1. МЕХАНИКА

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Тюменский Государственный Нефтегазовый Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Metodichka_P_1.pdf

Скачиваний:

936

Добавлен:

17.02.2016

Размер:

1.37 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

М = 61,300 г

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1 1

ИЗМЕРЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ РАЗМЕРОВ И ОБЪЕМА ТЕЛА ПРАВИЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЫ

Цель работы: измерение линейных размеров тела, определение его объема, обработка результатов и оценка погрешностей измерений.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Измерение линейных размеров тел производится штангенциркулем и микрометром. Основная часть штангенциркуля – это масштабная линейка с миллиметровыми делениями. Для отсчета десятых и сотых долей миллиметра линейка снабжена нониусом. Нониус это небольшая линейка со шкалой, способная свободно перемещаться по масштабной линейке (рис.1). Количество делений нониуса показывает, на сколько частей разделено одно деление основной шкалы (масштаба). В нашем примере одно деление масштаба разделено на пять частей (делений). Следовательно, цена деления нониуса 1 мм : 5 = 0,2 мм. Продемонстрируем применение штангенциркуля для измерения диаметра цилиндра (рис.1).

0	1	2	3	4	5	6	7	8	масштаб

		0	1 2 3 4			5	0,2 мм		нониус

Рис.1

Если цена деления масштаба а, а цена деления нониуса b, то диаметр

цилиндра определяется по формуле:

D = n a + m b,

(1)

где n целое число делений масштаба, лежащих левее нулевой риски

нониуса; m число делений нониуса, которое определяется по лучшему совпадению деления нониуса с делением основной шкалы. Для случая, указанного на рис. 1, а = 1 мм, b = 0,2 мм, n =1, m =3. С учетом этого, измеряемый диаметр цилиндра D = 1 1 мм + 3 0,2 мм = 1,6 мм.

Микрометры применяют для более точных измерений линейных размеров тел. При этом измеряемое тело помещается между стержнями 1 и 5 (рис.2). Основная шкала микрометра имеет цену деления 0,5 мм. Это есть расстояние между соседними нижними и верхними штрихами. Полный оборот барабана 2 перемещает стержень 1 на 0,5 мм. Так как на барабан нанесено 50 делений, то цена деления барабана (нониуса) равна 0,01мм.

5 1

3	2	4
Рис. 2

Измеренное значение также находится по формуле (1), где а=0,5 мм; n-число нижних и верхних штрихов основной шкалы, не закрытых барабаном (нулевой штрих не считается); b=0,01мм; m - номер штриха на барабане, который совпадает с осевой линией основной шкалы (или наиболее близок к ней). Чтобы не деформировать измеряемое тело и не испортить микрометр, вращать барабан 2 надо с помощью головки 4, которая связана с "трещоткой".

Если шкала микрометра сбита, т.е. при соприкосновении стержня 1 со стержнем 5 показание микрометра отличается от нуля, то все результаты измерений надо поправить на это значение.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ И ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

В настоящей работе предлагается определить объем сплошного цилиндра с помощью штангенциркуля или микрометра. Для этого:

1.Измеряется диаметр D и высота h цилиндра не менее пяти раз,

2.Определяется среднее арифметическое значений <D>, <h>, а затем по

формуле	V	D	2
формуле	V	4	h находится объем цилиндра.
		4

3. Считая, что измерения D и h производятся достаточно точными приборами (штангенциркуль, микрометр), обработку результатов измерений необходимо провести статистическим методом, используя формулу Стьюдента для нахождения случайной погрешности (см. образец отчёта на стр.129).

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Как производятся измерения штангенциркулем и микрометром?

2.Как находятся результаты измерений прямых и косвенных величин?

3.Как производится оценка погрешностей прямых и косвенных величин?

4.Как записывается окончательный результат?

		ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1-2
ИССЛЕДОВАНИЕ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО ПОСТУПАТЕЛЬНОГО
ДВИЖЕНИЯ В ПОЛЕ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ НА МАШИНЕ АТВУДА
	Цель работы: экспериментальное исследование законов кинематики
и динамики поступательного движения.
				ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
	Основные законы кинематики и динамики могут							быть проверены
опытным путем на машине Атвуда (см. рис.1).
		8			На	вертикальной			штанге	с
		8		измерительной			шкалой	1	закреплены
		7		кронштейны: 2 с нанесенной меткой 7; 3 с
		7		кронштейны: 2 с нанесенной меткой 7; 3 с
				кольцом 5 и фотоэлектрическим датчиком 6; 4
		2		с резиновыми платформами 9 и
		2		фотоэлектрическим датчиком. В основании
		11		находится		милисекундомер		со	светящимся
		5		находится		милисекундомер		со	светящимся
3		5		табло	10 и	кнопками управления				"сеть",
3		6		"пуск", "сброс". Через блок перекинута нить с
12	1	6		"пуск", "сброс". Через блок перекинута нить с
12	1			прикрепленными к ней грузами 12 одинаковой
10	9			массы М. Кольцо 5 предназначено для снятия
		4		перегрузка 11 массой m, под действием
				которого грузы приходят в движение.
	00.000				В исходном состоянии, когда левый груз
	00.000			находится внизу, а правый груз с перегрузком
				находится внизу, а правый груз с перегрузком
				- вверху (например, на уровне метки 7),
	Рис. 1			система грузов удерживается в покое с
	Рис. 1			помощью			фрикционной		муфты,
				затормаживающей блок 8. Положение грузов
				определяется по миллиметровой шкале,
				нанесенной на колонне.
	При нажатии на секундомере клавиши “пуск” блок 8
растормаживается и система грузов, при наличии перегрузка, приходит в
равноускоренное движение, описывающееся следующими уравнениями:
			L	at02 ,	=at0,		a =const,			(1)
				2
где a - ускорение грузов,			t0 - время прохождения грузами расстояния L от
начала движения до снятия перегрузка, - скорость грузов в конце пути L.
	При прохождении первым грузом сквозь кольцо-съемник 5
перегрузок будет снят, поэтому дальнейший путь S (при отсутствии
трения) грузы будут проходить равномерно со скоростью, приобретенной
к концу пути L. Это движение описывается уравнениями

S = t, = const, a = 0, (2)

где t - время равномерного движения грузов.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ И ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

Упражнение 1. Изучение равномерного поступательного движения.

Начиная с того момента, когда перегрузок "m" снимается кольцом 5, грузы движутся равномерно (a =0). В этом случае должно выполняться условие

S1	S2	Sn	υ const ,	(3)
t1	t2
		tn

где S1, S2, ..., Sn, t1, t2, ..., tn – пройденные грузами пути и времена их движения в различных опытах.

Для проверки этого соотношения необходимо:

1.На легкий блок 8 накинуть нить с привязанными к ней грузами массой М и убедиться, что система находится в состоянии устойчивого равновесия.

2.Установить между кронштейнами 3 и 4 расстояние 33 см.

3.Включить установку в сеть.

4.Поставить левый груз на подставку 9 и включить электромагнит 6, нажав последовательно кнопки "сброс" и "пуск". Электромагнит будет удерживать систему грузов в неподвижном состоянии.

5.На правый груз положить один из перегрузков массой "m" (в наборе m = 6 г; 8 г; 10 г).

6.Нажать клавишу "пуск" еще раз. Система грузов придет в равноускоренное движение. Правый груз, проходя через кольцо, оставит на нем перегрузок “m”, при этом автоматически включится милисекундомер, который измерит время равномерного движения грузов массой М от кронштейна 3 до кронштейна 4. Записать показания милисекундомера в таблицу 1. Нажать кнопку "сброс".

7.Установить расстояние S =31 см, переместив кронштейн 4 на 1 см вверх, а кронштейн 3 на 1 см вниз. В этом случае сохраняется неизменным путь “разгона” грузов L, на котором съемный перегрузок ускоряет всю систему грузов. Повторить пункты 4, 5, 6 этого упражнения.

8.Эксперимент провести для пяти разных расстояний S, которые изменяются перемещением кронштейна 3 на 1 см вниз, а кронштейна 4 – на 1 см вверх.

По данным эксперимента проверить соотношение (3) и сделать соответствующий вывод.

Упражнение 2. Проверка зависимости пройденного пути от времени при равноускоренном движении без начальной скорости.

Для одного и того же несъемного перегрузка массой m, а значит, и ускорения a, необходимо определить время движения грузов t для различных расстояний S и, в конечном итоге, проверить соотношение

a	2 S1	2 S2	2 S5	(4)
	t12	t22	t52

Для этого кронштейн 4 установить на "0" шкалы, а кронштейн 3, например, на 44 см (не выше).

Левый груз массой М стоит на подставке 9, а правый с несъемным перегрузком m висит над окошечком фотоэлектрического датчика.

Расстояние между кронштейнами 3 и 4 изменять так же, как в упр. 1. Измерить время и путь равноускоренного движения грузов. Экспериментальные данные и результаты расчетов занести в таблицу 2.

						Таблица 2
№	1	2	3	4	5
п/п						М = 61,300 г
S, см	44	42	40	38	36	m =
t, с						m =
t2, c2
a, м/с2

По данным эксперимента проверить соотношение (4) и сделать соответствующий вывод.

Упражнение 3. Проверка 2-го закона Ньютона.

Для проверки этого закона нужно сделать так, чтобы движущаяся масса грузов оставалась постоянной, а величина действующей на грузы силы изменялась.

Пусть два перегрузка массой m=m1+m2 находятся на правом грузе, и система грузов движется с ускорением а1. В соответствии со 2 -м законом Ньютона для правого груза имеем

(М + m1 + m2) g FH1 = (М + m1 + m2) а1,	(5)
а для левого груза получим, что
FH2 М g = М а1.	(6)

Здесь FН1 и FH2 – силы натяжения, действующие на правый и левый грузы соответственно. В используемой установке блок 8 легкий. Поэтому можно

считать, что FН1 = FH2. С учетом этого из (5) и (6) получим, что
(m1 + m2) g = (2М + m1 + m2) а1.	(7а)

Переложим перегрузок m2 на левый груз (m1 > m2), а m1 оставим на правом грузе. Тогда, если система грузов движется с ускорением а2, имеем

(m1 – m2) g = (2М + m1 + m2) а2..

(7б)

Решая совместно уравнения (7а) и (7б) получим, что

(8)

При S1 = S2

отношение

t22

и в конечном итоге

m1 m2

t22

(9)

m1 m2

t12

Для проверки соотношения (9) необходимо:

1.Установить расстояние между кронштейнами 3 и 4, например, S = 36

см (в эксперименте S = const) и, нагрузив правый груз перегрузками m1 и m2, нажать кнопку “пуск”. Снять показания милисекундомера. Повторить эксперимент 5 раз.

2.Переложить перегрузок m2 (m1 > m2) на левый груз и повторить те же измерения, что и в первом пункте. Данные занести в таблицу 3.

							Таблица 3
№п/п		m1 + m2			m1 m2			m1=
	t, с		t2, с2	t, с		t2, с2		m1=
1								m2=
.								m2=
5						<t2> =, с2		S=
			<t2> =, с2			<t2> =, с2		S=

По данным эксперимента проверить равенство (9) и сделать вывод.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Какое движение называется поступательным?

2.Привести примеры тел, движущихся поступательно.

3.Назвать основные кинематические параметры поступательного движения и раскрыть их физический смысл (a, , S).

4.Как определить скорость и ускорение поступательного движения, если закон движения задан в явном виде? Например, S = А + 2 В t2+3 С t3.

5.Сформулировать законы Ньютона и записать их в векторной и скалярной форме.

6.Как создается равномерное и ускоренное движение системы грузов в данной работе?

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1-3

ИЗУЧЕНИЕ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА НА МАЯТНИКЕ ОБЕРБЕКА

Цель работы: экспериментальная проверка основного уравнения динамики вращательного движения. Определение момента инерции маятника.

					ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
m0					Маятник Обербека состоит из четырех
					стержней и двух шкивов различного диаметра
			О		D, укрепленных на одной горизонтальной оси О
R			О		(см. рис.1). По стержням могут перемещаться и
				D	(см. рис.1). По стержням могут перемещаться и
				D	закрепляться в нужном положении четыре (по
					закрепляться в нужном положении четыре (по
					одному на каждом стержне) груза одинаковой
					массы m0. При помощи грузов различной массы
					m, прикрепляемых к концу намотанной на тот
		Fн			или иной шкив нити, маятник приводится во
					вращение. Пройденный грузом путь h
			m		вращение. Пройденный грузом путь h
			m		отмечается по вертикальной шкале, а время его
		m g			движения измеряется секундомером.
		m g			Маятник позволяет проверить основной
	Рис. 1				закон динамики вращательного движения
					M I ε,	(1)
где		угловое			ускорение, I момент инерции маятника,	M

результирующий момент всех сил, действующих на маятник. Направление

векторов и M совпадает,	поэтому равенство (1) в скалярной форме
будет иметь вид M I ε.
Угловое ускорение блока (а, следовательно, и всего маятника)
выражается через ускорение груза a и радиус шкива r по формуле
ε a			2 a		.		(2)

r			D
Линейное ускорение груза a можно вычислить, измерив время
движения груза t и пройденный им путь h:
a		2 h		.			(3)

			t2
С учетом этого формула для углового ускорения примет вид
ε		4 h				.	(4)

	D t2
В общем случае момент сил, действующих на маятник, складывается
из момента силы натяжения нити Mн и момента силы трения Мтр. Если							Fтр

=0, то в соответствии со вторым законом Ньютона для груза массы m имеем

Fн = m (g a).

Вращательный момент этой силы

Mн Fн	D	m (g a)	D	m (g	2 h	)	D .	(5)
	2		2
					t2		2

Вычислив значения и Mн для разных грузов m по формулам (4) и

(5) и построив график зависимости = f(Mн), можно убедиться в правильности основного закона динамики вращательного движения (1) и определить момент инерции маятника I.

В реальных опытах момент сил трения, возникающий прежде всего из-за трения оси в подшипниках, а также из-за трения стержней с грузами о воздух, может оказаться заметным. В первом приближении полагается Мтр постоянным. В этом случае линейный характер зависимости от Мн не нарушается

Мн	Мтр	М	н	Мтр	,
I		I		I

т.к. второе слагаемое константа. На графике момент сил трения Мтр будет равен отрезку, отсекаемому прямой на оси Мн (рис. 2).

График зависимости = f(Mн) позволяет

определить момент инерции маятника по

угловому коэффициенту прямой:

Iэксп

Mн

Mн2 Mн1

(6)

ε2 ε1

Определенный по (6) момент инерции

маятника Обербека можно сравнить с

Мтр Мн1 Мн2

Мн

теоретическим,

вычисленным

по

формуле

Рис. 2

(7)

теор

ст

где в скобках первое слагаемое равно моменту инерции стержня, а второемоменту инерции тела массы m0, которое рассматривается как материальная точка, т.к. его размеры малы по сравнению с расстоянием R от оси вращения до центра тела массы m0; mст, Lст - масса и длина стержня соответственно.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ И ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

Работу можно выполнить по одному из двух вариантов на выбор:

а) на шкивах различных диаметров D1 и D 2 при заданном положении грузов R;

б) при двух разных положениях грузов R 1, R 2 и заданном диаметре шкива.

1.Закрепить грузы m0 на стержнях крестовины (рис.1) на выбранном расстоянии R от оси вращения и проверить безразличность равновесия маятника (при повороте маятника на любой угол он остается неподвижным).

2.На один из шкивов намотать нить. Прикрепить к ее свободному концу груз массой m. Измерить три раза время опускания каждого из пяти различных грузов. Массы грузов указаны на самих грузах.

3.Результаты измерений занести в таблицу 1. Сюда же занести числовые

значения параметров h, Lст, mст, R, D, m0. При этом значения величин mст и m0 указаны на установке; величины h, Lст и R измерить линейкой, а D штангенциркулем.

Таблица

N			t , c	t	, с	t	, с	<t>, с	М , Нּм	2
оп.	D, м	m, кг	t , c	t	, с	t	, с	<t>, с	М , Нּм	2	h =
			1	2		3			н	, с	Lст =
1											Lст =
2											D =
											mст =
3											mст =
											m0 =
4											m0 =
5

4.Для каждого груза вычислить среднее время его опускания и по

формулам (4) и (5) найти и Mн. Результаты этих расчетов занести в таблицу 1.

5.Построить график зависимости от Мн. Сделать вывод о выполнимости основного закона динамики вращательного движения. Оценить по графику момент сил трения Mтр.

6.Вычислить момент инерции маятника Обербека по формулам (6) и (7). Сравнить результаты между собой. Сделать вывод.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Какие параметры измеряются в данной работе?

2.Какая теоретическая зависимость проверяется? Какой вид имеет график этой зависимости?

3.Укажите на примере используемой установки взаимные расположения векторов , , Fн , M н , Мтр и дайте их определения.

4.Выведите формулы (4), (5) и (7).

5.Сформулируйте определение и физический смысл момента инерции.

6.Сформулируйте теорему Штейнера.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1-4-1

ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА И ЭНЕРГИИ ПРИ УДАРЕ

Цель работы: проверить выполнение закона сохранения импульса и определить потери механической энергии на примере соударения подвешенных шаров различной массы.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрим результат соударения двух стальных шаров, подвешенных на нитях, с одинаковым расстоянием L от точки подвеса до центра масс шаров.

Если отклонить шар массой

m1 на угол 0 и отпустить, то он,

ударившись упруго о неподвижный

шар массой m2, передаст ему часть

своей энергии и импульса (рис. 1).

После удара шары отклонятся от

вертикали

соответственно на

углы

1 и

2, а их центры масс

поднимутся на высоты h1 и h2 по

отношению к линии удара. При

этом кинетическая энергия каждого

шара,

приобретенная

им

после

удара,

перейдет

его

потенциальную энергию.

Из

закона

сохранения

механической энергии следует (см.

Рис.1

рис.1):

m	U12	m gh	m gL 1 cos		2m gLsin2	(		2)		,	(1)
1	2	1 1	1	1	1		1			,	(1)
m2	U22	m2gh2	m2gL 1 cos 2 2m2gLsin2 ( 2						2) ,		(2)
	2

где U1 и U2 скорости шаров непосредственно после удара.

В соответствии с законом сохранения импульса, при условии, что

m1 > m2, в проекции на ось Х имеем:
m1V1 = m1U1	+ m2U2 .	(3)
Откуда следует, что
U2 = m1/m2 (V1	- U1),	(4)

где V1 скорость 1-го шара в момент удара.

При малых углах отклонениях ( < 10 ) можно воспользоваться приближением sin . С учетом этого, из конечных выражений (1) и (2) следует, что

U1 2	g L sin(α1	2)	g L α1 ,	(5)
U2 2	g L sin(α2	2)	g L α2 .	(6)

Скорость V1 определяется аналогичным образом:

V1 2

g L sin(α0

g L α0 .

(7)

После подстановки в уравнение (4) выражений для скоростей V1, U1, U2 , получим взаимосвязь между углами отклонения:

2 = m1/m2 ( 0 1),

(8)

где углы 0, 1 и 2 могут быть выражены как в радианах, так и в градусах.

Реальные материалы сталь, керамика, резина и др., не являются, строго говоря, абсолютно упругими. Это означает, что при столкновении двух шаров в проводимых опытах закон сохранения механической энергии не выполняется: часть механической энергии переходит во внутреннюю энергию деформируемых тел (тела при этом нагреваются). С учетом этого, закон сохранения полной энергии системы шаров запишем в виде:

											m		V2	m		U2	m		U2	(9)
												1	1		1	1		2	2 Q ,	(9)
	m		V2				m			U2			2			2			2
где	m		V2				m			U2	кинетические энергии первого шара до и после
где		1	2		1	,		1	2	1	кинетические энергии первого шара до и после
			2			U2			2
удара;		m				U2	кинетическая энергия										второго шара после удара;			Q
удара;				2	2	2	кинетическая энергия										второго шара после удара;			Q
					2

энергия, которая перешла во внутреннюю энергию этих шаров после удара.

После несложных преобразований получим, что

m	1	V 2 m	1	U 2	m	1		V m	1	U	1		V		U	1	m	2	U 2	2 Q . (10)
	1	1	1	1		1		1	1		1			1		1		2	2
Заменяя выражение в первой скобке ее значением m2 U2 согласно (3), в
окончательном варианте имеем:
					V1 + U1 = U2 + 2 Q/(m2 U2).															(11)
		Безразмерную величину
							U2 U1		1					2 Q						(12)
								V	1			m	2	V U			2			(12)
								V				m		V U
								1							1

называют коэффициентом восстановления скорости. Он характеризует меру упругости тел при их взаимодействии.

При абсолютно упругом ударе Q = 0 и К = 1. При абсолютно неупругом ударе оба тела движутся после удара вместе с одной и той же скоростью V = U1 = U2. В этом случае, как видно из (12), К=0. При этом величина потерь механической энергии, при фиксированных значениях m1, m2 и V1, максимальна: Q = m2 V1 U2/2.

Из формул (12), (5) (7) получим, что
2 1 = К 0.	(13)

Отсюда следует, что если закон сохранения импульса верен и в случае потери энергии механической системы, то в пределах погрешности эксперимента график зависимости ( 2 1) от 0 должен представлять собой прямую линию. При этом угловой коэффициент наклона полученной прямой линии определяет значение К.

Отметим, что величина

2 Q m	1	V 2	(14)
	1	1

есть ни что иное, как доля потерь механической энергии системы при ударе шаров.

Подставляя Q m1 V12 2 в формулу (12) получим, с учетом (6) и (7), что:

2		m1	0 .	(15)
	1	m2

Отсюда следует, что по угловому коэффициенту наклона				прямой

зависимости 2 от 0 можно определить долю потерь механической энергии при известном значении К. Это, в конечном итоге, с учетом (7) и (14) позволяет рассчитать величину потерь механической энергии системы по формуле:

				Q	m		gLα2δ
						1	0	(16)
							2	(16)
							2
	Для каждого из шаров, в соответствии с законом изменения его
импульса, имеем:				F1 t m1 V1		и F2 t m2 V2 ,
где	t -			F1 t m1 V1		и F2 t m2 V2 ,		(17)
где	t -	время	взаимодействия				(продолжительность удара)	шаров,
V1	V1	U1 и	V2	U2 - соответствующие изменения скоростей шаров
после удара, F1 и			F2	- силы удара шаров.
	После подстановки в (15) соответствующих выражений для
скоростей получим
		F1 t m1		gL(α0 α1 ) и F2 t m2 gLα2 .				(18)

Откуда следует, что сила удара шаров определяется выражениями:

F1 m1 gL(α0 α1 ) t ,	(19)
F2 m2 gLα2 t .	(20)

Данные зависимости служат основой для экспериментальной проверки выполнимости третьего закона Ньютона в случае упругого удара двух шаров: F1 = F2 .

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ И ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

В данной работе используется прибор FРМ-08 для исследования столкновения шаров (рис.2). Конструктивно установка состоит из основания 1, на котором смонтирована стойка 2, несущая стержни с подвесками 3; шаров 4; угольников со шкалами 5; электромагнита 6, величина силового действия которого регулируется винтом 7; миллисекундомера 8.

	9		10
	9
5	2	2	3
5	6		4
	6
	7
	7

Рис.2.

1.Измерить массу каждого шара. Навинтить шары на соответствующие подвесы. С помощью регулировочного винта 9 установить такое расстояние между стержнями 10, чтобы шары соприкасались друг с другом. При этом центры масс шаров установить на одном уровне по черте, указанной на шарах.

