція? Наведіть приклади.

7.Що таке обернена функція? Наведіть приклад функції, яка має обернену і функції, яка не має оберненої функції.

8.Напишіть рівняння кола в параметричному виді.

9.Побудуйте графіки функцій:

y = ax ; y = loga x (a >1,0 < a <1) ; y =sin x ; y = arctgx .

10.Яка функція називається алгебраїчною, трансцендентною?

11.Що таке дробово-раціональна функція?

12.Як побудувати графік функцій y = x3 − a , y = ln(x + a) ?

13.Чому дорівнює shx , chx ?

Приклад. Для функції f (x) = 2x +5 знайти:

x2 −1

1. f (0) ; 2.

f (−3) ; 3.

f (−x) ;

f (2x) ;

5. f (a) +3 ; 6.

f (a +3) .

Розв’язання: 1. Підставимо значення x = 0 у вираз заданої функції

f (0) = 2 0 +5 = −5.

02 −1

2. Аналогічно находимо:

f (−3) = 2 (−3) +5 =

−6 +5

= −

1 .

(−3)2 −1

9 −1

3. Для того, щоб знайти

f (−x) ,

потрібно формально замінити х в формулі

для f (x) на −x :

f (−x) = 2 (−x) +5 = −2x +5.

(−x)2 −1

x2 −1

4. Аналогічно

f (2x) = 2 2x +5 =

4x +5

(2x)2 −1 4x2 −1

5. Аналогічно

f (a) +3 =

2 a +5

3 =

2a +5 +3a2 −3

3a2 + 2a + 2

a2 −1

6. Аналогічно

f (a +3) = 2 (a +3) +5 =

2a +6 +5

2a +11

(a +3)2 −1

a2 +6a +9 −1 a2 + 6a +

Приклад. Для функції

f (z) =

z +3

знайти:

1. f (1) ;

2. f (−2) ;

4. f (2x −4) .

f (t +1) ;

Розв’язання: 1.

f (1) =

1 +3

= 2 ;

f (−2) =

−2 +3

1 ;

(−2)2

3. f (t +1) =

t +1 +3

t + 4

;

4. f (2x −4) =

2x −4 +3

2x −1

(t +1)2

(2x −4)2

(t +1)2

4(x − 2)2

Приклад. Задана функція x = 2t +3,

y =3 −t.

Знайти її значення, коли

t = −1;

t = 0 ; t =3 ;

t = −10 .

Розв’язання: Функція задана в параметричному вигляді. Підставимо зна-

чення параметра t = −1 в задану функцію:
	x = 2 (−1) +3 =1,			тому	f (1) = 4
		−(−1) = 4,
	y =3
Аналогічно: t = 0	x = 2 0 +3 =3,		тому f (3)		=3.
		0 =3;
	y =3 −

x = 2 3 +3 =9,		тому f (9) = 0 .
t =3 :
y =3 −3 = 0;
x = 2 (−10) +3 = −17,			тому f (−17)	=13 .
t = −10 :	=13;
y =3 −(−10)

Приклад. Дослідити функції на парність і непарність:

1.	f (x) =		2x	;	2. f (x) = ex +e−x ;			3. f (x) = x3 ax .

		x2 +5
	Розв’язання:
1.	f (−x) =		2 (−x)		= −	2x	= − f (x) , а за означенням це функція непарна.
			(−x)2 +5
						x2 +5

2.f (−x) = e−x + ex = f (x) – тобто це функція парна.

3.f (−x) = (−x)3 a−x = −x3 a−x , тобто це функція загального виду.

Приклад. Побудувати графіки функцій (за допомогою графіків основних елементарних функцій).

1. f (x) = x2 +3 ;	2. f (x) = ln(x − 2) ;	3.	f (x) = −2cos x .
Розв’язання:	1. Побудуємо спочатку графік		y = x2 , а потім паралельно

зсунемо цей графік вздовж осі OY на три одиниці вгору

2.Побудуємо спочатку графік y = ln x , а потім паралельно зсунемо його вздовж осі OX на дві одиниці праворуч

3.Усі точки M (x, y) графіка y = cos x замінимо точками M1(x,−2 y)

Приклад. Побудувати графік функції.

x, −∞ < x <1 y = x2,1 ≤ x <3

5 − x, 3 ≤ x < ∞.

