- •Общая информация
- •Методические указания
- •Комплект поставки, требования к системе, процедура запуска
- •Принцип построения и структура
- •Знакомство с ЭУМК
- •Рекомендации для преподавателя
- •Лекции
- •Организация практических занятий
- •Тесты
- •Рекомендации для студента
- •Изучение теоретического материала
- •Практические занятия
- •Тесты
- •Типовые программы курсов
- •Указатель по направлениям и специальностям
- •Список учебных программ
- •Рекомендуемая литература
- •Часть I. Теория
- •Глава 1. Аналитическая геометрия
- •1.1. Прямая на плоскости
- •1.1.1. Декартовы координаты
- •1.1.2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •1.1.3. Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту
- •1.1.4. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки
- •1.1.5. Общее уравнение прямой
- •1.1.7. Угол между двумя прямыми
- •1.1.8. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых
- •1.1.9. Расстояние от точки до прямой
- •1.1.10. Взаимное расположение двух прямых на плоскости
- •1.2. Кривые второго порядка
- •1.2.1. Окружность
- •1.2.2. Эллипс
- •1.2.3. Гипербола
- •1.2.4. Парабола
- •1.2.5. Кривые второго порядка со смещенным центром
- •Глава 2. Предел последовательности и функции
- •2.1. Предел числовой последовательности
- •2.1.1. Числовая последовательность
- •2.1.2. Предел последовательности
- •2.1.3. Бесконечно малые последовательности
- •2.1.4. Бесконечно большие последовательности
- •2.1.5. Сходящиеся последовательности
- •2.1.6. Предельный переход в неравенствах
- •2.1.7. Монотонные последовательности
- •2.1.8. Непрерывное начисление процентов
- •2.2. Функциональная зависимость
- •2.2.1. Понятие функции
- •2.2.2. Способы задания функции.
- •2.2.3. Основные характеристики функций
- •2.2.4. Понятие обратной и сложной функции
- •2.2.5. Элементарные функции
- •2.2.6. Построение графиков функций
- •2.2.7. Функциональная зависимость в экономике
- •2.3. Предел функции. Два замечательных предела
- •2.3.1. Предел функции по Гейне
- •2.3.2. Предел функции по Коши
- •2.3.3. Односторонние пределы
- •2.3.4. Бесконечно малые функции
- •2.3.5. Бесконечно большие функции
- •2.3.6. Свойства предела функции
- •2.3.7. Признак существования предела функции
- •2.3.8. Замечательные пределы
- •2.3.9. Эквивалентные бесконечно малые функции
- •2.4. Непрерывные функции
- •2.4.1. Непрерывность функции в точке
- •2.4.2. Теоремы о непрерывных в точке функциях
- •2.4.3. Точки разрыва и их классификация
- •2.4.4. Непрерывность элементарных функций
- •2.4.5. Теоремы о непрерывных на отрезке функциях
- •Глава 3. Теория дифференцирования
- •3.1. Производная. Вывод таблицы
- •3.1.1. Понятие производной
- •3.1.2. Геометрический смысл производной
- •3.1.3. Физический смысл производной
- •3.1.4. Правила дифференцирования
- •3.1.5. Таблица производных основных элементарных функций. Производная сложной и обратной функции
- •3.1.6. Логарифмическая производная
- •3.1.7. Производная неявной функции
- •3.1.8. Производные высших порядков
- •3.1.9. Применения производной в экономике
- •3.2.1. Понятие дифференцируемости функции в точке
- •3.2.2. Дифференциал функции и приближенные вычисления с помощью дифференциала
- •3.2.3. Геометрический смысл дифференциала
- •3.2.4. Теоремы о среднем
- •3.3. Правила Лопиталя. Формула Тейлора
- •3.3.1. Правила Лопиталя
- •3.3.2. Формула Тейлора
- •3.4. Исследование функции с помощью производной
- •3.4.1. Условие постоянства функции.
- •3.4.2. Достаточное условие монотонности функции.
- •3.4.3. Необходимые и достаточные условия локального экстремума
- •3.4.4. Наибольшее и наименьшее значения функции
- •3.4.5. Выпуклые функции
- •3.4.6. Асимптоты графика функции
- •3.4.7. Общая схема исследования поведения функций и построения графиков функций
- •Глава 4. Теория интегрирования
- •4.1. Неопределенный интеграл
- •4.1.1. Первообразная
- •4.1.2. Неопределенный интеграл
- •4.1.3. Таблица интегралов
- •4.1.4. Простейшие методы интегрирования
- •Метод интегрирования подстановкой (замена переменной)
- •Метод интегрирования по частям
- •Интегрирование простейших рациональных дробей
- •4.2. Интегрирование классов функций
- •4.2.1. Интегрирование рациональных функций
- •4.2.2. Интегрирование иррациональных функций
- •Простейшие случаи
- •Более сложные случаи
- •4.2.3. Тригонометрические интегралы
- •4.3. Определенный интеграл
- •4.3.1. Задача о вычислении площади криволинейной трапеции
- •4.3.2. Свойства определенного интеграла
- •4.3.3. Оценки интегралов. Теорема о среднем значении.
- •4.3.4. Необходимое условие интегрируемости функции
- •4.3.5. Достаточные условия интегрируемости
- •4.3.6. Интеграл с переменным верхним пределом. Существование первообразной для непрерывной функции.