2.Измерить длину подвеса шаров L.

3.Закрепить электромагнит под определенным углом от начала шкалы,

задав тем самым начальный угол 0 отклонения 1-го шара (шар большей массы). Включить секундомер в сеть. Клавиша " пуск" должна быть отжата.

4.Отклонить шар к электромагниту, зафиксировав его в состоянии покоя. Замерить угол 0.

5.Освободить шар, нажав клавишу "пуск". После соударения шаров определить максимальные углы отклонения шаров 1 и 2. Записать

показания миллисекундомера t. Аналогичные измерения проделать 3 раза для данного значения угла 0. Результаты измерений занести в таблицу 1.

ВНИМАНИЕ! Для измерения угла 2 используется фишка, которую рекомендуется устанавливать перед проведением измерений на

небольшом расстоянии

от

лезвия

подвеса второго шара.

Угол 1

измеряется визуально.

Таблица 1

m1 =

г; m2 =

г; L =

№ 01 =

град

02 =

град

03 =

град

04 =

град

05 =

град

п/п

град

6.Изменить угол 0 начального отклонения 1-го шара. Повторить последовательность измерений в соответствии с пунктами 3-5. Заполнить соответствующие столбцы таблицы 1.

7.Вычислить средние значения углов< 1>,< 2> и средние значения времени удара шаров < t >. На основе этих средних значений

рассчитать силы F1 и F2 по формулам (19),(20). Сравнить их между собой. Сделать вывод о выполнимости третьего закона Ньютона.

8.Найти среднюю силу удара шаров <F> = (F1 + F2)/2 для каждого значения 0. Результаты расчетов свести в таблицу 2.

		Таблица 2
№ 0, град < 1>, град	< 2>,град < t>, с F1, Н	F2, Н <F>, Н
п/п
1.
2.
3.
4.
5.

9.Построить график зависимости (< 2> < 1>) от 0. Сделать вывод о выполнимости закона сохранения импульса. На основе полученной прямой линии определить значение К в соответствии с формулой (13).

10.Построить график зависимости α2 от α0 . Из углового коэффициента

	α		δ	m1
полученной прямой		2 α0		m2	определить значение δ.
			1 K

11. Рассчитать величину Q в соответствии с формулой (16). Сделать вывод.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Что понимается под ударом? Какой удар называется абсолютно упругим ударом, абсолютно неупругим ударом?

2.Сформулируйте закон изменения и сохранения импульса системы тел.

3.При каких условиях для соударяющихся тел можно применять закон сохранения импульса?

4.Сформулируйте закон сохранения механической энергии системы тел.

5.При каком из ударов происходит потеря механической энергии, как ее рассчитать?

6. Каким образом проверяется выполнимость закона	сохранения
импульса в данной работе?

7.Как экспериментально определяется коэффициент восстановления скорости, доля потерь механической энергии и средняя сила удара?

Рис.1

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1-4-2

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ТРЕНИЯ КАЧЕНИЯ МЕТОДОМ НАКЛОННОГО МАЯТНИКА

Цель работы: измерение коэффициента трения качения для ряда материалов.

		ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
			Трение	качения	возникает
	0		при перекатывании цилиндра или
L			шара по поверхности		твердого
			тела. Оно всегда меньше трения
	n
		h	скольжения, поэтому на практике
			подшипники скольжения заменяют
			шариковыми	или роликовыми

подшипниками качения.

Кулон опытным путем установил, что сила трения качения пропорциональна силе нормального давления,

оказываемого на соприкасающиеся поверхности и обратно пропорциональна радиусу катящегося шара (или цилиндра):

F	μ	k	Fn	,	(1)
k		k	R	,	(1)
			R

где k - коэффициент трения качения (размерность [ k] = м), который не зависит от скорости качения и размеров тела, но зависит от материала, из которого изготовлены взаимодействующие тела и от состояния их поверхностей. Обычно k уменьшается с увеличением твердости материала и чистоты его обработки. В данной работе для определения коэффициента трения качения используется наклонный маятник, состоящий из шарика (рис.1), подвешенного на нити, который движется

по наклонной плоскости, угол наклона которой можно менять. Согласно рис.1 нормальная составляющая силы тяжести шарика Fn =

mgcos . С учетом этого, сила трения качения, согласно (1), дается выражением

Fk μk	mg cosβ,	(2)
	R

где m - масса шарика, R – его радиус, g - ускорение свободного падения. Если отклонить шарик на угол 0 от положения равновесия и отпустить, то, вследствие затухания, после n полных колебаний он отклонится уже на меньший угол угол n (см. рис.1). При этом его потенциальная энергия уменьшится на величину E = mg h (рис.1), где h - изменение высоты

положения центра масс шарика, которое можно выразить через длину подвеса шарика L и угол (L – расстояние от точки подвеса до центра шарика):

h= Lsin = Lsin (cos 0 cos n)

(3)

Убыль потенциальной энергии за n циклов равна работе силы трения качения на пройденном в этом случае шариком пути S ( Е = Атр):

mg Lsinβ FтрS μк	Fn	S	(4)
	R

Двигаясь по дуге окружности колеблющееся тело проходит за одну четверть периода путь S = L . Есть основания предположить, что максимальный угол отклонения убывает со временем в арифметической прогрессии. Поэтому за один период колебаний шарик пройдет путь

S0 = L 0+L 1+L 2+L 3	= 4L	α0 α3 .	(5)
		2

Тогда путь, пройденный за n периодов колебаний, определяется выражением

S 4nL	α0 αn .	(6)
	2

С учетом этого работа сил трения равна:

А	тр	μ	к	mg cosβ 4nL α0	αn .	(7)
	тр		к	R	2

Подставляя уравнения (3) и (7) в уравнение (4), получим

mg sin L(cos 0 n ) к	mg cos 4nL 0	n .	(8)
	R	2

В эксперименте, как правило, углы отклонения 0 и n малы (не превышают 70). При этом условии функцию cos можно разложить в ряд

Тейлора и ограничиться первыми двумя его членами: ( cos 1 22 ). С

учетом этого, уравнение (8) после сокращения на mg и L преобразуется к виду:

R sinβ α02 αn2 μk cosβ 4n α0 αn .

(9)

Отсюда получаем выражение для коэффициента трения качения:

μk R	α0 αn tgβ	(10)
	4n

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ И ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

6		8
	10	5
	9	5
	9	11
	12	11
	12
1		7
1		4
		4
		3
		2

Рис.2

Измерения проводятся на наклонном маятнике FPM-07, представленном на рис.2. К основанию 2, оснащенному четырьмя ножками с регулируемой высотой, закреплена труба 3, на которой вмонтирован корпус с червячной передачей. При помощи оси червячная передача соединена с кронштейном 5, на котором прикреплены шкалы I и II, на рис.2 обозначенные цифрами 6 и 7. В кронштейне закреплен стержень 8, на котором подвешен на нити шар. В кронштейн 5 по направляющим крепятся образцы пластинок 9, изготовленные из разных материалов. Для отклонения стержня маятника на определенный угол используется регулировочный винт 11. Величина угла вычисляется по формуле=90 , где угол задается по шкале 7.

Для определения коэффициента трения качения необходимо:

1.Подобрать исследуемую пару пластинка - шарик. Измерить штангенциркулем радиус шарика.

2.Винтом 11 установить угол наклона маятника =300 ( =600).

3.При помощи регулируемых ножек добиться такого положения маятника, чтобы нить оказалась против нулевого деления шкалы 6.

4.Отклонить шарик маятника от положения равновесия на угол 0=50÷70. Отпустить его без толчка. С этого момента начать счет числа полных колебаний. После того как маятник совершит n=10 полных колебаний, определить угол n. Повторить измерения 5 раз и подсчитать < n>.

5.Определить разность углов = 0 < n>. Выразить ее в радианах. Результаты занести в таблицу.

6.Изменить угол наклона маятника. Сначала установить его на 450 , а затем на 600 ( =450 и 300). Для каждого угла β повторить измерения согласно пунктам 3-6.

7.По формуле (10) вычислить коэффициент трения качения k для каждого полученного значения < n>. Найти среднее значение < k>.

8.Проделать аналогичные измерения согласно пунктам 1-7 для пары пластинка – шарик, изготовленных из другого материала.

										Таблица
,	tg	1,	2,	3,	4,	5,	< n>,	,	,		к,
град		град	град	град	град	град	град	град	рад		м
30	1,7321
45	1,0000
60	1,5774

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Что называется сухим трением?

2.Что такое трение скольжения? Как определить его коэффициент?

3.Что называется трением качения? В каких единицах оно измеряется?

4.В чем заключается метод наклонного маятника?

5.Вывести формулу (10).

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1-4-3

ИЗУЧЕНИЕ СЛОЖНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

НА ПРИМЕРЕ МАЯТНИКА МАКСВЕЛЛА

Цель работы:

проверка закона сохранения механической энергии

при изучении поступательно - вращательного движения маятника

Максвелла.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Маятник Максвелла, применяемый в

5 данной работе,

схематически

изображен

на рис.1. Основная часть его представляет

собой насаженный на ось 2 сплошной

однородный диск 1, на который можно

насаживать сменное кольцо. К концам оси

прикреплена нить 3, средняя точка которой

с помощью регулировочного винта 4

крепится

к кронштейну 5.

В начальном

состоянии диск находится вверху и

удерживается электромагнитом 6.

При нажатии на кнопку “Пуск”

питание

электромагнита

выключается.

Маятник

начинает

опускаться

одновременно

включается

миллисекундомер

При

этом

ось

маятника

будет двигаться поступательно,

Рис.1

а, за счет сматывания с нее нити, маятник

придет во вращательное движение.

Пройдя расстояние h, кольцо маятника пересечет луч света фотодатчика 8.

При этом миллисекундомер выключается, зафиксировав время опускания

маятника t.

Маятник одновременно участвует в двух простых видах движения:

поступательном движении вниз и во вращательном движении вокруг

горизонтальной оси. Вращение, продолжаясь по инерции в нижней точке

движения (когда нить уже размотана), приводит вновь к наматыванию

нити на стержень, и, следовательно, и к подъему маятника. Движение

маятника после этого замедляется, маятник останавливается и снова

начинает свое движение вниз и т.д. При опускании маятника с высоты h,

его потенциальная энергия

mgh

переходит

кинетическую

энергию

поступательного m

и вращательного

движения.

Пренебрегая

трением,

запишем

закон

сохранения

полной

механической энергии:

	m V	2	J ω	2	m V	2			J
mgh	m V		J ω		m V				J
	2		2		2			m r2		(1)
	2		2		2		1	m r2		(1)
								0

где J момент инерции маятника относительно неподвижной оси вращения, его угловая скорость вращения, r0 радиус оси маятника, m

масса маятника, V = r0- скорость движения центра масс (скорость поступательного движения оси маятника).

При поступательном движении маятника из состояния покоя его пройденный путь h и конечная скорость V за время опускания t определяются выражениями:

h a t 2	;	V at	(2)
2
Отсюда следует, что h и V связаны соотношением:
V 2h .			(3)
t

Это позволяет, в конечном итоге, подставив (3) в (1), получить выражение для ускорения свободного падения вида:

При совпадении в пределах ошибки опыта численного значения g, найденного по формуле (4) с табличным значением g = 9,81 м/с2 можно сделать вывод, что закон сохранения механической энергии выполняется в случае сложного поступательно – вращательного движения. С другой стороны, формула (4) позволяет определить момент инерции маятника, исходя из известного табличного значения g:

J m r	2	g t2			(5)
J m r				1	(5)
0			2 h
			2 h

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ И ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

1.Вычислить массу маятника вместе с каждым из трех насадочных колец (в кг) по формуле:

mi =m= m0 + mд + mкi ,

(6)

где m0 - масса оси; mд - масса диска; mкi – масса i-го кольца (i = 1,2,3). Значения масс отдельных элементов маятника нанесены на них. Результаты расчетов занести в таблицу 1.