Розв’язання: Зауважимо, що в умові приведеного прикладу розглядається не три функції (так часто вважають студенти), а одна функція, яка на різних інтервалах задається різними аналітичними виразами:

Побудуємо графік цієї функції

Приклад. Складні функції представити за допомогою ланцюжків, складених з основних елементарних функцій і навпаки:

1.	y = arctg ln x ;	2. y =sin[2ctg(x +1)];		3. y = e3 2+x2 ;
	y = 4 u, u = tg v,		5. y = 2u ,	1
4.		v =3x +5 ;		u =		, v = cos(x −1) .
					v2

Розв’язання: 1. Запишемо функцію таким чином: y = arctg u ; u = ln x .

2.Аналогічно: y =sin u ; u = 2ctg v ; v = x +1.

3.y = eu , u = 3 v , v = 2 + x2 .

4. Тепер з елементарних функцій утворимо складну функцію u = tg v = tg(3x +5) , тоді y = 4 u = 4 tg(3x +5) .

5. u =

, тоді y = 2

cos2 (x−1)

cos2 (x −

ЗАВДАННЯ ДЛЯ АУДИТОРНОЇ РОБОТИ

Приклад 1. Знайти область визначення функцій:

1. f (x) =

x +1

;

f (x) = x +5 − −8 − x ;

3. f (x) = eln x .

+ 2)(x −3)

Приклад2. Дляфункції f (x) = x tg x знайти: f (0) ; f (π/ 6) ;

f (π/ 4) ;

f (π/ 2) .

Приклад 3. Для функції

f (x) =

знайти:

f (1),

f (0),

f (−x), f (2a) .

Приклад

4. Функція

параметричному

вигляді

y = f (x)

задана в

x =8t +3

. Знайти її значення, якщо t = −1, t = −

, t = 0 , t = 2 .

y =t

Приклад 5. Дослідити функції на парність і непарність:

f (x) = sin x ;

f (x) = cos x2 ;

3. f (x) =

− x3

Приклад 6. Побудувати графіки функцій (за допомогою графіків основ-

них елементарних функцій):

1. f (x) = x3 − 2 ;

2. f (x) = x + 2 ;

3. f (x) = (x +1)2 ;

4. f (x) = ex−1 .

Приклад 7. Побудувати графік функції

x +5,

−∞ < x < −2;

− 2 ≤ x <3;

f (x) = x2 −1,

x −

3 ≤ x < ∞.

Приклад 8. Складні функції представити за допомогою ланцюжків, скла-

дених із основних елементарних функцій і навпаки:

y =

sin x3

;

y = tg

[(x

−3x)];

y = arccos

(ctg3x) ;

y = cosu,

u =

v =

x +1

;

y =5u,

u =

, v = ctg x .

x −1

ДОМАШНЄ ЗАВДАННЯ

Приклад 1. Знайти область визначення функцій:

1. f (x) =

; 2. f (x) =

; 3. f (x) = 2x −7 ; 4. f (x) =

x3 −16x

ln x

x2 +10

Відповіді: 1.

x ≠ 0, x ≠ ±4 ;

2. −∞ < x < ∞;

x ≥

;

x > 0, x ≠1.

Приклад 2. Для функції

f (x) =

3x2

знайти: f (1) ;

f (0) ;

f (5) ;

f (x +5) ;

x −5

f (a) .

Відповіді:

f (1) = −1;

f (0) = −

;

f (5)

– значення не

існує; f (x +

5) =

3x2 +30x+76

;

f (a) =

3a2

a−5

Приклад3. Дляфункції f (x) =sin 2x

f (−x) , f

знайти: f (0) , f

+t .

Відповіді:

f (0) = 0 ;

;

f (−x) = −sin 2x ; f

= −sin 2t .

Приклад 4.

Функція

y = f (x)

задана в параметричному вигляді

x =3t −t

. Знайти її значення, при t = −2 , t = 0 , t =

y =t + 2

Відповіді: f (−10) = 0;

f (0) = 2;

f (

) =

Приклад 5. Дослідити функції на парність і непарність:

f (x) = 2 −cos2 x ;

2. f (x) =

sin x

;

3. f (x) = x cos x ; 4. f (x) = 2x +1.

1 + x4

Відповіді: 1) парна;

2) непарна;

3) непарна;

4) загального виду.