- •4.3.8. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.
- •4.4.1. Площадь криволинейной трапеции.
- •4.4.2. Длина дуги кривой
- •4.4.3. Объем тела вращения
- •4.4.4. Использование понятия определенного интеграла в экономике
- •4.5. Несобственные интегралы.
- •4.5.1. Несобственный интеграл с бесконечными пределами интегрирования.
- •4.5.2. Несобственные интегралы от неограниченных функций.
- •Глава 5. Дифференцирование функций двух переменных
- •5.1. Функция двух переменных. Дифференциал
- •5.1.1. Определения
- •5.1.2. Предел функции двух переменных
- •5.1.3. Непрерывность функции двух переменных
- •5.1.4. Частные производные
- •Геометрический смысл частных производных
- •5.1.5. Частные производные высших порядков
- •5.1.6. Дифференцируемость и дифференциал
- •5.1.7. Производная сложной функции
- •5.1.8. Производная по направлению. Градиент
- •5.1.9. Производственная функция Кобба — Дугласа
- •5.2. Экстремум функции двух переменных
- •5.2.1. Локальный экстремум
- •5.2.2. Глобальный экстремум
- •5.2.3. Условный экстремум
- •5.2.4. Метод множителей Лагранжа
- •5.2.5. Экстремум выпуклых функций
- •5.2.6. Функция полезности
- •Глава 6. Дифференциальные уравнения
- •6.1.1. Общее дифференциальное уравнение (ДУ) первого порядка.
- •6.1.2. Составление дифференциальных уравнений.
- •6.1.3. ДУ с разделяющимися переменными.
- •6.2. Дифференциальные уравнения первого порядка и их решение
- •6.2.1. Однородные ДУ первого порядка.
- •6.2.2. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
- •6.2.3. Уравнение Бернулли.
- •Глава 7. Ряды
- •7.1. Числовые ряды
- •7.1.1. Понятие числового ряда.
- •7.1.2. Необходимое условие сходимости числового ряда.
- •7.1.3. Достаточные условия сходимости.
- •7.1.4. Абсолютная и условная сходимость.
- •7.2. Функциональные ряды. Область сходимости
- •7.3. Степенные ряды. Формула Тейлора
- •Глава 8. Линейная алгебра
- •8.1. Матрицы и определители
- •8.1.1. Понятие матрицы. Виды матриц
- •8.1.2. Операции над матрицами
- •8.1.3. Определители
- •8.1.4. Свойства определителей
- •8.1.5. Элементарные преобразования
- •8.1.6. Обратная матрица
- •8.1.7. Матричные уравнения
- •8.1.8. Ранг матрицы
- •8.2. Системы линейных алгебраических уравнений
- •8.2.1. Основные понятия
- •8.2.2. Матричный метод
- •8.2.3. Метод Крамера
- •8.2.4. Метод Гаусса
- •8.2.5. Критерий Кронекера — Капелли
- •8.2.6. Экономическая модель Леонтьева
- •8.3. Векторная алгебра
- •8.3.1. Векторы в пространстве
- •8.3.2. Скалярное произведение векторов
- •8.3.4. Линейная зависимость векторов
- •8.3.5. Базис и ранг системы векторов
- •8.3.6. Ортогональные системы векторов
- •8.3.7. Фундаментальные системы решений
- •8.3.8. Собственные векторы и значения
- •Предметный указатель
- •Другие
- •Определения
- •Абсолютно сходящийся ряд
- •Абсолютно сходящийся функциональный ряд
- •Алгебраическое дополнение
- •Арифметические операции с последовательностями
- •Асимптоты гиперболы
- •Базисный минор
- •Бесконечно большая последовательность
- •Бесконечно большие функции
- •Бесконечно малая последовательность
- •Бесконечно малые функции
- •Бюджетное множество
- •Вектор валового выпуска
- •Вектор конечного продукта
- •Вектор предельных полезностей
- •Вектор-столбец и вектор-строка
- •Вертикальная асимптота
- •Вершина параболы
- •Вершины гиперболы
- •Вершины эллипса
- •Возрастающая и убывающая последовательности
- •Возрастающая и убывающая функции
- •Второй замечательный предел
- •Выпуклая вверх (выпуклая) функция
- •Выпуклая вниз (вогнутая) функция
- •Выпуклое множество
- •Выпуклые функции
- •Гаусса метод
- •Гипербола
- •Градиент
- •График функции двух переменных
- •График функции
- •Диагонали матрицы
- •Диагональная матрица
- •Директриса параболы
- •Дифференциал функции двух переменных
- •Дифференциал
- •Дифференциальное уравнение Бернулли
- •Дифференциальное уравнение первого порядка
- •Дифференциальное уравнение с разделенными переменными
- •Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными
- •Дифференциальный бином
- •Дифференцирование
- •Дифференцируемая функция
- •Дифференцируемость функции двух переменных
- •Единичная матрица