2.Вычислить значение момента инерции маятника вместе с каждым из насадочных колец (в кг м2) по формуле:

Ji = J0 + Jд + Jкi ,

(7)

где J0 - момент инерции оси J0 18 m0 d02, (d0 -диаметр оси);

Jд момент инерции диска Jд= 18 mд (dд2+d02), (dд -внешний диаметр диска);

Jкi момент инерции i - го кольца Jкi = 18 mкi (dд2+dк2), (dк внешний

диаметр кольца). !!! Внешний диаметр всех колец одинаков. Результаты измерений и расчетов занести в таблицу 1.

								Таблица 1
m0, кг		mд, кг			i mк, кг			m = m0 + mд + mк, кг
				1

				2

				3

d0, м		dд, м				dк, м		Момент инерции
								маятника
								маятника

	2		2		i		2	2
J0, кг м		Jд, кг м				Jк, кг м		J = J0 + Jд + Jк, кг м
				1

				2

				3

3.Насадить сменное кольцо на диск до упора. Установить ось маятника горизонтально, а нижний край сменного кольца на 4-5 мм ниже оптической оси фотодатчика.

4.Пользуясь шкалой кронштейна, установить ход маятника h.

5.Включить в сеть шнур питания прибора.

6.Нажать кнопку "сеть" миллисекундомера. При этом должна загореться лампочка фотодатчика и цифровые индикаторы.

7.Накрутить нить на ось виток к витку от периферии к центру. Отжать кнопку “спуск”. При этом включится электромагнит.

8.Нажать на кнопку "сброс". При этом включится секундомер, отключится электромагнит и маятник начнет раскручиваться.

9.Произвести отсчет времени t хода маятника по миллисекундомеру. (В момент пересечения маятником оптической оси фотодатчика счет времени должен прекратиться).

10.Повторить опыт 5 раз. Для каждого опыта определить среднее значение времени <t>. Результаты занести в таблицу 2.

11.Повторить опыт с двумя другими сменными кольцами. Результаты измерений и расчетов занести в таблицу 2.

							Таблица 2
Номер			Ход маятника h =			, м

	Время			№ опыта			Средне
кольца	Время			№ опыта			Средне
i	падения						е время
	падения	1	2	3	4	5	е время
	маятника,	1	2	3	4	5	<t>, с
	маятника,						<t>, с
	с

1.t1

2.t2

3.t3

12.По формуле (4) вычислить ускорение свободного падения g для каждого кольца на основе полученных значениях времени <t>. Найти среднее значение <g>, рассчитать отклонения от среднего, определить область значений g. Сопоставить с табличным значением. Сделать вывод.

13.По формуле (5) вычислить момент инерции маятника с одним из колец и сравнить со значением, полученным по формуле (7). Сделать вывод.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Из каких двух простых движений складывается сложное движение маятника?

2.Вывести формулу линейной скорости маятника.

3.Дать определение момента инерции тела. Записать выражение для момента инерции диска, кольца.

4.Сформулировать закон сохранения механической энергии. Записать его в применении к маятнику Максвелла.

5.Вывести расчетную формулу для определения ускорения свободного падения.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1-4-4

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ ПОЛЕТА ПУЛИ С ПОМОЩЬЮ БАЛЛИСТИЧЕСКОГО МАЯТНИКА

Цель работы: применение законов сохранения момента импульса и энергии для определения скорости пули с помощью баллистического маятника.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Баллистический маятник (рис. 1), используемый в данной работе, состоит из массивного цилиндра 1, жестко соединенного с тонким стержнем 2. В верхней точке О стержень прикреплен к обойме с подшипником 3. Цилиндр снабжен щитком 4, который при отклонении

цилиндра смещает метку 5		вдоль линейки 6, по которой отсчитывается
отклонение цилиндра при попадании в него пули 7.
O		Пуля,	выпущенная	из
		пневматического ружья, летит по оси


	3	цилиндра на расстоянии R от оси
R	2	вращения	маятника и застревает	в
R		пластилине, заполняющем цилиндр.
		После неупругого удара пули массой
		m маятник приобретает угловую скорость

		1	7
h		V
S	5	4	6
	5	4	6

Рис.1

и отклоняется на небольшой угол . При этом в момент взаимодействия пули с маятником ее момент импульса относительно оси вращения L = m V R передается маятнику. Тогда согласно закону сохранения момента импульса имеем

m V R = J ,

(1)

где J момент импульса, приобретенный маятником в процессе удара, J момент инерции маятника вместе с пулей относительно оси вращения,-его угловая скорость.

Уравнение (1) позволяет найти угловую скорость маятника после удара и, следовательно, его кинетическую энергию J 2/2, которая перейдет в потенциальную энергию, когда маятник отклонится на угол , а его центр тяжести поднимется на высоту h по отношению к первоначальному положению. В соответствии с законом сохранения энергии имеем

J 2/2 = M g h,

(2)

где М масса маятника вместе с пулей. Выразив из уравнения (1) и подставив ее в уравнение (2), получим

2 g h M J m R .

(3)

При малых углах отклонения sin , и, в соответствии с рис.1, можно записать

h = R (l cos ) = 2 R sin2 /2	R 2/2,	(4)
где путь, пройденный меткой
S = R.		(5)
Исключив в уравнениях (4) и (5) , получим
h = S2/2 R.		(6)
Подставляя найденное значение h в формулу (3), найдем что
V S R m g M J R .		(7)

Момент инерции маятника можно найти (см. описание работы 1-5-2), измерив период его колебаний Т (Т= t /n, где t - время n полных колебаний), который связан с моментом инерции J соотношением

T 2π J M g R .

(8)

Выразив отсюда J и подставив его в (7), получим формулу для вычисления скорости пули

				V M g S T .	(9)
				2π m R
	Определив скорость пули, и вычислив ее кинетическую энергию до
удара	( Ek		mv2	) и потенциальную энергию маятника	после удара
удара	( Ek			) и потенциальную энергию маятника	после удара
		2
( EП	MgS 2	), можно определить потерю механической энергии системой
( EП	2R	), можно определить потерю механической энергии системой
	2R
при абсолютно неупругом ударе
				Е = m V2/2 М g S2/2 R.	(10)

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ И ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

1.Измерить массу маятника M и расстояние от оси вращения до центра цилиндра R. Определить массы m используемых пуль.

2.Отклонить маятник на небольшой угол (примерно на 10 мм по горизонтальной шкале) и измерить время t десяти полных колебаний. Определить период колебаний маятника T =t/10. Измерения повторить 3 раза.

3.Произвести выстрелы и для каждой пули определить смещение

маятника S = S2 S1. Все результаты занести в таблицу 1. ВНИМАНИЕ! При выстреле не смотрите через прицельное устройство на цилиндр (пуля может отскочить) и не находитесь рядом со шкалой 6.

4.Вычислить средние значения параметров <S>, <m> и <T>. Подставить их в формулу (9) и определить скорость пули. Рассчитать абсолютные погрешности определения массы m, периода T и смещения S.

									Таблица

№	m, г	m, г	S1,	S2,	S,	S	t, с	Т, с	T, c	М =
пули			мм	мм	мм	мм				R =
1.										R =
.										n = 10
.										n = 10
5.

5.Из выражения (9) вывести формулу для определения относительной и абсолютной погрешностей скорости V, вычислить V и δV. Записать окончательный результат. Сделать вывод.

6.Определить потерю механической энергии системой при абсолютно неупругом ударе с помощью формулы (10). Оценить долю механической энергии пули, переходящую во внутреннюю энергию пластилина и пули, т.е. найти величину Е/(mV2/2).

7.Сделайте вывод о выполнимости законов сохранения импульса и энергии.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Дайте определение импульса и момента импульса материальной точки и вращающегося тела.

2.Какой удар называется абсолютно упругим и абсолютно неупругим? Каким является удар пули о маятник?

3.Как выражается кинетическая и потенциальная энергия маятника?

4.Сформулируйте законы сохранения: импульса, момента импульса и механической энергии для маятника и пули. Какие из этих законов выполняются в настоящей лабораторной работе?

5.Как определяется в этой работе момент инерции маятника?

6.Почему нельзя приравнять кинетическую энергию пули и полученную при ударе кинетическую энергию маятника?

7.Получите формулу (9).

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1-4-5

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ ПОЛЕТА ПУЛИ С ПОМОЩЬЮ БАЛЛИСТИЧЕСКОГО КРУТИЛЬНОГО МАЯТНИКА

Цель работы: применение законов сохранения энергии и момента импульса для определения скорости полета пули с помощью баллистического крутильного маятника.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Общий вид баллистического маятника

FPM 09 показан на рис.1 (а, б). На плите

маятника 1 имеется колонка 3, на которой

закреплены

три

кронштейна.

На

кронштейне

находится

стреляющее

устройство 5, а также прозрачный экран с

нанесенной на него угловой шкалой 6.

Верхний и

нижний кронштейны 8 и 9

имеют зажимы, служащие для крепления

стальной проволоки 10, на которой

подвешена

крестовина

двумя

передвигающимися

грузами

мишенью

11.Колебания

маятника

регистрируются

фотоэлементом

На

лицевой панели прибора 13 размещены

а)

кнопки управления секундомером: "сеть",

"сброс" и "стоп". Пуля, выпущенная из

пружинной пушки 5, попадает в мишень

застревает

пластилине.

результате

неупругого

столкновения

маятник с пулей повернется на некоторый

максимальный угол m.

Стальная нить, на которой подвешен

маятник, упруго закручивается. В

б)

результате

возникает

возвращающий

Рис.1

момент

сил

упругости

который

определяется по закону Гука

M = f ,

(1)

здесь угол закручивания; f модуль кручения, постоянная для данной проволоки величина.

Если маятник предоставить самому себе, то он будет колебаться. Так как колебания осуществляются в форме вращательного движения, то

описывать движение маятника можно с помощью основного уравнения динамики вращательного движения

M I I	d 2	(2)
	dt 2 ,

где I момент инерции системы "маятник - пуля"; угловое ускорение. Объединяя формулы (1) и (2), получим дифференциальное уравнение, описывающее колебания маятника без учета момента сил

трения

d2	f	.	(3)
dt 2	I

Уравнение (3) по форме совпадает с уравнением движения пружинного маятника

d2 x	02 x 0,	(4)
dt 2

где 0 собственная частота колебаний пружинного маятника.

По аналогии находим, что циклическая частота 0 свободных колебаний крутильного маятника равна

f	0	2	f	.	(5)
I		Т	I

Пуля, обладающая импульсом m V (m, V масса и скорость пули соответственно), неупруго ударяет в маятник на расстоянии r от оси вращения. При этом она сообщает ему момент импульса m V r. Согласно закону сохранения момента импульса

m V r = I ,	(6)
где I момент импульса системы "маятник - пуля";	начальная

угловая скорость крутильного маятника, которую он приобрел в результате удара пули.

Маятник с пулей представляет собой замкнутую систему. Полученная кинетическая энергия вращательного движения маятника Ек = I 2/2 переходит в потенциальную энергию закрученной нити Еп = f m2/2,

где m максимальный угол закручивания маятника, т.е.
	I 2	f 2
		m	.	(7)
2		2

Момент инерции системы I складывается из момента инерции
маятника без грузов I0, момента инерции двух грузов 2mгR2,				которые

рассматриваются как материальные точки (R расстояния от оси вращения до центра масс грузов, mг масса груза) и момента инерции пули, которым можно пренебречь ввиду его малости

I = I0 + 2mгR2.

(8)

Начальную угловую скорость маятника найдем из уравнения (6)= m V r/I. Подставив ее в (7) и используя (5), получим

I f

I .

(9)

m r T

Таким образом,

измеряя

период

колебаний

маятника

максимальный угол отклонения m, и зная момент инерции I системы, можно найти скорость полета пули.

