Методологические основы моделирования

Определение моделирования, модели, оригинала модели. Моделированием называется любой метод исследования, позволяющий получить информацию о некоторой системе (оригинале модели) путём изучения другой системы (модели).

Назначение модели и её функции. Модель системы предназначена для того, чтобы заменить её в ходе исследования или выбора технического решения. Функции модели: исследование модели помогает понять структуру системы, характер и закономерности протекающих в ней процессов, предсказать её поведение, принять правильное техническое решение в ходе проектирования и разработки системы, выбрать оптимальный режим её эксплуатации.

Натурное (физическое ) моделирование. Основой натурного (физического) моделирования служат эмпирические методы исследования - наблюдение, измерение, эксперимент, они направлены на изучение чувственно воспринимаемых объектов. В ходе натурного моделирования процессы, протекающие в модели и её оригинале качественно однородны. Примерами натурного моделирования могут служить эксперименты с моделями самолётов в аэродинамических трубах и с моделями судов в опытовых бассейнах. Оно применяется в тех случаях, когда целью исследования является не выяснение общих физических закономерностей,а детальное изучение вполне конкретного протекающего в системе с определёнными геометрическими и физическими характеристиками при заданных режимных условиях.

Аналоговое моделирование. При аналоговом моделировании физические процессы в модели и её оригинале качественно различны, однако между ними существует определённая аналогия (сходство). Например, постоянный электрический ток в проводнике можно представить с помощью течения жидкости по трубе. Физическая географическая карта является аналоговой моделью поверхности Земли, на ней с помощью цвета выделены особенности рельефа местности, кружочками обозначены населённые пункты и т. п.

Математическое моделирование. Математическое моделирование ставит в соответствие реальной или воображаемой системе математические конструкции, это теоретический метод исследования. Все естественные и общественные науки, использующие математический аппарат, занимаются математическим моделированием: заменяют реальный или воображаемый объект его математической моделью и затем её изучают. Математическое моделирование является частным случаем символьного моделирования - описания системы с помощью какого-то языка.

Математические основы моделирования систем управления

Направленные отрезки. Значения многих физических величин нельзя представить с помощью одного вещественного числа (скаляра). Перемещение частицы в пространстве, скорость частицы, её ускорение, силу изображают в виде направленных отрезков (векторов), соединющих две точки прямой, плоскости или пространства. В дальнейшем векторные величины обозначаются жирными буквами.

Координаты направленного отрезка. Координатами направленного отрезка называются его проекции на оси координат. Частным случаем направленного отрезка является радиус-вектор точки, он соединяет начало координат с этой точкой. Координаты точки M совпадают с координатами её радиуса-вектора. Для вычисления координат направленного отрезка MN следует из координат его конца (точки N ) вычесть соответствующие координаты начала (точки M );

Сложение направленных отрезков и умножение их на числа. Направленные отрезки складывают по правилу параллелограмма или по правилу треугольника. При сложении направленных отрезков их одноимённые координаты складываются, а при умножении направленного отрезка на число каждая координата умножается на это число.

Расстояние между векторами. Расстояние между векторами a, b обозначается символом | a – b |:

| a – b | = (( a₁ – b₁ )² + ( a₂ – b₂ )² + ... + ( a_n – b_n )² )^1/2,

где (a₁, a₂, …, a_n) – координаты вектора a, а (b₁, b₂, …, b_n) – координаты вектора b.

Определение функции. Величина y называется функцией величины x, если каждому значению x из некоторого множества X поставлено в соответствие по определённому правилу значение y. Множество X называется областью определения функции, а величина x - независимой переменной (иногда аргументом) функции y. Функциональная зависимость между величинами y и x, выражают так: y = f ( x ); буквой f в этом равенстве обозначено правило, которое устанавливает соответствие между x и y.

Экспоненциальная функция. Основанием экспоненциальной функции e^x или exp ( x ) служит число Эйлера e = 2.71828… . Все значения экспоненциальной функции положительны, она переводит сумму в произведение, а разность – в отношение:

exp ( x + y ) = exp ( x ) exp ( y ),

exp ( x – y ) = exp ( x ) / exp ( y ),

exp ( -x ) = 1 / exp ( x ),

exp ( 0 ) = 1.

Синус и косинус. Координаты направленного отрезка длины r, лежащего в плоскости xOy и образующего угол φ с осью Ox, равны ( r cos φ, r sin φ, 0 ). По теореме Пифагора

cos² φ + sin² φ = 1

(основное тригонометрическое тождество).