- •Задача Коши
- •Знакочередующийся ряд
- •Изокванты
- •Интеграл с переменным верхним пределом
- •Интегральная кривая дифференциального уравнения
- •Интегральная кривая
- •Интегральная сумма
- •Интегрирование дифференциального уравнения
- •Интервал монотонности
- •Интервал сходимости
- •Касательная
- •Квадратная матрица
- •Классификация точек разрыва
- •Крамера метод и формулы
- •Кривые безразличия
- •Критическая точка
- •Левый предел
- •Линейное дифференциальное уравнение
- •Линии первого порядка
- •Линии уровня
- •Линия на плоскости
- •Логарифмическая производная
- •Локальные минимум и максимум функции двух переменных
- •Локальный максимум
- •Локальный минимум
- •Локальный экстремум функции двух переменных
- •Локальный экстремум
- •Матрица прямых затрат
- •Матрицы
- •Матричная форма системы линейных уравнений
- •Матричные уравнения
- •Матричный метод решения системы линейных уравнений
- •Минор матрицы
- •Минор элемента матрицы
- •Многочлен Тейлора
- •Многочлен от квадратной матрицы
- •Монотонная последовательность
- •Монотонная функция
- •Наклонная асимптота
- •Направление
- •Направляющие косинусы
- •Невырожденная и вырожденные матрицы
- •Неограниченная последовательность
- •Неограниченная функция
- •Неопределенный интеграл
- •Неправильная рациональная функция
- •Непрерывная в области функция
- •Непрерывная на отрезке функция
- •Непрерывность функции двух переменных по одной из переменных
- •Непрерывность функции двух переменных
- •Непрерывность функции на языке приращений
- •Непрерывность функции
- •Непрерывность функций двух переменных на языке приращений
- •Непрерывные справа и слева функции
- •Несобственный интеграл второго рода
- •Несобственный интеграл первого рода
- •Неэлементарные функции
- •Неявная функция
- •Нормаль
- •Нулевая матрица
- •Нулевое решение однородной системы линейных уравнений
- •Область сходимости
- •Обратная матрица
- •Обратная функция
- •Общее решение дифференциального уравнения
- •Общее уравнение прямой
- •Общий интеграл
- •Ограниченная последовательность
- •Ограниченная функция
- •Одноресурсная производственная функция
- •Однородная функция
- •Однородное дифференциальное уравнение
- •Однородные и неоднородные системы линейных уравнений
- •Однородные функции
- •Односторонние пределы на бесконечности
- •Односторонние пределы
- •Окрестность точки на плоскости
- •Окрестность точки
- •Окружность
- •Определённая и неопределённая системы
- •Определенный интеграл
- •Определители второго порядка
- •Определители первого порядка
- •Определители третьего порядка
- •Определитель произвольного порядка
- •Оси гиперболы
- •Оси эллипса
- •Основная матрица системы
- •Основной прямоугольник гиперболы
- •Особое решение дифференциального уравнения
- •Остаток числового ряда
- •Остаточный член в форме Лагранжа
- •Ось параболы
- •Парабола
- •Параметр параболы
- •Первообразная
- •Первый замечательный предел
- •Перестановочные матрицы
- •Периодическая функция
- •Полное приращение функции
- •Полуоси гиперболы
- •Полуоси эллипса
- •Последовательность числовая
- •Постоянная последовательность
- •Постоянная функция
- •Правильная рациональная функция
- •Правый предел
- •Предел последовательности
- •Предел функции двух переменных на языке окрестностей
- •Предел функции двух переменных по Гейне
- •Предел функции двух переменных по Коши
- •Предел функции на бесконечности
- •Предел функции на языке окрестностей
- •Предел функции по Гейне
- •Предел функции по Коши
- •Предельная производительность труда
- •Предельная фондоотдача
- •Предельные полезности
- •Приращение аргумента и функции
- •Приращение функции по направлению
- •Присоединённая матрица
- •Произведение матриц
- •Произведение матрицы на число
- •Производная второго порядка
- •Производная по направлению
- •Производная
- •Производственная функция Кобба — Дугласа
- •Производственная функция
- •Простейшие рациональные дроби
- •Противоположная матрица
- •Равенство матриц
- •Равнобочная гипербола
- •Равномерно сходящийся функциональный ряд
- •Радиус сходимости
- •Разность матриц
- •Ранг матрицы
- •Расширенная матрица системы
- •Рациональные функции