Рассмотрим два положения грузов в маятнике, которым соответствуют два момента инерции системы:

I1 = I0 + 2 mг R12

(10)

I2 = I0 + 2 mг R22.

Так как момент инерции маятника без грузов I0 неизвестен, то его можно исключить, для этого вычтем из первого уравнения второе

I = I1 I2= 2 mг (R12 R22)																	(11)
Модуль кручения		данной				проволоки						величина					постоянная и
			4 2					4 2			I2 .
согласно (5) равная	f		T2		I1			T2			I2 .
Тогда			1					2
Тогда
							T 2						T2
I I			I		I			2	I			1	2	I		.	(12)
I I			I		I				I			1	T2	I		.	(12)
		1		2		1	T 2			1			T2		1
								1					1

Из (11) и (12) имеем

2 m

Подставив выражения для I из (13) в (9), найдем скорость полета

пули V

4 T R2

mГ

m r

T12

T22

(13)

(14)

Здесь φm1 – максимальный угол закручивания при первом расположении грузов в маятнике.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ И ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

1.Путем взвешивания определить массу пули m.

2.Установить грузы симметрично относительно оси вращения маятника. Добиться совпадения риски на мишени с нулевым положением угловой шкалы. Измерить расстояние от центра груза до оси вращения R1.

3.Включить кнопку "сеть" и нажать "сброс". Этим действием прибор (секундомер и фотоэлемент) приводится в рабочее состояние.

4.Зарядить стреляющее устройство и произвести выстрел. При этом маятник отклонится и начнет колебаться. Измерить максимальный угол

отклонения m1 и расстояние от оси вращения (оси проволоки) до точки попадания пули в мишень r.

5. Измерить время t1 десяти полных колебаний. Для этого, когда на счетчике периодов появится цифра 9, нажать кнопку "стоп". Вычислить период колебаний T1 = t1/10. Значения T1 и t1 занести в таблицу 1. Опыт повторить 3 раза.

6.Установить новое расстояние R2 от оси вращения до центра масс грузов и повторить измерения согласно пунктам 2, 3 и 4. Результаты всех измерений и расчетов занести в таблицу 1.

7.Вычислить скорость полета пули по формуле (14), подставив в нее средние значения измеряемых величин.

8.Вычислить максимальную кинетическую энергию пули по формуле

Eк mV2 2 .

9. Сделать вывод о выполнимости законов сохранения.

								Таблица

№	R1,	t1 ,с	T1 ,с	m 1, рад	r, м	R2, м	t2, с	T2, с	mг =
п/п	м								mг =
1.									m =
2.									m =
3.
	<R1>		<T1>	< m 1>	<r>	<R2>		<T2>

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Какую систему тел называют консервативной, неконсервативной?

2.Какие колебания называются крутильными? Запишите дифференциальное уравнение таких колебаний. Как определяется их частота?

3.Дайте определение импульса, момента импульса материальной точки.

4.Сформулируйте законы сохранения импульса, момента импульса, энергии как для упругих и, так и для неупругих столкновений.

5.Выведите расчетную формулу (14).

6. Выполняется ли в системе "маятник - пуля" закон сохранения механической энергии? Как используется закон сохранения энергии в данной задаче?

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1-5-1

СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПРУЖИННОГО МАЯТНИКА

Цель работы: Изучение колебаний пружинного маятника. Определение основных параметров колебаний: периода, коэффициента затухания, добротности, жесткости пружины.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Пружинным маятником называется система, состоящая из груза массой m, подвешенного на упругой пружине (рис.1), причем масса пружины

пренебрежимо мала по сравнению с массой

груза. Если вывести груз из положения

равновесия,

то

со

стороны

деформированной на величину x пружины

на груз подействует возвращающая сила F,

пропорциональная, согласно закону Гука

величине смещения

F=-kx.

(1)

Здесь k - коэффициент жесткости пружины.

Движению

груза

противодействует

сила сопротивления, которая при небольшой

f сопр

скорости движения пропорциональна

ее

величине, т.е.

fсопр rυ r dx .

(2)

Рис.1

Здесь r - коэффициент сопротивления.

Уравнение движения груза массой m в соответствии со 2-м законом Ньютона запишется в виде ma = F - fсопр. Т.к. ускорение a ddt22x , то после подстановки и деления на m, получим:

d 2 x

(3)

dt 2

Введем обозначения:

ω0

2π

(4)

где - коэффициент затухания;

–

соответственно

циклическая

частота и период свободных незатухающих колебаний. После подстановки получим стандартное дифференциальное уравнение затухающих колебаний

d2x	2β dx	ω02x 0 .	(5)
dt2	dt

Решение уравнения (5) имеет вид и называется уравнением затухающих колебаний

x A0e β t cos ωt

φ0 A t cos ωt

φ0 ,

(6)

где A t A0e β t - убывающая со временем амплитуда затухающих

колебаний, А0 –значение амплитуды в начальный момент времени t =0; 0 - начальная фаза колебаний, - циклическая частота затухающих колебаний, определяемая соотношением

ω	ω02 β2	k	r 2		T	2
				,				(7)
		m				w02	2
			2m

Если масса колеблющегося груза велика, то влияние коэффициента затухания на частоту незначительно, т.е. β2 ω02 , и им часто

пренебрегают. В этом случае период колебаний пружинного маятника можно считать равным периоду его незатухающих колебаний

T T0	2π	m	(8)
		k
Коэффициент затухания и обратно пропорциональная ему
величина добротность Q являются	важнейшими		характеристиками

колебательной системы, параметрами контроля качества изделий в ряде областей машиностроения. Добротностью Q колебательной системы называется величина, пропорциональная отношению запасенной энергии к энергии, потерянной за период

Q 2	E t
			.	(9)
	E t E t T	T

Здесь = T -логарифмический декремент затухания, который обратен числу колебаний, совершаемых системой за время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в e раз.

По величине добротности можно судить о том, как много колебаний совершит система до остановки. Для определения добротности Q по формуле (9) нужно измерить потерю энергии за период, что весьма сложно. Поэтому оценивают потерю энергии Q за время t1 =nT (n - число

полных колебаний), в течение которого амплитуда уменьшится в S раз:

S A t . Так как вся энергия маятника может быть выражена через его

A t nT

максимальную потенциальную энергию, связанную с амплитудой соотношением

E W

kA2

(10)

A t A0e t , то

а амплитуда со временем убывает по экспоненте

2 E t

E t E t nT

1 A2 t nT A2 t

1 1 S2

(11)

2 nT

Здесь использовано разложение экспоненты в ряд: e 2 nT 1 2 nT ...

Из (11) следует формула для вычисления добротности колебательной системы

Q			2 n			2 t T		.	(12)
	1		1 S2
					1 1 S2
Зная добротность Q , можно из (9) и							(12) найти		коэффициент
затухания системы :
				1	1 S2				(13а)
							.
		TQ			2t

Коэффициент сопротивления определим из (4)							r = 2m		(13б)

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ И ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

1. Измерить координату x1 нижнего конца пружины без груза, а затем для каждого из грузов с различной массой m - x2.

Растянуть пружину с грузом на 10 мм и отпустить; измерить время t десяти полных колебаний. Вычислить период колебаний T = t/10, T2. Точно такие же измерения и расчеты провести для 4-6 различных грузов. Результаты занести в таблицу 1.

						Таблица 1
			х1 = ..........мм
	m1, г	m2, г	m3, г	m4, г	m5, г	m6, г
	100	200	300	400	500	600
х2, мм
t, с
кст, Н/м
T, c
Т2, с2

2. Построить график зависимости силы, действующей на пружину F = mg, от величины ее деформации х = (х2-х1). Сделать вывод о выполнимости закона Гука. Из полученного графика найти кст = F/ x

3. Зависимость T2 =4π2m/k представить в виде уравнения прямой у = ax, где у =Т2, x = m, a = 4π2/k. По графику зависимости у от x определить угловой коэффициент прямой а = (y2 –y1)/(x2 – x1) (см. рис.2). По его

у		значению	определить		динамический
		коэффициент жесткости: кд==4 2 а.
у2		Сравнить	полученное в		упражнении 3
		значение кст со значением кд.
	у
		4. Для груза максимальной массы
у1		измерить	время	t и	число	полных
		колебаний	n, в	течение		которых
	X
		амплитуда колебаний уменьшится в 1,5
x1	x2 x
		раза (S=1,5). Для этого рекомендуется
Рис.2		взять начальную амплитуду равной 15

мм, а конечную – 10 мм. Измерения произвести три раза. Результаты занести в таблицу 2

					Т, с	Таблица 2
m, кг	t1, с	t2, с	t3, с	‹ t ›, с	Т, с	S=1,5
0,6
0,6	n1	n2	n3	‹ n ›

5.Оценить с помощью формулы (12) добротность Q пружинного маятника. По формуле (13а) найти коэффициент затухания , а по (13б) рассчитать коэффициент сопротивления r.

6.Оценить влияние коэффициента на величину периода колебаний пружинного маятника. Вычислить период колебаний по формулам (7),

(8). Сделать соответствующий вывод.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Дать определения свободных затухающих и незатухающих колебаний.

2. Получить дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний. Что является решением этого уравнения?

3.Что такое коэффициент затухания? От чего он зависит?

4.Как изменяется во времени амплитуда затухающих колебаний?

5.Как зависят частота и период колебаний от коэффициента затухания?

6.Записать формулу для периода гармонических незатухающих колебаний.

7.Что такое добротность колебательной системы? Как она определяется в работе?

8.Как изменяется энергия колебательной системы в процессе колебаний?

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1-5-2

ИЗУЧЕНИЕ СВОБОДНЫХ ЗАТУХАЮЩИХ КОЛЕБАНИЙ ФИЗИЧЕСКОГО МАЯТНИКА

Цель работы: изучение свободных затухающих колебаний физического маятника. Определение параметров колебаний: периода колебаний, момента инерции маятника, логарифмического декремента затухания. Определение ускорения свободного падения.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Твердое тело, способное совершать

колебания под действием силы тяжести

О1

относительно

неподвижной оси

О1,

не

проходящей

через его центр тяжести,

называется

физическим

маятником.

Таковым

является

однородный

m g

металлический стержень

массой

длиной L0, подвешенный на оси О1,

удаленной от его центра масс на величину

Рис. 1

L (см. рис.1).

Из-за трения механическая энергия

маятника рассеивается в

виде

тепла,

поэтому колебания всегда затухают. Маятник совершает вращательные

колебания. Они описываются	основным уравнением				динамики
вращательного движения относительно неподвижной оси О1
	M I	d2		I ε,	(1)
		dt	2

где угол отклонения маятника; его угловое ускорение, I момент инерции маятника относительно оси подвеса, М - результирующий момент всех сил, действующих на тело. Он складывается из вращательного момента, создаваемого силой тяжести Mвр= m g L sin , и тормозящего момента, создаваемого силами трения Mтр = r , где r коэффициент

трения, = d /dt угловая скорость. Знак " " в этих формулах отражает тот факт, что возвращающая сила всегда направлена к положению равновесия, т.е. в сторону уменьшения угла и направление силы трения всегда противоположно направлению движения.

При малых углах отклонения (6 ÷ 100), когда колебания можно

считать гармоническими sin		. Тогда Mвр= m g L , и уравнение (1)
можно представить в виде		d2
	I		r	d	m g l 0.	(2)
		dt2		dt

Поделим все слагаемые уравнения (2) на I и введем обозначения

	r	2 ,		m g L	2	,	(3)
	I			I
					0
где коэффициент затухания, а 0			собственная циклическая частота

незатухающих колебаний маятника. В итоге придем к дифференциальному уравнению свободных затухающих колебаний вида

d2	d	2
dt2 2 dt 0			0.	(4)
Решением этого уравнения является функция
A0 e β t Sin t α0 .				(5)
Множитель A= 0 е t представляет	собой амплитуду			затухающих

колебаний в момент времени t; 0 амплитуда колебаний в начальный момент времени. Выражение под знаком синуса фаза колебаний в

момент времени t, 0

начальная фаза,

ω02 β2 - циклическая

частота затухающих колебаний. График функции (5) для 0 = 0 представлен на рис. 2.