Скалярные и векторные функции. Если все значения величины y представляют собой вещественные числа, то говорят, что функция y = f ( x ) является скалярной. Векторная функция размерности n задается набором n вещественных (скалярных) функций, они называются её координатными функциями.

Определение предела. Число b называется пределом (скалярной) функции f ( x ) при x стремящемся к a, если для любого положительного числа ε можно указать такое положительное число δ, что | f ( x ) – b | < ε, когда x принадлежит области определения функции f, | ‌ x - a‌ | < δ и x не равно a. Таким образом, по мере того, как x приближается к a, f ( x ) приближается к b. Предел функции f ( x ) при x стремящемся к a обозначают символом

lim f ( x ).

x→a

Аналогично определяется предел векторной функции, в этом случае | f ( x ) – b | - расстояние между векторами f ( x ) и b.

Пределы с бесконечно удалёнными элементами. Во многих задачах наряду с обычными числами приходится рассматривать бесконечно удаленные элементы ∞, +∞, -∞. Число или вектор b называется пределом функции f ( x ) при x стремящемся к +∞, если для любого положительного числа ε можно указать такое положительное число d, что | f ( x ) – b | < ε, когда x > d.

Односторонние пределы. Предел

lim f ( x ).

x→a

x > a

(соответственно,

lim f ( x ).

x→a

x < a

) называется односторонним пределом функции f ( x ) при x стремящемся к a справа (соответственно, слева) и обозначается символом f ( a + 0 ) (соответственно, f ( a – 0 )).

Функция Хевисайда. Символом χ ( x ) будем обозначать функцию Хевисайда: χ ( x ) = 1, когда t > 0 и χ ( x ) = 0, когда x ≤ 0;

χ ( x + 0 ) = 1,

χ ( x - 0 ) = χ ( 0) = 0.

Свойства пределов. Предел постоянной функции равен этой постоянной. Если при x стремящемся к a существуют пределы lim f (x ) и lim g (x ) , то предел суммы функций f (x ), g (x ) равен сумме пределов слагаемых, предел произведения равен произведению пределов сомножителей, постоянный множитель можно выносить за знак предела.

Непрерывные функции. Функция f ( x ) называется непрерывной в точке а, если она определена в этой точке и lim f ( x ) = f ( а ) когда x стремится к a (малому приращению аргумента соответствует малое изменение функции). Если областью определения функции служит числовой интервал и она непрерывна в каждой точке этого интервала, то её график можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги.

Непрерывность элементарных функций. Элементарные функции (постоянные, степенные, показательные, тригонометрические), а также функции, которые получаются из них с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления, подстановки функции вместо аргумента другой функции и перехода к обратной функции, непрерывны во всех точках, где они определены. Функция Хевисайда терпит разрыв в нуле.

Определение производной. Производной (скалярной или векторной) функции f в точке x называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента в этой точке, когда приращение аргумента стремится к нулю. Этот предел обозначается символом f´ ( x ):

f´( x ) = lim ( f ( x + Δx ) – f ( x ) ) / Δx

Δx → 0

Вычисление производных векторной функции. Координатные функции производной векторной функции равны производным соответствующих координатных функций исходной вектор-функции.

Пример вычисления производных. Пусть f ( x ) = x, g ( x ) = x² , тогда

f´( x ) = lim ( ( x + Δx ) – x ) / Δx =

= lim Δx / Δx =1,

g´( x ) = lim ( ( x + Δx )² – x² ) / Δx = lim ( 2 x Δx + Δx²) / Δx = lim ( 2 x + Δx ) = 2 x

(Δx стремится к 0).

Правила дифференцирования

( f ( x ) + g ( x ))´ = f´( x ) + g´( x ),

( a f ( x ))´ = a f´( x )

(производная суммы функций равна сумме их производных, постоянный множитель можно выносить за знак производной);

( f ( g ( x ) )´ = f´ ( g ( x ) ) g´ ( x )

(производная композиции функций), выражение ( f ( g ( x ) )´ слева обозначает производную функции ( f ( g ( x ) ) в точке x, а выражение ( f' ( g ( x ) ) справа обозначает производную функции f в точке g ( x )

Производные элементарных функций. Производная постоянной функции равна нулю;

( x )´ = 1;

( x^a )´ = a x^a-1;

( exp ( x ))´ = exp ( x ).