- •Решение дифференциального уравнения
- •Решение системы уравнений
- •Ряд матрицы
- •Система линейных уравнений
- •Сложная функция
- •Смешанные производные
- •Совместные и несовместные системы уравнений
- •Согласованные матрицы
- •Соотношения баланса
- •Сопряженные гиперболы
- •Стационарная точка
- •Стационарные точки функции двух переменных
- •Степенной ряд
- •Степень квадратной матрицы
- •Строго возрастающая и строго убывающая последовательности
- •Строго возрастающие и строго убывающие функции
- •Строго монотонная последовательность
- •Строго монотонная функция
- •Ступенчатая матрица
- •Сумма матриц
- •Сходимость в точке
- •Сходящаяся и расходящаяся последовательности
- •Сходящийся несобственный интеграл
- •Сходящийся числовой ряд
- •Таблица эквивалентностей
- •Точка безубыточности
- •Точка перегиба
- •Точка разрыва функции двух переменных
- •Точка рыночного равновесия
- •Точка спроса
- •Точки локального условного максимума и минимума
- •Точки разрыва
- •Транспонированная матрица
- •Треугольная матрица
- •Угловой коэффициент прямой
- •Угол между прямыми
- •Угол наклона прямой
- •Уравнение линии
- •Уравнение прямой в отрезках
- •Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •Уравнение, записанное в дифференциалах
- •Уравнение, разрешенное относительно производной
- •Условно сходящийся ряд
- •Условный экстремум
- •Фокальные радиусы гиперболы
- •Фокальные радиусы эллипса
- •Фокальный радиус параболы
- •Фокус параболы
- •Фокусы гиперболы
- •Фокусы эллипса
- •Формула Маклорена
- •Формула Тейлора
- •Функции спроса и предложения
- •Функциональный ряд
- •Функция Лагранжа
- •Функция выручки
- •Функция двух переменных
- •Функция издержек
- •Функция полезности двух товаров
- •Функция полезности
- •Функция прибыли
- •Функция спроса на товары
- •Функция
- •Центр гиперболы
- •Центр эллипса
- •Частичная сумма ряда
- •Частное и общее решения системы уравнений
- •Частное приращение функции
- •Частное решение дифференциального уравнения
- •Частные производные второго порядка
- •Частные производные
- •Четные и нечетные функции
- •Числовая функция
- •Числовой ряд
- •Эквивалентные бесконечно малые функции
- •Эквивалентные матрицы
- •Эквивалентные системы уравнений
- •Эксцентриситет гиперболы
- •Эксцентриситет эллипса
- •Эластичность функции двух переменных
- •Эластичность
- •Элементарные преобразования
- •Элементарные функции
- •Элементы матрицы
- •Эллипс
- •Эпсилон-окрестность на плоскости
- •Доказательства теорем
- •Часть II. Задачи
- •Глава 1. Аналитическая геометрия
- •1.1. Прямая на плоскости
- •1.1.1. Общие задачи
- •1.1.2. Экономика
- •1.2. Кривые второго порядка
- •1.2.1. Общие задачи
- •Глава 2. Теория пределов
- •2.1. Последовательность. Предел числовой последовательности
- •2.2. Функциональная зависимость
- •2.2.1. Общие задачи
- •2.2.2. Экономика
- •2.3. Предел функции. Два замечательных предела
- •2.4. Непрерывные функции
- •Глава 3. Теория дифференцирования
- •3.1. Производная. Вывод таблицы
- •3.3. Правила Лопиталя. Формула Тейлора
- •3.4. Исследование функции с помощью производной
- •Глава 4. Теория интегрирования
- •4.2. Интегрирование классов функций
- •4.3. Определенный интеграл
- •Глава 5. Дифференцирование функций двух переменных
- •5.1. Функция двух переменных. Дифференциал
- •5.1.1. Общие задачи
- •5.1.2. Экономический профиль
- •5.2. Экстремум функции двух переменных
- •5.2.1. Общие задачи
- •5.2.2. Экономический профиль
- •Глава 6. Дифференциальные уравнения
- •6.2. Дифференциальные уравнения первого порядка и их решение
- •Глава 7. Ряды
- •7.1. Числовые ряды
- •7.2. Функциональные ряды. Область сходимости
- •7.3. Степенные ряды. Формула Тейлора
- •Решения и указания
- •Ответы к задачам
- •Часть III. Тесты
- •Глава 1. Аналитическая геометрия
- •1.1. Прямая на плоскости
- •1.2. Кривые второго порядка
- •Глава 2. Теория пределов
- •2.1. Последовательности
- •2.2. Предел, непрерывность точки разрыва функции одной переменной
- •Глава 3. Теория дифференцирования
- •3.1. Дифференцирование функций одной переменной
- •3.2. Исследование функции одной переменной
- •Глава 4. Теория интегрирования
- •4.1. Неопределённый интеграл