φ	A0 e t

An+1

Рис. 2

Количественной характеристикой затухания служит логарифмический декремент затухания . Он определяется как натуральный логарифм отношения двух амплитуд следующих через время t = T

δ ln	An	ln	A(t)	β T .	(6)
	An 1		A(t T)

При слабом затухании трудно определить уменьшение амплитуды за один период, поэтому для нахождения удобней брать n периодов. Тогда время tn = n T будет временем, в течение которого амплитуда колебаний уменьшится в S раз. С учетом этого получим

Α e β tn

ln 0 β tn n T lnS β n T . (7) A0 e

Из (6) и (7) выразим логарифмический декремент затухания в виде

δ β T= lnS		T	lnS.	(8)
n		t

Обычно принимают S=2, тогда lnS = ln2 = 0,693.

При большом I и малом r может реализоваться неравенство << 0. Тогда влияние затухания на частоту колебаний (период) невелико, и им можно пренебречь, в результате чего получим уравнение собственных незатухающих колебаний.

d 2		2
dt 2	w0 0
dt 2
Из выражения (3) и соотношения =2 /T получим приближенную
формулу для периода колебаний физического маятника
T 2 π		2 π 2 π		I	.	(9)
T 2 π		2 π 2 π		m g L	.	(9)
ω		ω0		m g L
Отсюда следует, что момент инерции физического маятника равен
I	m g L		T2			(10)
I			T2			(10)
		4 π2
Формула (10) широко используется для				определения		моментов

инерции тел произвольной формы, теоретическое вычисление которых представляет значительные трудности.

Для физического маятника в виде однородного стержня момент инерции относительно произвольной оси вращения можно вычислить по теореме Штейнера I = I0 + m L2, (11) где I0 момент инерции маятника относительно параллельной оси,

проходящей через центр масс, L расстояние от центра масс до оси вращения.

Если I и m известны, то измеряя период Т физического маятника,

y				можно по	формуле	(10)	определить g.
				можно по	формуле	(10)	определить g.
				Такой подход используется на практике в
y2				Такой подход используется на практике в
y2				некоторых типах гравиметров.
y1				некоторых типах гравиметров.
				В	настоящей		работе	для
				В	настоящей		работе	для
				определения I0 и g			воспользуемся
b				графическим методом. Для этого выразим
b				момент инерции в формуле (10) с
				момент инерции в формуле (10) с
	x1	x2	x	помощью	уравнения	(11)	и, умножив
	x1	x2	x			2
		Рис.3		правую и левую часть на 4			/mg, получим
		Рис.3		T2L = 4 2I0/mg+ 4 2L2/g				(12)

Введем обозначения:

y T	2	L ,	x L	2		4	2		b	4 π2 I0
				,	a			,			(13)
				,	a		g	,		m g	(13)
							g			m g

Тогда выражение (12) можно представить линейной функцией вида y =b + ах

Пример графика такой функции показан на рис.3

Угловой коэффициент прямой у = f(x), равный тангенсу угла её наклона к оси OX

a tg	y2 y1			4 2
				g
	x	2	x
			1

позволяет определить величину ускорения свободного падения

g	4 2	4 2	x	2	x
					1	(14)
	a		y2		y1

По отрезку, отсекаемому продолжением прямой на оси ординат, можно найти коэффициент b. Полагая, что величина g известна, экспериментально определить I0 и сравнить его значение с теоретическим

Iтеор = mL02/12,

(15)

где m0 масса однородного стержня, L0 его длина.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ И ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

1.Закрепить стержень в муфте. Для этой цели на стержне сделаны кольцевые выемки, расстояние между которыми 5 10 см.

2.Отклонить стержень на угол не более 10 и измерить время t, в течение которого амплитуда колебаний уменьшится в 2 раза. Одновременно сосчитать число полных колебаний n.

3.Определить период колебаний Т = t/n и логарифмический декремент затухания = ln2/n.

4.Измерения по пунктам 1 3 провести для различных длин L, определяющих расстояние от оси вращения до центра масс стержня. Результаты занести в таблицу 1.

5.Вычислить величины x и y для каждого значения L.

6.Построить график зависимости y от x. Определить по нему угловой коэффициент а и свободный член b. Вычислить по формулам (14) и (15)

величины g и I0.

7. Сравнить полученное значение g с gтабл., а значение I0 c Iтеор. Сделать вывод.

							Таблица
№ п/п	L, м	t, с	n	T, с	x, м	y, мּс	m =
					2	2
							L0 =
1.							L0 =
1.
2.
3.
4.
5.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Что называется физическим маятником? При каких условиях он совершает гармонические и затухающие колебания?

2.Получите дифференциальные уравнения затухающих и незатухающих колебаний физического маятника.

3.Как зависит амплитуда колебаний маятника от времени?

4.Запишите формулу для периода свободных незатухающих колебаний физического маятника.

5. Опишите поведение физического маятника: а) в состоянии невесомости; б) когда ось колебаний проходит через центр масс.

6.Сформулируйте теорему Штейнера. Определите с помощью моменты инерций тел простейшей геометрической формы.

	ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1-5-3
ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ
С ПОМОЩЬЮ МАТЕМАТИЧЕСКОГО И ФИЗИЧЕСКОГО
		МАЯТНИКОВ
Цель работы: Определить ускорение свободного падения с
помощью математического и физического маятников.
		ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
6		8(1)	Для		измерения			ускорения
	3	8(1)	свободного		падения		в		данной
		9(1)	работе	применяется				установка,
			которая называется универсальным
L	2	7	маятником.		Она	состоит из плиты-
L	2	7	основания 1, на которой крепится
			основания 1, на которой крепится
		8(2)	стойка 2. К верхнему концу						стойки
4		8(2)	крепится	кронштейн			3.	С	одной
4		9(2)	стороны		кронштейна			подвешен
5		9(2)	математический			маятник		4, а		с
5			другой	располагаются				опорные
			другой	располагаются				опорные
			площадки	для подвеса			физического
1		10	оборотного маятника.							5
			На		нижнем кронштейне					5
			закреплен фотоэлектрический датчик
			для счета числа колебаний маятника.
	Рис.1		Этот		кронштейн				может
	Рис.1		перемещаться			вдоль	стойки			и
			перемещаться			вдоль	стойки			и
			располагаться так,
чтобы луч датчика пересекал либо шарик математического маятника, либо
конец стержня оборотного маятника. Длину математического маятника L
можно изменять с помощью блока 6, имеющего стопор. Она определяется
по шкале, нанесенной на стойке 2. Время колебаний определяется с
помощью секундомера 10.

Оборотный маятник состоит из металлического стержня 7, на котором закреплены два груза 8 (чечевицы) и две опорные призмы 9, способные перемещаться и фиксироваться. Для этого используются кольцевые нарезки на стержне, отстоящие друг от друга на 1 см. Перемещение призм позволяет изменять периоды колебаний маятника относительно осей, которыми являются острия призм.

В лабораторной работе 1-5-2 показано, что период собственных свободных колебаний физического маятника в пренебрежении силами трения описывается формулой

Т 2	I	2	I	0	m a2	,	(1)
	m g a			m g a

где I момент инерции физического маятника относительно точки подвеса, равный, согласно теореме Штейнера, I = I0 +ma2; m масса маятника; a расстояние между осью вращения и центром тяжести маятника, I0 момент инерции маятника относительно оси, проходящей через его центр масс.

Вметоде оборотного маятника существуют такие положения грузов

ипризм, для которых периоды колебаний маятника совпадают T1=T2=T0:

	I	0	m a	2		I		m a	2
T 2		0		1	и T 2		0		2	.	(2)
1		m g a1			2		m g a2
		m g a1					m g a2

Здесь а1 и а2 расстояния от центра масс до первой и второй призм соответственно.

Выражая из уравнений (2) величину I0, найдем что

g	4 π2	L	0	,	(3)
g	T	2		,	(3)
	T	2
	0

где расстояние между призмами L0 = a1 + a2 может быть измерено достаточно точно. Соотношение (3) позволяет определить величину g, если добиться такого расположения опорных призм и грузов на стержне, при котором периоды колебаний маятника для различных осей, проходящих через лезвия призм, совпадают. Поэтому маятник и называется оборотным.

В математическом маятнике шарик массой m расположен на расстоянии L от точки подвеса. Его можно представить как материальную точку с моментом инерции I = mL2. С учетом этого по формуле (1) получим выражение для периода колебаний математического маятника

T 2 π	L .	(4)
	g

Из (4) по периоду колебаний маятника Т и его длине L можно определить ускорение свободного падения g.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ И ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

Упражнение 1. Определение ускорения свободного падения с помощью математического маятника.

1.Установить в рабочее положение математический маятник. Подвести к нему фотоэлектрический датчик. При этом черта на шарике должна

быть продолжением черты на корпусе фотоэлемента. Измерить длину L маятника.

2.Привести маятник в движение, отклонив на 5 10 от положения равновесия. Измерить время t десяти полных колебаний. Для этого нажать клавишу “сброс”, включив тем самым счет числа колебаний и

времени. Остановить секундомер нажатием клавиши “стоп”. Рассчитать период колебаний T = t/10 и T2.

3.Изменить длину нити и повторить измерения согласно пунктам 1 2. Результаты 8 измерений и расчетов занести в таблицу 1.

							Таблица 1
№ п/п	L, м	t, с			Т , с		T2 , с2
1.
2.
3.
.
.
8.
4. Построить график		зависимости Т2			от L. По нему определить
		2		T22 T12	4 π2
угловой коэффициент A =		(T )/	L=		g	. Рассчитать ускорение
угловой коэффициент A =		(T )/	L=	L2 L1	g	. Рассчитать ускорение

свободного падения по формуле g = 4π2/A. Сравнить с табличным значением и сделать соответствующий вывод.

Упражнение 2. Определение ускорения свободного падения с помощью оборотного маятника.

1.Первую чечевицу маятника (см. рис.1) закрепить на 3 см от конца стержня, а опорную призму 9(1) – на расстоянии примерно 2-3 см от нее. Вторую чечевицу закрепить примерно на 23-25 см от первой, а призму 9(2) закрепить примерно на 3 см от второй чечевицы. Измерить расстояние между призмами L.

2.Повесить маятник на призму 9(1), расположенную вблизи конца стержня. Фотоэлектрический датчик установить так, чтобы нижний конец стержня пересекал луч фотоэлемента.

3.Отклонить маятник на 5 10 от положения равновесия и отпустить.

Нажать кнопку “сброс” и, измерить время t1 пяти колебаний. Определить период колебаний Т1.

4.Снять маятник, перевернуть его и повесить на призму 9(2). Установить фотоэлектрический датчик так, чтобы конец маятника пересекал

световой луч. Измерить время t2 пяти колебаний. Определить период колебаний Т2.

5.Проделать измерения периода Т2 еще несколько раз, удаляя призму 9(2) от призмы 9(1) каждый раз на 1 см до тех пор, пока Т2 не станет больше, чем Т1. Результаты занести в таблицу 2.

Таблица 2

№	L, м	t1, с	Т1, с	t2, с	Т2, с m =
п/п						L0	=
						L0	=
						T0	=

5.Продолжить определение периода T1 при тех же L, что и T2.

6.Построить график зависимости периодов колебаний Т1 и Т2 от расстояния между призмами L. Определить координаты Т0 и L0 точки пересечения прямых.

Т,с
T0
Т1
Т2
L0	L, м
7. Рассчитать по формуле (3) величину g. Сравнить с табличным
значением и сделать вывод.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Что называется математическим и физическим маятниками?

