Решение линейных дифференциальных уравнений с помощью преобразований Лапласа

Идея метода в том, что решение диф. уравнения из области функции действительного переменного f(t), переносится в область комплексного переменного.

Р = a +j*ω (область комплекс переменного)

где α- вещественная часть комплексного переменного;

j *ω— мнимая часть комплексного числа.

J означает корень из минус 1, где операции решения принимает более простой вид. Вместе диф. уравнение решается алгебраически.

Полученное операторное решение переводится обратно в область действительного переменного.

Формально символ дифференцирования d/ dt заменяется оператором р.

соответственно +р² и т.д.

Символ интегрирования ƒdt заменяется 1/Р.

Функция времени f(t) соответственно преобразуется, называется оригиналом, а функция f(p), полученная в результате преобразования -изображение.

Символ р - называют оператором, форму записи уравнения -операторной.

Функция f(p) получается умножением f(t) на экспоненциальную

функцию е

F(p) = ƒf(t)*e^-pt*αt

Пример: 1) Найти изображение функции времени f(t) = е ^–pt Напишем выражение преобразования функции Лапласа и проинтегрируем:

F(p) = ƒf(t) *e^-pt *t = -l/(α+p) *e^-(α+p)t ₌ 1/(α+p)

2) оригинал функции имеет вид

Onput < О

Δлвых=

Anput > О

Изменение входной величины элемента или системы имеет

скачкообразный характер.

Для нахождения по оригинальной функции соответствующих изображений и по изображениям оригиналов существуют специальные таблицы преобразования Лапласа.

F(t) оригинал	F(p) изображение
{1}	1/Р
А{1}	А/Р
t	1/p2
t2	2/р4
tn/n	1/ Pm+1
е±2t	1 /Р±а

sinαt	1/ /(P2 +a2)
соsαt	P/(P2+a2)
t∙e-αt	1/(py+α)y2y
t* sinat	α/(P + a)2+a2
t*cosat	P+α/(P + a)2+a2

Динамическими звеньями являются: переходная функция, передаточные функции и частично передаточная функция или частные характеристики.

Переходной функцией Хвых(х) называют изменения выходной величины во времени, вызванное единичным скачкообразным изменением входной величины Хвх = 1.

Переходную функцию получают постановкой диф. уравнения или уравнения в операторной форме переходного процесса Хвх =1.

Для диф уравнения

T*dХХвы/dt₊ТХХвы=КХвх

Предположим что Хвх = 1, то получим

dXXвы

Т + ТХХвы = К

dt

Но режим этого уравнения относительно Хвых, найдем по Лапласу его

изображение:

Тррхвы + ТХХвы = К

Хвых = К/Т((+1)переходная функция для диф. уравнения

Графически изображение переходных функций зависит от динамических свойств звена и характера внесенных воздействий, и имеет вид аналогичных переходным процессам только с уменьшением ординате в Хвх раз.

Передаточной функций w(p) звена или системы называют отношение изображения по Лапласу выходной величины к отношению изображения

входной величины при нулевых начальных условиях.

Передаточная функция из диф уравнения звена или системы записанной в операторной форме.

Так для диф уравнения

Т* dХХвы/dt+XХвх

Найдем изображение функции по Лапласу

Хвых(Тр +1) = КХвх

Разделим обе части на Хвх и решим относительно Vbx/Xbx:

Хвых/Хвх = К/Т_p-1 =W(p)

Передаточная функция

Частотой характеристикой называют функцию частоты, описывающей изменение амплитуды и фазы гармонических колебаний выходной величины элемента. Частотные характеристики отличаются от функции входного воздействия только по амплитуде и фазе.

Частотные характеристики САР

Их понятие следует из преобразований Фурье, являющегося частным случаем преобразования Лапласа. Аналогично ему преобразование Фурье представляет собой функциональное преобразование

F(jw)=∫f(t)e-^JWt,dt

о

Заметим, что частотная характеристика получается из изображения функции по Лапласу, в котором Р заменяют на jco. Например, изображение по Фурье функции

Если на выход звена подать сигнал Хвх = Авх * sin ωt, то по окончании переходного процесса в звене на его выходе установится тот же гармонич сигнал, но с амплитудой Авх = ΔХ2 и отставание его по фазе на угол ср.

Хвх=Авых* sin(wt+φ)

Хвх

Зависимость отклонения амплитуды гармонических колебаний на выходе системы или звена к амплитуде колебаний на его выходе от частоты называется амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ).

A(w) = Авых / Авх

Зависимость разности фаз выходных входных гармоничных колебаний называется фазо-частотной характеристикой (ФЧХ).