- •4.2. Определённый интеграл с приложениями
- •Глава 5. Функции двух переменных
- •Глава 6. Дифференциальные уравнения
- •6.1. Элементарные дифференциальные уравнения
- •6.2. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
- •Глава 7. Ряды
- •7.1. Числовые ряды
- •7.2. Функциональные и степенные ряды
- •Глава 8. Линейная алгебра
- •8.1. Матрицы, определители, обратная матрица, системы уравнений
- •8.2. Векторная алгебра
Часть II. Задачи
Глава 3. Теория дифференцирования 3.3. Правила Лопиталя. Формула Тейлора
Меню |
Назад Вперёд |
3.3. Правила Лопиталя. Формула Тейлора
266.Используя правило Лопиталя, найдите пределы:
1) |
lim |
sin 2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
→0 |
|
3 |
|
|
|||
2) |
lim |
arctg 2 − 3 |
; |
|
||||
|
→0 |
|
|
|
|
|
||
3) |
lim |
|
2 − 3 + 1 |
; |
|
|
||
|
→∞ |
2 |
|
|
||||
4) |
lim (sin ) ; |
|
|
|||||
|
→0 |
|
|
|
|
|
|
|
5) |
lim sin ln ; |
|
|
|||||
|
→0 |
|
|
|
|
|
|
|
6) |
lim |
|
(tg 2 ) −2 ; |
|
|
|||
|
→ /2 |
|
|
|||||
7) |
lim |
3 − 7 2 + 4 + 2 |
; |
|||||
|
→1 |
|
3 − 5 + 4 |
|
||||
8) |
lim |
cos − sin |
; |
|
||||
|
→0 |
|
|
3 |
|
|
||
9) |
lim |
7 − 1 |
; |
|
|
|||
|
→0 |
|
tg 3 |
|
|
10)lim 1 − cos 7 ;→0 sin 7
11)lim ctg 4 ;
− 2→2
[Решение] [Ответ]
[Ответ]
[Ответ] [Ответ] [Ответ] [Ответ]
[Ответ]
[Ответ]
[Ответ]
[Ответ]
[Ответ]
Часть II. Задачи
Глава 3. Теория дифференцирования 3.3. Правила Лопиталя. Формула Тейлора
Меню |
|
( − 1 |
− ln ); |
||||||||||||||||
12) |
→1 |
||||||||||||||||||
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||
13) |
(1 − )tg |
2 ; |
|||||||||||||||||
→ |
|||||||||||||||||||
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
14) |
lim (tg )2 − ; |
|
|
|
|||||||||||||||
15) |
→ 2 |
( + 1) |
; |
|
|
|
|||||||||||||
→0 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
lim |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16) |
lim (cos 2 ) |
1 |
; |
|
|
|
|
||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17) |
lim |
sin |
3 |
; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
18) |
lim |
|
1 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
19) |
→1 |
( arccos ) |
|
; |
|||||||||||||||
→0 |
1 |
||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
20) |
lim |
|
1 |
|
; |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
lim (ctg ) |
ln |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21) |
lim |
|
3 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1+ln |
|
|
|
|
|
|
|
→0
Назад Вперёд
[Ответ]
[Ответ]
[Ответ]
[Ответ]
[Ответ]
[Ответ]
[Ответ]
[Ответ]
[Ответ]
[Ответ]
Часть II. Задачи
Глава 3. Теория дифференцирования 3.4. Исследование функции с помощью производной
Меню |
Назад Вперёд |
3.4.Исследование функции с помощью производной
267.Найдите экстремумы и промежутки монотонности функции:
1) |
3 |
5 |
2 |
+ 6 − 7; |
[Решение] [Ответ] |
|||||||||
= |
|
|
− |
|
|
|||||||||
3 |
|
2 |
|
|||||||||||
2) |
= 2−2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
[Ответ] |
||||
3) |
= ln(3 2 + 2 + 1); |
[Ответ] |
||||||||||||
4) |
= 2 − ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
[Ответ] |
||||
5) |
= √ |
|
|
; |
|
|
|
|
[Ответ] |
|||||
12 − 3 3 |
|
|
|
|||||||||||
6) |
= + arcctg ; |
|
|
|
[Ответ] |
|||||||||
7) |
= 4 |
|
− 2 2 + 5; |
|
|
|
[Ответ] |
|||||||
8) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
[Ответ] |
|
2 |
− 6 − 16 |
|
|
|||||||||||
9) |
= 3 |
|
− 3 2 − 9 + 7; |
[Ответ] |
||||||||||
10) |
= √3 |
|
|
|
[Ответ] |
|||||||||
( 2 − 6 + 5)2; |
||||||||||||||
11) |
= − ln(1 + ); |
|
|
|
[Ответ] |
|||||||||
12) |
= ln2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
[Ответ] |
||||
|
= √34 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
13) |
( 2 −31)2; |
2 |
− 12 + 5; |
[Ответ] |
||||||||||
14) |
= |
|
+ 4 |
− 2 |
|
[Ответ] |
||||||||
15) |
= 3−6 − 2 ; |
|
|
|
[Ответ] |
Часть II. Задачи
Глава 3. Теория дифференцирования 3.4. Исследование функции с помощью производной
Меню
16) |
= |
2 |
− ; |
|
|
||||
3 |
|
|
|||||||
17) |
= 3 |
− 6 2 + 12 ; |
|||||||
18) |
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
3 − 7; |
|
|
||||
19) |
= 2 3 − 6 2 − 18 + 7; |