2.При каких условиях колебания этих маятников являются гармоническими?

3.От каких параметров (величин) зависят циклическая частота и период колебаний математического и физического маятников?

4.Как связан момент инерции I и период колебаний оборотного маятника от положения его грузов и призм?

5.С какой целью в работе перемещают призму оборотного маятника?

6.С какой целью строят график зависимости T = f(L) для оборотного маятника?

7.Почему период Т1 мало изменяется при изменении положения призмы

9(2)?

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1-5-4

КОЛЕБАНИЯ СВЯЗАННЫХ МАЯТНИКОВ

Цель работы: изучение основных закономерностей колебаний систем с несколькими степенями свободы на примере двух связанных маятников.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

В природе и технике широко распространены колебательные системы, взаимодействующие между собой. К таким системам относятся ионы в кристаллической решетке, сложные молекулы, различные технические конструкции.

Простейшей системой с двумя степенями свободы в механике являются два маятника в виде стержня длиной L с грузами массой m (диск) на его концах. Маятники связаны невесомой пружиной с коэффициентом

			жесткости k. Пружина находится на
			расстоянии d от точек подвеса,
	d		расположенных		на				горизонтальной
			прямой (рис.1).
	fу		При движении маятников в одной
			вертикальной плоскости состояние такой
		fу	системы полностью описывается							двумя
	x2		независимыми параметрами углами 1 и
		L	2 отклонения маятников от вертикали,
	x1
		2	т.е. система имеет две степени свободы.
			Уравнение		движения для каждого
	1		маятника можно получить из общего
		V2	уравнения	динамики				с	вращательного
			движения	стержня					грузом	вокруг
		V1	неподвижной оси			d2
	Рис. 1			I I					M .	(1)
						dt		2

Здесь	угол	поворота,	M момент действующих на тело сил
относительно оси подвеса, угловое ускорение, I							момент инерции
каждого маятника относительно оси подвеса.

На каждый маятник действует сила тяжести m g, приложенная к ихцентру масс, и сила упругости f=-k x, где k коэффициент жесткости пружины, x – ее деформация. Величина деформации x при малых 1 и 2, в соответствии с рис.1, находится как длина дуги, опирающейся на прямые d:

x = d ( 2 1). Следовательно, сила f = k d ( 2 1).

Соответствующие этим силам вращающие моменты сил для малых углов колебаний имеют вид

Mтяж = m g L Sin m g L ,

(2)

Mупр1 = k d ( 2 1) d = kd2( 2 1) = Mупр2.

Момент сил отрицателен, т.к. он возвращает маятник в положение

равновесия. Уравнение (1) для каждого из маятников запишется:

I(d2φ / dt2) mgLφ

kd2

(3)

I(d2φ

/ dt2) mgLφ

kd2

Маятники могут длительное время

колебаться,

сохраняя,

например,

положение, изображенное

на рис.1. В

dэтом случае fупр=k d ( 2 1). Для рисунка

2 fупр = k d ( 2+ 1).

Введем новые переменные

				1 + 2 = 1		и	2 1		= 2,		(4)
				1 + 2 = 1		и	2 1		= 2,		(4)
L x1	x2		характеризующие					относительное
			движение		маятников.			Просуммируем
1	2		левые и		правые	части		уравнений			(3).
1	2		Затем		поделим			результирующее
			уравнение		на	I.	С	учетом новых
			переменных получим
				d2 / dt2 m g L I 0.							(5)
					1			1
			Из второго уравнения системы (3) вычтем
Рис. 2			первое. В итоге получим
		d2 Θ	2	/dt 2 (m g L I +		2 k d2		I) Θ	2	0	(6)
			2						2

Каждое из уравнений (5) и (6) аналогично дифференциальному уравнению для гармонических колебаний (см. лаб. раб. № 1-5-1) вида

d 2 x/dt 2 ω02 x 0 .

При сопоставлении получаем, что собственные частоты колебаний равны

ω	o1	2πν mgL I ;	ω	o2	2πν	2	mgL I 2kd2 I (7)
	o1	1		o2		2
Момент инерции маятника складывается						из	момента инерции

стержня массой mст и длиной L0 (Iст = mст L02/3), момента инерции диска радиусом R и массой m, удаленного на расстояние L от точки подвеса

I = mст L02/3 + m L2 + m R2/2.			(8)
Решения уравнений (5) и (6), как известно, имеют вид
1 = А cos( o1 t + 1),	2 = B cos( o2 t + 2),		(9)
где A и B – амплитуды изменений	величин 1 и 2 , а	1 и	2
соответственно их начальные фазы.

Из (9) и (4) находим закон изменения угла для каждого маятника:

1 = 1/2 ( 1 2) = A/2 cos( o1 t + 1) B/2 cos( o2 t + 2)

(10)

2 = 1/2 ( 1 + 2)= A/2 cos( o1 t + 1) + B/2 cos( o2 t + 2)

Из (10) видно, что колебания каждого маятника складываются из двух независимых колебаний с частотами o1 и o2, определяемых выражениями (7), которые носят название нормальных частот илимод, при этом, как видно из (7), o2 > o1. Если обратиться к уравнениям (7) ,то в первом из них выражена собственная частота свободных незатухающих колебаний физического маятника m g LI . Когда упругая связь не

действует, т. е. 2 1 = 0, маятники движутся синхронно в одном направлении параллельно друг другу (синфазно).

Во втором уравнении частота o2 > o1 за счет действия упругой связи, которая будет максимальна, если маятники движутся точно в противофазе навстречу друг другу или друг от друга (рис. 2).

При любом другом движении осуществляются колебания с частотойk, лежащей в диапазоне от o1 до o2. Если вклад сил упругости в

изменение частоты невелик, т.е. 2 k d2/I < m g L/I, то частоты o1 и o2 близки и результат сложения колебаний представляется в виде биений.

При этом амплитуда медленно изменяется с частотой биений:

б = o2 o1 или б = 2 1.	(11)
Если с помощью внешней периодической силы, частота которой
будет возрастать от нуля, действовать на связанную	колебательную

систему, то при частотах вынуждающей силы , близких к 1 и 2, будет наблюдаться два резонанса, т.е. резкое увеличение амплитуды колебаний маятников. Зависимость A= f( ) будет иметь два максимума.

ОПИСАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ УСТАНОВКИ

Общий вид прибора представлен на рис.3.

10
11	3	6
11	3	5
	8	5
	8
13	7	9
13

		14
	12	24
	12	1
		1
	Рис. 3

Основание 1 оснащено регулируемыми ножками для вертикальной установки прибора. В основании закреплена колонка 2, на которой укреплены втулка 3 и кронштейн 4. На стержне 5 втулки находятся три подвески 6 с шариковыми подшипниками. К ним подвешены два маятника и стержень 7, возбуждающий колебания.

Маятник состоит из стержня 8 и перемещающегося груза 9. Маятники связаны друг с другом при помощи двух пружин 10, 11, закрепленных в С-образной скобе, которую можно перемещать вдоль стержней маятников.

Возбуждение колебаний осуществляется с помощью приводного диска, закрепленного на валу электродвигателя, который, перемещая стержень 7, связанный при помощи двух пружин 10, 11 со стержнем маятника 6, возбуждает его колебания.

Электродвигатель находится в блоке управления и измерений 12. К нижнему кронштейну прикреплена угловая шкала 13, при помощи которой определяется амплитуда колебаний маятников. К нему также прикреплен фотоэлектрический датчик 14, световой поток которого пересекает стержень одного из совершающих колебания маятников.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ И ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

Упражнение 1. Определение частот 1 и 2 двух мод связанных

колебаний.

1.Закрепить на стержнях каждого маятника грузы на равных расстояниях от оси вращения. Соединить маятники пружинами.

2.Вычислить частоты 1 и 2 по формуле (7). L и d измерить миллиметровой линейкой. Mасса груза m = 0,1 кг, коэффициент жесткости пружины k = 3,3 Н/м, ускорение свободного падения g = 9,81 м/с.

3.Кнопкой "сеть" включить секундомер. Возбудить колебания моды 1. Для этого отклонить маятники на равные углы (10 12 ) в одну сторону и, одновременно отпуская их, нажать кнопку "сброс" начнется отсчет времени. После 5 полных колебаний нажать кнопку "стоп". Записать в

таблицу число полных колебаний N1 и время t1. Вычислить частоту моды 1 = N1/t1 (число колебаний в секунду). Проделать измерения 5 раз и определить среднее значение < 1>.

4.Возбудить колебания моды 2 ( 2). Для этого отклонить маятники на равные углы (10-12 ) в противоположные стороны и отпустить их, проделывая те же операции, что и в пункте 3. Определить среднее значение < 2> по результатам пяти измерений.

5.Сравнивая экспериментальные и теоретические (7) результаты определения частоты мод. Сделать вывод о соответствии теории и эксперимента.

		Определение частоты колебаний 1 и 2 мод					Таблица 1
		Определение частоты колебаний 1 и 2 мод

№			МОДА 1			МОДА 2
п/п						t2, с
	N1		t1, с	1, с 1	N2	t2, с	2, с 1
1.
.
.
5.

Упражнение 2. Наблюдение биений и определение их частоты.

1.Возбудить биения. Для этого маятник, находящийся впереди, отклонить на угол 15 и отпустить, а другой, расположенный за ним, оставить в положении равновесия. Проделать эту операцию несколько раз,

наблюдая биения. Маятник колеблется с частотой к, а амплитуда изменяется с частотой б.

2.Определить частоту колебаний системы к, измерив время t общего числа полных колебаний N. Одновременно подсчитать число остановок маятника за время t, которое будет равно числу биений Nб.

3.Повторить измерения 5 раз. Данные занести в таблицу 2. Вычислить частоты колебаний к = Nк/t, биений б =Nб/t, их средние значения.

Таблица 2

Определение частоты колебаний и биений связанных маятников

№ п/п		Nк	t, с.	Nб	к, с 1		б, с 1
1.
.
.
5.
< к	теор>		< б теор>	< к> =	c 1	< б> =	с 1

4.Используя полученные в упражнении 1 значения частот колебаний мод

1 и 2, вычислить частоту биений по формуле (11). Сравнить расчетные значения к и б с результатами полученными экспериментально. Сделать вывод.

Упражнение 3. Снятие резонансной кривой A = f( ).

1.Соединить систему маятников со стержнем, возбуждающим колебания, с помощью двух пружин. Возбудить вынужденные колебания. Для этого включить тумблер "Вкл. двигателя". Частота колебаний регулируется потенциометром (ручка “частота колебаний”).

2.Последовательно, от нуля, поворачивая ручку потенциометра на очень малый угол, устанавливать различные частоты колебаний . Измерить, повторив порядок измерений в п. 3 (упр. 1). При всяком новом положении ручки "частота колебаний" необходимо дать время (1 2 минуты) достижения "установившегося режима" колебаний первого маятника, визуально определяя максимальное отклонение (в градусах) от положения равновесия влево и вправо, и вычислить среднее из них: A = (Aл + Aп)/2

3.Повторив измерения при 8 15 положениях потенциометра "частота колебаний", занести данные в таблицу 3. Выключить установку.

4.Подсчитать частоты вынужденных колебаний = N/t. Построить

график зависимости A = f( ) и определить резонансные частоты 1р и

2р.

5.Сравнить значения полученных экспериментально резонансных частот с

вычисленными по формулам (7).

Таблица 3

		Вынужденные колебания

№	N	t, с		А, град
п/п			, с
п/п
1.
.
.
.
15.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Какие колебания называются вынужденными? Как их получить в данной работе?

2.Что собой представляют связанные маятники в данной работе? Под действием каких сил происходят колебания маятников?

3.Вывести дифференциальные уравнения колебаний системы для двух связанных маятников.

4.Что такое" мода колебания"? Сколько их в данной работе? Какими уравнениями они описываются?

