- •Введение
- •Глава 1. Случайные события
- •§ 1. Случайные события
- •§ 2. Действия над событиями
- •§ 3. Элементарные события. Алгебра случайных событий
- •§ 4. Вероятность события
- •§ 5. Некоторые следствия из аксиом вероятности
- •§ 6. Классическое определение вероятности
- •§ 7. Условная вероятность. Независимость событий
- •§ 8. Формула полной вероятности. Формула Байеса
- •Глава 2. Случайные величины
- •§ 1. Понятие случайной величины
- •§ 2. Закон распределения дискретной случайной величины
- •§ 3. Числовые характеристики дискретных случайных величин
- •3.1. Математическое ожидание дискретной случайной величины
- •3.2. Совместное распределение двух дискретных случайных величин. Некоторые арифметические операции над дискретными случайными величинами
- •3.3. Свойства математического ожидания
- •3.4. Дисперсия случайной величины и ее свойства. Среднеквадратическое отклонение
- •3.5. Мода и медиана дискретной случайной величины
- •3.6. Корреляционный момент. Коэффициент корреляции
- •3.7. Моменты дискретных случайных величин
- •3.8. Функция распределения
- •§ 4. Непрерывные случайные величины
- •4.1. Плотность распределения, функция распределения непрерывной случайной величины
- •4.2. Характеристики непрерывных случайных величин
- •§ 5. Некоторые специальные виды распределений
- •5.1. Гипергеометрическое распределение
- •5.2. Биномиальное распределение
- •5.3. Закон Пуассона
- •5.4. Равномерное распределение
- •5.5. Нормальное распределение
- •5.6. Некоторые важные статистические распределения
- •§ 6. Некоторые предельные теоремы теории вероятностей
- •6.1. Неравенство Чебышева
- •6.2. Закон больших чисел
- •6.3. Центральная предельная теорема. Интегральная и локальная теоремы Мувра-Лапласа
- •Приложение 1 Комбинаторика
3.2. Совместное распределение двух дискретных случайных величин. Некоторые арифметические операции над дискретными случайными величинами
Заданы законы распределения двух случайных величин:
| ||||||||||
|
|
|
Их суммойназывается случайная величина , значениями которой являются все возможные суммы . Определяются вероятности:
.
Произведениемэтих случайных величин является случайная величина , значениями которой являются все возможные произведения .
Определяются вероятности:
.
Событие состоит в том, что одновременно случайная величина принимает значение , а случайная величина - значение . Обозначим эту вероятность
.
Набор точек вместе с вероятностями образует совместное распределение случайных величин и .
Все пары должны быть учтены. Поэтому
.
Зная совместное распределение дискретных случайных величин и , можно восстановить закон распределения и .
Так как , то
.
Так как , то
.
Совместное распределение двух дискретных случайных величин удобно записывать с помощью таблицы
| |||||||
|
|
Две дискретные случайные величины называются независимыми, если события и при всех и независимы.
При независимости случайных величин и выполняются равенства:
, ; .
Пример 1. Задано совместное распределение случайных величин и .
2 |
3 | |||
1 |
0,1 |
0,15 |
0,05 |
0,3 |
2 |
0,2 |
0,1 |
0,1 |
0,4 |
4 |
0,2 |
0,05 |
0,05 |
0,3 |
0,5 |
0,3 |
0,2 |
|
Найти закон распределения случайных величин и .
Записать закон распределения случайных величин и и проверить их зависимость.
1) Найдем , где и , под ними подпишем соответствующие вероятности :
|
|
|
|
|
|
| |||
0,1 |
0,15 |
0,05 |
0,2 |
0,1 |
0,1 |
0,2 |
0,05 |
0,05 |
При сложении получаются и равные суммы. Тогда
.
.
.
.
Закон распределения случайной величины :
0 |
1 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 | |
|
0,1 |
0,2 |
0,35 |
0,15 |
0,1 |
0,05 |
0,05 |
Если бы нам нужно было найти только МХ, нам бы достаточно было воспользоваться предыдущей таблицей .
Найдем произведения , где , под ними подпишем вероятности :
0,1 |
0,15 |
0,05 |
0,2 |
0,1 |
0,1 |
0,2 |
0,05 |
0,05 |
Одинаковых значений при вычислении произведений нет. Запишем закон распределения случайной величины :
2 |
3 |
4 |
6 |
8 |
12 | ||||
|
0,2 |
0,2 |
0,1 |
0,15 |
0,05 |
0,1 |
0,1 |
0,05 |
0,05 |
2) Найдем вероятности принятия значений 1, 2, 4 случайной величиной :
.
Закон распределения случайной величины :
1 |
2 |
4 | |
0,3 |
0,4 |
0,3 |
Суммирование по столбцам дает нам вероятности принятия значений , 2, 3 случайной величиной :
.
Закон распределения случайной величины :
2 |
3 | ||
0,5 |
0,3 |
0,2 |
Проверим равенства :
;
.
Тогда случайные величины и зависимые. Если бы , то мы перешли бы к проверке оставшихся равенств.