||||||||
|
|
|
|
|
4 + 1 |
|
|
||
20) |
= |
|
|
; |
|
|
|||
4 2 + + 8 |
|
|
|||||||
21) |
= |
|
|
|
1 |
|
|
; |
|
|
|
||||||||
10 2 + + 20 |
|||||||||
22) |
|
√ |
|
. |
|||||
= |
3 2 + 4 + 6 |
Назад Вперёд
[Ответ] [Ответ] [Ответ] [Ответ]
[Ответ]
[Ответ]
[Ответ]
268.Найдите точки перегиба, промежутки выпуклости и вогнутости функции:
1) |
= 4 − 4 3 + − 1; |
[Решение] [Ответ] |
|||||||
2) |
= 2 2 + ln ; |
[Ответ] |
|||||||
3) |
= − |
2 |
; |
|
[Ответ] |
||||
2 |
|
||||||||
4) |
= ln(1 + 2); |
[Ответ] |
|||||||
5) |
= arctg ; |
[Ответ] |
|||||||
6) |
= |
|
1 |
|
; |
[Ответ] |
|||
|
|
||||||||
4 |
− 2 |
||||||||
7) |
= arctg − ; |
[Ответ] |
|||||||
8) |
= |
|
|
2 |
2 |
; |
[Ответ] |
||
|
|
|
|
|
|||||
1 |
+ |
2 |
|||||||
|
|
|
|
||||||
9) |
= |
1 |
+ 2 |
; |
[Ответ] |
||||
|
|
|
|
|
|||||
1 |
− |
2 |
|||||||
|
|
|
|
Часть II. Задачи
Глава 3. Теория дифференцирования 3.4. Исследование функции с помощью производной
Меню |
Назад Вперёд |
10) |
= (3 + 6) |
|
|||||
3 ; |
|||||||
11) |
= |
|
2 |
; |
|
|
|
− 2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||
12) |
= ; |
|
|
|
|||
13) |
= |
|
|
3 |
|
; |
|
2 + 12 |
|
||||||
14) |
= 5 − 10 2 |
+ 7 ; |
|||||
15) |
= ln( 2 − 4 + 5); |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
16) |
= |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
17) |
= arctg . |
|
[Ответ]
[Ответ]
[Ответ]
[Ответ]
[Ответ] [Ответ]
[Ответ]
[Ответ]
269.Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на указанном отрезке:
1) |
= 3 |
− 3 , [0; 2]; |
[Решение] [Ответ] |
||||||||
2) |
= 4 |
− 8 2, [1; 3]; |
[Ответ] |
||||||||
3) |
= 5 |
− 3 − 2 + 1, [−2; 0]; |
[Ответ] |
||||||||
4) |
= − √ |
|
|
|
, [0; 1]; |
[Ответ] |
|||||
|
|||||||||||
5) |
= − ln , [ ; ]; |
[Ответ] |
|||||||||
|
|
|
1 |
|
|
||||||
6) |
= ( 2 |
+ 3 + 3) − , [−4; 0]; |
[Ответ] |
||||||||
7) |
= 2 3 |
+ 3 2 − 12 + 1, [−1; 5]; |
[Ответ] |
||||||||
8) |
= + √3 |
|
|
, [−1; 1]; |
[Ответ] |
||||||
|
|||||||||||
9) |
= 2 − √ |
|
, [0; 4]; |
[Ответ] |
|||||||
|
Часть II. Задачи
Глава 3. Теория дифференцирования 3.4. Исследование функции с помощью производной
Меню
10)= 2 − 4 + 1, [−3; 3];
11)= tg − , [− 4 ; 4 ];
12)= 4 − 8 2 + 3, [−2; 2].
270. Найдите асимптоты графиков функций:
3
1)= ( + 1)2 ;
2)= 2 2 − 9;
− 1
4
3)= 3 − 1;
4)= − 1 ;
√
5)= 2 − + 1;
6)= arctg ;
2
7)= √ ;
2 − 1
8)= 2− 1;
9)= arctg ;
10)= 2 − 1; 3
11)= ln( − 1);
12)= 2 + 1;
2 − 4
Назад Вперёд
[Ответ] [Ответ] [Ответ]
[Решение] [Ответ] [Ответ] [Ответ] [Ответ] [Ответ] [Ответ] [Ответ]
[Ответ] [Ответ] [Ответ] [Ответ] [Ответ]
Часть II. Задачи
Глава 3. Теория дифференцирования 3.4. Исследование функции с помощью производной
Меню |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Назад Вперёд |
13) |
= |
|
|
3 2 |
|
|
; |
|
|
|
[Ответ] |
|
2 + 5 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
14) |
= |
|
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
[Ответ] |
|
− 3 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
271. |
Проведите полное исследование и постройте график функции: |
|||||||||||
1) |
= |
1 |
( 3 + 3 2 |
− 9 + 1); |
[Решение] |
|||||||
|
||||||||||||
4 |
||||||||||||
2) |
= ln( 2 + 4); |
|
|
|||||||||
3) |
= − ; |
|
|
|
|
|
|
|
||||
4) |
= |
( + 1)2 |
; |
|
|
|||||||
|
|
− 3 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
25 |
|
|
||||||
5) |
= 4 2 + |
|
|
|
; |
|
||||||
|
|
− 1 |
|
|||||||||
6) |
= ln ; |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
7) |
= 3 − 3 2; |
|
|
|||||||||
8) |
= 2 + |
2 |
; |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
9) |
= |
|
|
3 |
|
; |
|
|
|
|
||
|
3 − 2 |
|
|
|
|
|||||||
10) |
= ln( 2 + 2 + 2); |
|
||||||||||
11) |
= |
|
2 − 1 |
|
; |
|
|
|||||
( − 1)2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||
12) |
= − ln( 2 |
− 4 + 5); |
|
|||||||||
13) |
= |
1 |
|
|
|
; |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1 − 2 |
|
|
|
|
Часть II. Задачи
Глава 3. Теория дифференцирования 3.4. Исследование функции с помощью производной
Меню |
Назад Вперёд |
1
14) = 1 − √1 − ;
√
15) = 3 3 2 + 2 ;
16) = 15( 3 − 6 2 + 25);
2
17) = 2 + + 1; 18) = + 1 ;
19) = 2 − 1; 20) = 2 − 2 ; 21) = 2−−14.