5.Что такое резонанс? Как получить резонансную кривую в данной работе? На каких частотах вызывается резонанс?

6.Что такое биения, как их возбудить? Какова их частота, и как изменяется их амплитуда?

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1-5-5

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ СДВИГА И МОДУЛЯ ЮНГА ПРОВОЛОКИ МЕТОДОМ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ

Цель работы: изучение крутильных колебаний маятника, определение модуля сдвига G и модуля Юнга E.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Все реальные твердые тела под действием внешних сил деформируются, т.е. изменяют свою форму: удлиняются, сжимаются, закручиваются, изгибаются и т.д. Тела, в которых после прекращения действия внешней силы деформация полностью исчезает и восстанавливается первоначальная форма, называются абсолютно упругими. При небольших деформациях многие твердые тела (в частности, металлические) ведут себя почти как абсолютно упругие. Остаточные деформации в них весьма малы, и часто их можно не учитывать. При простом растяжении или сжатии деформация однородна. Тогда как при кручении она неоднородна, т.е. изменяется от точки к точке.


			Если	взять		однородную
	r	проволоку, закрепить ее верхний конец,
	r	а	к	нижнему		приложить
		закручивающие			силы,	создающие
L		закручивающий			момент	относительно
L		продольной оси, то проволока испытает
		деформацию кручения. При этом
		любой радиус, проведенный в ее
		нижнем сечении, повернется вокруг оси
		на угол (рис.1).
			Закон	Гука для		деформации
	Рис.1	кручения имеет вид
				М = - f ,		(1)
где М момент силы,				М = - f ,		(1)
где М момент силы,		приложенной к	проволоке,		а f постоянная для

данной проволоки величина, называемая модулем кручения. Модуль кручения зависит не только от материала, но и от геометрических размеров проволоки:

f	π G	r4 ,	(2)
	2 L

где G модуль сдвига, L - длина проволоки, r ее радиус. (Вывод этой формулы смотри в [11, 14]). Модуль сдвига G является характеристикой вещества и связан с модулем Юнга E через коэффициент Пуассона соотношением

E = 2 (1 + ) G.

(3)

Здесь равен отношению относительной поперечной деформацииr/r при растяжении к относительной продольной деформации L/L. Таким образом, определив модуль кручения f, можно найти модуль сдвига G и модуль Юнга E.

Если к нижнему концу проволоки прикрепить какой-нибудь груз (например, рамку с грузом), повернуть ее на некоторый угол относительно оси проволоки, а затем отпустить, то в такой системе возникнут крутильные колебания, которые описываются углом поворота радиус-вектора, проведенного в нижнем сечении проволоки. При небольших амплитудах 0 колебания будут гармоническими и описываются уравнением

		= 0 sin( 0 t + ).	(4)
Здесь 0	=2 /T	циклическая частота	свободных колебаний

(угловая скорость), Т период колебаний, начальная фаза, t время. Уравнение динамики вращательного движения будет иметь вид

	M I I			d2		2		Sin t ,		(5)
	M I I					I	0	Sin t ,		(5)
				dt2		0	0		0
				dt2
где M момент	сил,	I	момент		инерции системы,				ее	угловое
ускорение.
Т.к. M =	f =		f 0 sin( 0 t			+ ) (см. формулу 1 и 4), то из
уравнения (5) следует, что					f = (4 2/T2) I.
	f = I 02 или				f = (4 2/T2) I.					(6)

Таким образом, модуль кручения f можно найти, измеряя период крутильных колебаний.

Для определения модуля кручения проволоки используется установка, основным элементом которой является рамка, закрепленная с

помощью двух проволок П (рис. 2).
		Внутри рамки крепится		сменный
L1		металлический	цилиндр Ц,	который
L1	П	совершает крутильные колебания вместе
	П	с рамкой. Время колебаний t определяется
		с рамкой. Время колебаний t определяется
		электрическим	секундомером,
		электрическим	секундомером,

		Ц	вмонтированным в установку вместе со
		Ц	счетчиком периодов n. Период колебаний
			счетчиком периодов n. Период колебаний
			находится как Т = t/n. Меняя цилиндр,
			находится как Т = t/n. Меняя цилиндр,
L1			мы тем самым меняем массу m и момент
L1		П	инерции I всей системы и, следовательно,
			период колебаний T. Согласно (6) для
			одной и той же проволоки, когда f = const,
	Рис.2		одной и той же проволоки, когда f = const,
	Рис.2		имеем

I1 012 = I2 022 или I1/I2 = T12/T22 .

(7)

Здесь I1 и I2 моменты инерции для двух различных цилиндров. Момент инерции системы I складывается из момента инерции цилиндра

массы m и радиуса R, относительно его момента инерции рамки I0 . Для первого и вид

оси симметрии I = m R2/2 и второго цилиндров они имеют

I I		0	1/ 2 m R 2
1			1	1	2 .	(8)
I2	I0		1/ 2 m2	R2

Исключив величину I0 в уравнениях (8) и используя выражение (7), выразим величины I1 и I2 в следующем виде:

I			T12		1	m	R2	m			R2
I					2	m	R2	m			R2
1		T2		T2	2	1	1		2		2
		1		2								.	(9)
I				T22	1	m R2		m			R2		(9)
I			T2	T2	2	m R2		m			R2
	2		T2	T2	2	1	1			2	2
		1		2

Здесь Т1 и Т2 периоды колебаний маятников с первым и вторым цилиндром соответственно. Используя выражения (6) и (9), получим формулу для модуля кручения системы

f	c	2 2		m R12	m	2	R2	.	(10)
		T2	T2
				1			2
		1	2

В лабораторной установке рамка крепится двумя проволоками одинаковой длины. Модуль кручения одной проволоки fп будет в два раза меньше, чем двух fп = fс /2. С учетом этого из (2) и (10) получим выражение для модуля сдвига G

	2 l	f	c	2 l	m R2		m		R2
G				r4	1	1		2	2 .
	r4
		2			T2		T2
						1	2
Используя табличное значение коэффициента						Пуассона

(11)

(для cтали

=0,23 0,31), можно определить по формулам (2) и (11) модуль Юнга E.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ И ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

1.Один раз взвесить цилиндры и измерить их массы.

2.Измерить 5 раз штангенциркулем радиусы цилиндров.

3.Измерить длину проволок от точки закрепления до рамки L1 и L2. Принять за L их среднее значение: <L> = (L1 + L2)/2.

4.Измерить диаметр проволоки d микрометром.

5.Закручивая рамку с цилиндром на заданный в пределах (40 100 ) угол, определить время 10 колебаний системы с первым цилиндром. Вычислить T1. Измерения проводить 5 раз для выбранного угла.

6.Повторить измерения для системы со вторым цилиндром согласно пункту 5.

7.Вычислить по формуле (11) модуль сдвига G.

8.Приняв коэффициент Пуассона = 0,29, вычислить по формуле (3) модуль E. Сравнить модуль сдвига G и модуль Юнга E с табличными значениями для сталей и сделать вывод.

								Таблица

	L1, м	L2, м	R1, м	T1, c	R2, м	T2, c	d, м	m1=	кг
1.								m1=	кг
2.								m2=	кг
3.								m2=	кг
4.
5.
	<L>=		<R1>	< T1>	<R2>	< T2>	<d>

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Какие бывают виды деформации? Чем отличается кручение от других видов деформаций?

2.Записать закон Гука для деформации кручения.

3.От чего зависит модуль кручения?

4.Чему равен момент инерции маятника? Из чего он складывается?

5.Что такое деформация сдвига G?

6.Что такое коэффициент Пуассона ?

7.Как связаны модуль сдвига и модуль Юнга?

8.Как и почему будет изменяться 0 с ростом массы цилиндра?

2. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2.1

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОЛЯРНОЙ МАССЫ, ПЛОТНОСТИ ВОЗДУХА И КОНЦЕНТРАЦИИ МОЛЕКУЛ КИСЛОРОДА

Цель работы: определение с помощью уравнения Менделеева - Клапейрона молярной массы, плотности воздуха и концентрации молекул кислорода.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Газ состоит из непрерывно и хаотически движущихся молекул. Состояние газа количественно описывается параметрами: объемом V, давлением Р, температурой Т, массой всех молекул в заданном объеме m и молярной массой μ. Объем газа равен объему сосуда, в котором он находится. Давление равно силе, действующей на единицу площади поверхности сосуда. Оно тем больше, чем больше концентрация n0 (n0- число молекул в единице объема) и средняя кинетическая энергия его молекул < > (для одноатомной молекулы газа < > = 3kT/2). Температура Т есть мера этой энергии.

Параметры идеального газа связаны уравнением состояния Менделеева – Клапейрона

PV m RT ,		(1)

где R=8,31Дж/(Кּмоль)универсальная-	газовая постоянная. Для реальных

газов, например воздуха, уравнение (1) хорошо согласуется с экспериментом при небольших давлениях (атмосферное и ниже) и температурах порядка комнатных и выше.

При известных P,V,T и m формула (1) позволяет определить молярную массу и плотность газа. Так как плотность равна массе газа в

единице объема, то с учетом (1) получаем
	m	P
	V		,	(2)
		RT

а формула для молярной массы имеет вид:

m	RT	(3)
PV

Для определения μ из сосуда объёмом V откачивают воздух, определяют массу откачанного воздуха m и убыль давления P. В этом случае необходимо записать уравнение (1) для двух состояний: 1) начальное состояние воздуха массой m1 в сосуде при атмосферном

давлении Р1; 2) конечное состояние воздуха массой m2 оставшегося в сосуде после откачивания при давлении Р2

PV		m1	RT	;	P V		m2	RT	.	(4)


1					2

Вычитая второе уравнение из первого будем иметь
	PV			m		RT				(5)


где m m1 m2 - масса откачанного из сосуда								воздуха,		P P1 P2 -

изменение давления после откачивания.

С учетом этого формула для расчета молярной массы воздуха примет вид

m	RT	(6)
PV

Воздух представляет собой смесь, более чем на 99% состоящую из азота ( N2 ) и кислорода (O2 ). Поэтому в соответствии с законом Дальтона

давление воздуха в сосуде P складывается из суммы парциальных давлений азота и кислорода:

P P

(

O )

(7)

Здесь PN , PO , mN , mO , N , O - парциальные давления, массы, молярные

массы азота и кислорода.

Из выражения (7) следует

(8)

где m mN mO .

Откуда масса кислорода

mO в известной массе

m атмосферного

воздуха

m O

(

)

(9)

N O

Масса одной молекулы кислорода mМ определяется из отношения

mМ NO , (10)

где NА=6,023 1023 моль-1 - число Авогадро. Учитывая, что отношением mO / mM определяется число молекул кислорода N, находящихся в

откачанном из сосуда воздухе, получим расчётную формулу для определения концентрации этих молекул

n	N	mO	(11)
	V	mМ V

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.02.20167.22 Mб179metodichka_po_DP.docx
#
17.02.2016688.13 Кб306metodichka_po_OKT.doc
#
13.08.20197.96 Mб4metodichka_po_shestezvenniku_Nikitina_i_Pankov.doc
#
17.02.201683.95 Кб6Metodichka_praktika_poslednjaja_redakcija.docx
#
09.11.20191.01 Mб4Metodichka_praktika_poslednyaya_redaktsia.doc
#
17.02.20161.37 Mб936Metodichka_P_1.pdf
#
04.05.2019141.31 Кб2Metod_BFO_ochn.doc
#
17.02.20164.71 Mб17Metod_Ili_Franka_G_Uellsom_-_Voyna_mirov.pdf
#
17.02.201692.85 Кб14Metod_ru_kpo_VKR_Bakalavry.docx
#
04.09.2019347.14 Кб1Metod_Ukazania_VKR.doc
#
26.09.20192.05 Mб1Metod_Ukaz_po_preddiplom.doc