Приклад 6. Побудувати графіки функцій (за допомогою графіків основних елементарних функцій):

1. f (x) = 2 − x2 ; 2. f (x) = x −1 ; 3.	f (x) =sin x		−	π	; 4. f (x) =3x + 2 .
				4
Приклад 7. Побудувати графік функції
	−∞ < x < 0
2x,	−∞ < x < 0
		π
		π
f (x) = sin x, 0 ≤ x <			.
f (x) = sin x, 0 ≤ x <		2	.
		2
	x ≥	π
1,
1,		2
		2

Приклад 8. Складні функції представити за допомогою ланцюжків, складених із основних елементарних функцій і навпаки:

1.	y = ln3 tg 4x ;	2.	y = 6 arcsin 7x ;
3.	y =u2, u = cos v, v = log5 x ;	4.	y = eu , u = v, v =3x .
Відповіді:
1.	y = u3, u = ln v, v = tg t, t = 4x ;	2.	y = 6 u, u = arcsin v, v = 7x ;
3.	y = cos2 log5 x ;	4.	y = e 3x .

6. ЧИСЛОВІ ПОСЛІДОВНОСТІ ГРАНИЦЯ ЧИСЛОВОЇ ПОСЛІДОВНОСТІ

Нагадаємо, що змінною величиною, або просто змінною, називають усяку величину х, яка може приймати різні числові значення. Розглянемо важливий клас змінних величин, який будемо називати послідовностями.

Означення. Якщо сукупність усіх можливих значень змінної величини така, що всі ці числа можна занумерувати за допомогою нескінченної кількості номерів 1, 2, 3, ... і розташувати у порядку зростання номерів, тобто записати у вигляді: x1, x2, x3,..., xn,..., то таку змінну

будемо називати послідовністю (числовою послідовністю).

	Послідовність					x1, x2,..., xn,... будемо позначати {xn} або просто писати,
що xn – змінна.
	Числа			x1, x2,..., xn,... будемо називати елементами (членами) послі-
довності.
	Приклад.
1.	x1 = 2, x2 = 4, x3 = 6,..., x50 =100,...						і, взагалі,	xn = 2n, n =1,2,3,...
2.	y1 =3, y2 =9, y3 = 27,...						і, взагалі,	yn =3n , n =1,2,3,...
3.	z	=1, z	2	= 1 , z		= 1 ,...	і, взагалі,	z	n	= 1 , n =1,2,3,...
	1		2	2	3	3			n	n
				2		3				n

4.x1 = a, x2 = a + d, x3 = a + 2d, ... і, взагалі, xn = a +(n −1)d, n =1,2,3,...

Зауважимо, що послідовність вважається заданою, якщо відоме правило,

за допомогою якого за номером n можна знайти, чому дорівнює xn . Наприклад, якщо задати xn формулою xn =3n −1, то можна одержати будь-яке зна-

чення xn : x6 =3 6 −1 =17 , x23 =3 23 −1 = 68 і т. д. Якщо значення xn відкладати на числовій осі, то одержимо графічне зображення числової послідовності. Зауважимо, що на такому рисунку ми можемо зобразити лише декілька окремих значень змінної xn але часто цього буває достатньо для наочного

уявлення змінної xn .

Приклад.

1.xn =3n

2.xn = 2n

3.xn = (−1)n

Розглянемо послідовність xn = 2 + 1n :

x = 2 +1		=3;			x = 2 + 1		= 5 ;	x	= 2 + 1	= 7 ;
1	1				2	2	2	3	3	3

x = 2 + 1			= 9	;	x = 2 + 1		=11 ;	x	= 2 + 1	=13 .
4	4		4		5	5	5	6	6	6

На цьому рисунку видно, що значення змінної підходять «достатньо близько» до сталого числа 2. У цьому випадку кажуть, що 2 є границею послідовності xn або що xn прямує до 2.

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
21.02.201618.82 Mб15Методичка л. р. УЕР 1 колія.doc
#
21.02.20169.14 Mб21Методичка л. р. УЕР 2 колії.doc
#
21.02.20161.74 Mб21Методичка ОПЦ Лесная готово.doc
#
30.10.2018516.1 Кб2Методичка по дипломуванню КассірВВ.doc
#
21.02.20161.96 Mб30Методичка по математике.doc
#
21.02.2016701.42 Кб27методичка по математике.pdf
#
21.02.2016367.62 Кб17методичка Ревизия.doc
#
18.11.2019366.08 Кб4методичка творчество окончат (8).doc
#
14.11.2019487.94 Кб2методичка теми.doc
#
21.02.20163.09 Mб11Методичка ЦДО.doc
#
21.02.20161.09 Mб43Методичка-все лекции по КЭП_ver_9.09.pdf