272.Предприятие производит единиц продукции в месяц, а суммарные издержки производства составляют = ( ). Зависимость между удельной ценой и количеством единиц продукции , которое можно продать по этой цене, описывается формулой = ( ). Рассчитайте, при каких условиях прибыль будем максимальной, найдите эту прибыль.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
( ) = |
|
+ 15 + 800, ( ) = 50 |
− |
|
; |
[Решение] [Ответ] |
||
50 |
10 |
||||||||
2) |
( ) = 2 − 2 + 3, ( ) = 20; |
|
|
|
|
|
[Ответ] |
||
3) |
( ) = 10 ln( + 5), ( ) = 10; |
|
|
|
|
|
[Ответ] |
||
4) |
( ) = 10 ln( + 1) − 5, ( ) = 4 + |
|
1 |
|
, — целое. |
[Ответ] |
|||
|
|
||||||||
+ |
1 |
Часть II. Задачи
Глава 3. Теория дифференцирования 3.4. Исследование функции с помощью производной
Меню |
Назад Вперёд |
273.Завод отстоит от железной дороги, идущей с юга на север и проходящей через город на км (считается по кратчайшему расстоянию). Под каким углом к железной дороге следует построить подъездной путь, чтобы транспортировка грузов из в была наиболее экономич-
ной, если стоимость провоза 1 т груза на расстояние 1 км составляет по подъездному пути ден. ед., по железной дороге ден. ед. и городрасположен на км севернее завода ? Какова стоимость транспортировки в этом случае?
1) |
= 8, = 4, = 2, = 15; |
[Решение] [Ответ] |
||
2) |
= 6, = 8, = 4, = 17; |
[Ответ] |
||
3) |
= 7, = 10, = 8, = 18; |
[Ответ] |
||
4) |
√ |
|
|
[Ответ] |
= 8, = 5, = 5 3, = 16. |
274.Капитал в 1 млрд. рублей может быть размещен в банке под 1% годовых или инвестирован в производство, причем эффективность вло-
жения ожидается в размере 2%, а издержки задаются квадратичной зависимостью с коэффициентом . Кроме того, прибыль при вложении
средств в производство облагается налогом в 3%. Сколько денег следует вложить в производство и сколько в банк, чтобы максимизировать прибыль?
1) |
1 |
= 50, 2 |
= 100, 3 |
= 10, = 3; |
[Решение] [Ответ] |
2) |
1 |
= 40, 2 |
= 150, 3 |
= 20, = 2; |
[Ответ] |
3) |
1 |
= 60, 2 |
= 200, 3 |
= 10, = 1; |
[Ответ] |
4) |
1 |
= 30, 2 |
= 100, 3 |
= 5, = 0, 5. |
[Ответ] |
Часть II. Задачи
Глава 3. Теория дифференцирования 3.4. Исследование функции с помощью производной
Меню |
Назад Вперёд |
275.Функция издержек производства имеет вид: ( ) = 100 + 3 + 2, где— количество товара. Цена за единицу товара составляет 20 денежных единиц. Найти функцию прибыли и функцию предельной прибыли. Вычислить и объяснить экономический смысл ′(30), а также вычислить и объяснить смысл величины (31) − (30).
276. Функция предельных издержек имеет вид:( ) = 60 − 0, 04 + 0, 003 2, где — количество единиц продукции. Найти: а) функцию полных издержек, если издержки производства 100 единиц продукции составляют 7000 денежных единиц в месяц; б) фиксированные издержки; в) издержки производства 250 единиц продукции; г) максимальное значение прибыли, если продукция продается по цене 65, 5 денежных единиц.
277.Функция средних издержек имеет вид: ( ) = 120 + , где — количество единиц продукции. Найти: а) функцию полных издержек; б) издержки производства 100 единиц продукции; в) максимальное значение прибыли, если продукция продается по цене 250 денежных единиц.
278.Пусть спрос на некоторый товар зависит от цены следующим образом
( ) = 250002 − 15 . Найти: а) скорость изменения спроса, при цене 10 денежных единиц и 25 денежных единиц; б) эластичность спроса относительно указанных цен. Сделать вывод. При каком значении цены спрос будет эластичным?
279.Пусть зависимость издержек производства от объема выпускаемой продукции выражается формулой ( ) = 40 − 0, 03 3. Определить средние и предельные издержки при объёме продукции = 15 ден.ед. Объяснить экономический смысл полученных величин.
Часть II. Задачи
Глава 3. Теория дифференцирования 3.4. Исследование функции с помощью производной
Меню Назад Вперёд
280. |
Для следующих |
функций спроса ( ) |
= 6 − |
и |
предложения |
||||||
|
( ) = + 2, где — цена товара, найти аналитически и графиче- |
||||||||||
|
ски точку рыночного равновесия. Вычислить эластичность спроса и |
||||||||||
|
предложения относительно равновесной цены. Сделать вывод. |
||||||||||
281. |
Найти эластичность спроса по цене и найти значение эластично- |
||||||||||
|
сти при указанных значениях цены |
а) |
( ) = |
3 |
|
, = 10; |
|||||
|
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
8 |
|
|
|
2 +7 |
|
||
|
б) ( ) = 14 |
2 |
|
, = 25. |
|
|
|
|
|
||
|
|
+ 7 − √ |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
282. |
Для следующих |
функций спроса |
= |
−2 + 150 и предложения |
|||||||
|
= 4 +30, где — число единиц товара, найти аналитически и графи- |
чески точку рыночного равновесия. Вычислить эластичность спроса и предложения относительно равновесного объема продаж. Сделать вывод.