φ(w) = φ вых - φ вх

Отношение выходного гармоничного сигнала звена или системы к входному гармоническому сигналу, выраженная в комплексной форме называется амплитудно-фазовой характеристикой (АФХ) или частотной передаточной функцией.

АФХ объединяет АЧХ и ФЧХ и является комплексной функцией частоты и как видное комплексное число м.б. представлено в 3-х формах записи:

1) в виде суммы вещественной и мнимой частей

W(jω) = Re(ω)+jJm(ω)

2) в тригонометрической форме

W (jω) = А(ω) * [cos(φ (ω) + jsin(φ(ω)]

3) в показательной форме

W(jω) = A*ω*e^jф(ω) Т.к, согласно теореме Эйлера:

cos(ω) +jsin(φ(ω)) = e^jф(ω) приведенных формулах А(ω) - модуль,φ(ω) - фаза

причем:

Пример

Построить АФХ системы, описываемой дифф. уравнениями:

Преобразуем с учетом того, что J² = - 1

Избавимся от мнимости в знаменателе, умножив его на сопряженное

Подставляя в Re и Jm значения ω от 0 до °° , находим координаты точек на комплексной плоскости, кот являются концами векторов, проведенных из начало координат, соединяя эти концы векторов плавной

кривой, получили АФХ.

w 0 0.01 0.02 0.03

Re(w) 40 30 +16 +6

Im(w) 0 -19 -24 -20

0.04 0.05 0.06

+4 -1.1 -2.3

-16.7 -13.3 -10

График АФХ строится по известным АЧХ и ФЧХ:

lm(w)

*■*• W

Типовые звенья САР и их характеристики

Различают 5 основных типов звеньев:

1. усилительные;

2. апериодические;

3. колебательные;

4. дифференцирующее;

5. интегрирующее.

Усилительное звено

Называется звено, у которого величина на выходе пропорцианальна величине на входе.

Уравнение усилительного звена

Хвых - К * Хвх

изменение входной величины изменение выходной величины

Передаточная функция усилит, звена

W(p) = К Wjw) = К; Re(w) = К; Im(w) = 0.

Устойчивое апериодическое звено 1 порядка

- такое звено, у кот при скачкообразном изменении величины на входе, величина на выходе апериодически стремится к новому установившемуся значению.

Диф. уравнение звена

Т*

dXXвы/dt+ ТХХвы=КХвх

Wp = K/(Tp+l)

Примеры: пассивный электр. датчик t-ры; некоторые теплообменники, могут быть RC-фильтры и h-C фильтр.

б) Неустойчивое апериодическое звено 1-го порядка

Отличается от устойчивого только знаком " - " перед входной величины Т*dXХых/dt-Xвых = КХвх - диф. уравнение

W(p) = K/(Tp-l) - передаточная функция

Колебательное звено Устойчивое колебательное звено при скачкообразном изменении входной величины

Постоянная времени Т1 характеризует процесс затухания колебаний выходной величины, const T2 характеризует их раскачивание.

Если T1/T2≤2 то это колебательный процесс 1 -го порядка,

T1/T2≤2-

апериодический 2-го порядка.

Простейшим примером колебательного звена может служить колебательный контур, а также поплавковый и диф. манолитры.

Дифференцирующее звено

В котором величина на входе пропорциональна 1 -ой производной от величины на выходе, т.е. величина на входе пропорциональна скорости изменения величины на выходе и есть диф звено. Переходная функция диф. звена

W(p) = К*Р

АФХ W(jw)=jwt/(1 + jwT)

Alm(w)

Re(w)

ФЧХ q>(w) = П/2-arctgwT

АЧХ A(w)=Wt/Vi+ w²r^:

w

Примером дифференциального звена является конденсатор и RC и LC фильтры.

Интегрирующее звено

- такое звено, в котором величина на входе пропорциональна интегралу по времени от величины на выходе, т.е. скорость изменения величины на выходе пропорциональна величине на входе. Диф уравнение интегрирующего звена:

Хввы = K/T*Xввхt

График итегрир. звена

Хвых = K*t

X в ы x

t

Передаточные функции итегр. звена

АЧХ A(w) = K/W

-»-

Примером интегрир. звена является маломощные электродвигатели у которых угловая скорость строго пропорциональна напряжению, приложенному к якорю.

Звено запаздывания

Звено, у кот выходная величина точно воспроизводит входную, только с некоторым запаздыванием по времени

ФЧХ Хвых = Хвх(t-τ)

Передаточная функция

W(p) – e^-pτ

jwτ

АФХ W(jw) = e ^–

Re(w)

АЧХ A(w) = 1

A