283.Уравнение спроса имеет вид = 100 − 10 . Известна функция издержек ( ) = 50 + 3 , где — цена товара, а — число единиц товара. Найти максимальное значение прибыли. При какой цене прибыль будет максимальной?
284.Функция предельных издержек имеет вид: ( ) = 50+0, 02 , где — количество единиц продукции. Найти: а) функцию полных издержек, если фиксированные издержки составляют 25 000 денежных единиц в месяц; б) максимальное значение прибыли, если продукция продается по цене 75 денежных единиц.
285.Функция издержек производства некоторой продукции определяется формулой ( ) = 3 + 15 − 6 2. Найти функцию предельных издержек, функцию средних издержек и функцию скорости изменения средних издержек. При каком объеме производства средние издержки минимальны?
Часть II. Задачи
Глава 3. Теория дифференцирования 3.4. Исследование функции с помощью производной
Меню |
|
|
|
Назад Вперёд |
286. Функция средних издержек имеет вид: ( ) = |
320000 |
+ |
8000 |
+ 0, 5, где |
2 |
|
— количество единиц продукции. Найти: а) функцию полных издержек; б) функцию предельных издержек. При каком объеме производства полные издержки минимальны?
287.Уравнение спроса имеет вид ( ) = 100√4 − . Найти эластичность спроса и выяснить, как повлияет увеличение цены на выручку, если спрос составит а) 150 единиц, б) 50 единиц.
288. Издержки производства некоторой продукции имеют вид( ) = 150 + 10 + 0, 01 2. Цена на товар составляет 36 ден.ед. Найти функцию предельной прибыли и ее значение в точке = 15 ден.ед. Объяснить экономический смысл ′(15), а также вычислить и объяснить смысл величины (16) − (15).
289.Функция издержек производства некоторой продукции определяется формулой ( ) = 2000 + 100 + 0, 1 2. Найти функцию предельных издержек, функцию средних издержек и функцию скорости изменения средних издержек. При каком объеме производства скорость изменения средних издержек равна нулю?
290.Функция совокупных издержек монополии и уравнение спроса на этот
товар имеют вид ( ) = 400+30 + 2; = −13 2−3 +50, где — цена товара, а — число единиц товара. При каком объеме производства достигается максимальное значение прибыли?
291.Для следующих функций спроса найти эластичность и найти значение эластичности при указанных значениях цены а) ( ) = 3+7 , = 21;
, = 17.
+7 3
292.Функция издержек производства некоторой продукции определяется формулой ( ) = 1000+2 +0, 04 2. Найти фиксированные издержки,
Часть II. Задачи
Глава 3. Теория дифференцирования 3.4. Исследование функции с помощью производной
Меню |
Назад Вперёд |
функцию предельных издержек, функцию средних издержек и функцию скорости изменения средних издержек. При каком объеме производства средние издержки минимальны?
293. Функция совокупных издержек монополии и уравнение спроса на этот товар имеют вид ( ) = 900 + 40 + 5 2; = −2 2 − 4 + 280, где — цена товара, а — число единиц товара. При каком объеме производства достигается максимальное значение прибыли?
294. Функция издержек производства некоторой продукции определяется формулой ( ) = 96 − 2 2 + 3. При каком объеме производства предельные и средние издержки совпадают? Найти эластичность полных и средних издержек при этом объеме.
295. Функция предельной прибыли имеет вид: ( ) = 25−0, 004 , где — количество единиц продукции. Прибыль предприятия составляет 35, 8 тысяч денежных единиц, если продано 1 200 изделий. Найти функцию прибыли. При каком значении прибыль будет максимальной?
296. Пусть зависимость издержек производства от объёма выпускаемой продукции выражается формулой ( ) = 15 − 6 3. Определить средние и предельные издержки при объёме продукции = 15 ден.ед.
297. Пусть производственная функция задается следующей эмпирической
√
формулой: ( ) = 300 − 4 , где — численность персонала. Вычислить предельную производительность при = 1; = 9; = 100;= 2500; = 225 000. Сделать вывод, как изменяется предельная производительность с ростом численности персонала.
298.Пусть зависимость между себестоимостью продукции и объёмом производства задается формулой ( ) = 50 − 0, 4 . Определить эластичность себестоимости при выпуске продукции а) = 15 единиц и б) = 150 единиц. Сделать вывод.
Часть II. Задачи
Глава 3. Теория дифференцирования 3.4. Исследование функции с помощью производной
Меню Назад Вперёд
299. Издержки производства некоторой продукции имеют вид( ) = 100+3 2. Цена на товар изменяется по закону: ( ) = 400− 25 . Определить, при каком объеме производства прибыль будет максимальной.
300.Функция предельных издержек имеет вид: ( ) = 30 0,001 2 , где — количество единиц продукции. Найти: а) функцию полных издержек, если фиксированные издержки составляют 20 000 денежных единиц в месяц; б) функцию средних издержек; при каком объеме производства средние издержки будут минимальны?
301.Для следующих функций спроса найти эластичность и найти значение эластичности при указанных значениях цены а) ( ) = 154 − 2+13 ,
= 7; б) ( ) = 3 + 7 − 3, = 4.