Производная второго порядка. Если функция f имеет производную в каждой точке, расположенной вблизи точки x, то можно определить производную второго порядка функции f в точке x:

f΄΄( x ) = lim (( f´( x + Δx ) – f´( x ) ) / Δx )

Δx →0

Таким образом, вторая производная – это «производная производной».

Производная произвольного порядка

Производная произвольного порядка. Производная порядка k функции f ( t ) обозначается символом f^(k) ( t ):

f^(k+1) ( t ) = ( f^(k) ( t ) )'.

Гладкие функции. Функции, определённые на всей числовой прямой и обладающие производными любого порядка, называются гладкими.

Функции нескольких аргументов. Величина u называется функцией величин x, y, z, если каждому набору значений x, y, z из некоторого множества D поставлено в соответствие по определённому правилу значение u. Множество D называется областью определения функции, а величины x, y, z, - независимыми переменными (иногда аргументами) функции u. Функциональная зависимость между величинами u и x, y, z выражают так: u = f ( x, y, z ); буквой f в этом равенстве обозначено правило, которое устанавливает соответствие между u и x, y, z.

Частные производные. Частной производной функции u = f ( x, y, z ) по аргументу x называется предел

lim ( f ( x+ Δx, y, z ) - f ( x, y, z )) / Δx

Δx→0

Этот предел обозначается символом ∂f ( x, y, z ) / ∂x или ( ∂f / ∂x ) ( x, y, z ). Частная производная выражения по переменной x вычисляется по обычным правилам дифференцирования функций, пр этом считают, что значения остальных переменных фиксированы (не изменяются). Аналогично определяются частные производные по аргументам y, z.

Определение первообразной функции. Скалярная или векторная функция h ( x ) называется первообразной функции f ( x ) (скалярной или векторной), если обе они имеют одну и ту же область определения, в каждой точке которой h' ( x ) = f ( x ).

Неопределённый интеграл. Множество всех первообразных функции называется ее неопределенным интегралом и обозначается символом

∫ f ( x ) dx

Если h ( x ) – первообразная функции f ( x ), то

∫ f ( x ) dx = h ( x ) + c,

это значит, что, прибавляя к функции h ( x ) постоянные (вещественные числа или векторы), мы получим все остальные первообразные.

Интегрирование элементарных функций

∫ 0 dx = c,

∫ dx = x + c,

∫ x dx = = x ² / 2 + c,

∫ x^a dx = x^a+1 / ( a + 1 ) ( число a не равно -1 ),

∫ exp ( x ) dx = exp ( x ) + c

Интегрирование суммы функций и произведения функции на число

∫ ( f ( x )) + g ( x )) dx =

= ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx,

∫ a f ( x ) dx = a ∫ f ( x ) dx.

Правило замены переменной. Если h – первообразная функции f, то

∫ f ( g ( x ) ) g' ( x ) dx =

= ∫ h' ( g ( x )) g'( x ) dx =

= ∫ ( h ( g ( x ) ) )´ dx = h ( g ( x )) + c.

Дифференциал функции. Произведение g΄( x ) dx называют дифференциалом функции g и обозначают символом dg. Таким образом, если формула

∫ f ( g ) dg = h ( g ) + с

справедлива, когда g – независимая переменная, то она остаётся справедливой, когда g является функцией.

Определённый интеграл. Определённый интеграл функции f ( x ) в числовом промежутке [ a, b ] обозначается символом

b

∫ f ( x ) dx.

a

Если функция f ( x ) непрерывна в каждой точке интервала [ a, b ], то она имеет первообразную h ( x ) и её определённый интеграл в промежутке [ a, b ] равен разности значений функции h в точках b и a:

b

∫ f ( x ) dx = h ( b ) - h ( a).

a

Несобственные интегралы. В том случае, когда функция f ( x ) или её первообразная не определены на концах интервала, определённый интеграл вычисляют с помощью предельного перехода:

b

∫ f ( x ) dx = h ( b – 0 ) - h ( a + 0 ),

a

h ( b – 0 ) = lim h ( x ),

x→b

x<b

h ( a + 0 ) = lim h ( x ),

x→a

x<a

Несобственный интеграл:

+∞ b

∫ f ( x ) dx = lim ∫ f ( x ) dx,

a b → +∞ a

Свойства определённого интеграла

b

∫ ( f ( x ) + g ( x )) dx =

a

b b

= ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx,

a a

b b

∫ c f ( x ) dx = c ∫ f ( x ) dx,

a a

Определение комплексного числа. Комплексным числом называется выражение вида a + j b, где a, b – вещественные числа, j – специальный символ (мнимая единица). Обычно используются следующие обозначения:

a = Re ( a + j b )

( a – вещественная часть числа a + j b ),

= Im ( a + j b )

( b – мнимая часть числа a + j b ); вместо a + j b можно писать a + b j. Отметим, что в математике мнимую единицу обозначают буквой i, однако в технике эта буква используется для обозначения силы тока, поэтому символом мнимой единицы служит буква j. Вещественные числа отождествляются с комплексными числами, у которых мнимые части равны нулю.

Представление комплексных чисел с помощью векторов. Комплексное число w изображается вектором (направленным отрезком) на плоскости с заданной системой координат: вещественная часть w равна проекции направленного отрезка на горизонтальную (вещественную) ось, мнимая часть w равна проекции направленного отрезка на вертикальную (мнимую) ось.

Модуль комплексного числа. Длина | w | направленного отрезка, изображающего комплексное число, называется модулем этого комплексного числа, по теореме Пифагора

| a + j b |² = a² + b².

Алгебраические операции над комплексными числами. Векторы изображающие комплексные числа, складываются по правилам параллелограмма:

( a + j b ) + ( x + j y ) = ( a + x ) + j ( b + y )

(отдельно складываются вещественные и мнимые части слагаемых). Комплексные числа перемножаются как многочлены, причём квадрат мнимой единицы равен -1:

( a + j b ) ( x + j y ) =

= a x + j b x + a j y + j b j y =

= ( a x - b y ) + j ( a y + b x );

Комплексная функция вещественного аргумента. Комплексная функция вещественного аргумента является частным случаем векторной функции, её компонентами служат две скалярные функции.

Комплексная экспоненциальная функция. Комплексная экспоненциальная функция exp (( a + j b ) t ) ставит в соответствие каждому вещественному числу t комплексное число

exp ( a t ) ( cos ( b t ) + j sin ( a + j b t )

Свойства экспоненциальной функции

exp ( u t ) exp ( v t ) = exp (( u + v ) t );

Если Re ( u ) = 0, то

| exp ( u t ) | = 1;

если Re ( u ) < 0, то

lim exp ( u t ) = 0,

t →+∞

lim t exp ( u t ) = 0,

t →+∞

lim t^α exp ( u t ) = 0

t →+∞

для любого вещественного числа α; если же Re ( u ) > 0, то

lim | exp ( u t ) | = +∞.

t →+∞

Дифференцирование комплексной экспоненциальной функции:

( exp ( a + b j ) t )' = ( a + b j ) exp (( a + b j ) t ).

Многочлены. Функция a₀ x ⁿ + a₁ x ^n-1 +…+ a_n-1 x + a_n называется многочленом, а комплексные или вещественные числа a₀ ,… a_n - его коэффициентами; если a₀ отлично от нуля, то степень многочлена равна n. Многочлены нулевой степени являются постоянными функциями, все коэффициенты нулевого многочлена равны нулю.

Корни многочлена. Значения x, при которых многочлен обращается в нуль, называются его корнями. Многочлен степени n > 0 имеет по крайней мере один корень (комплексный или вещественный), общее количество его корней не превосходит n.

Алгебраические дроби. Алгебраической дробью называется отношение двух многочленов.

Определение преобразования Лапласа. Комплексная функция комплексного аргумента F ( s ) называется преобразованием Лапласа вещественной или комплексной функции вещественного аргумента f ( t ), определённой на интервале ] 0, +∞ [, если для любого s, принадлежащего области определения функции F, справедливо равенство

+∞

F ( s ) = ∫ f ( t ) exp ( - s t ) dt .

0

Часто преобразование Лапласа функции f ( t ) записывают в виде L { f ( t )}:

+∞

L { f ( t ) } ( s ) = ∫ f ( t ) exp ( - s t ) dt.

0

Обратное преобразование Лапласа. Обратное преобразование Лапласа L^-1 { F ( s ) } ( t ) переводит функцию F ( s ) в функцию f ( t ):

L^-1 { F ( s ) } ( t ) =

+∞

= ∫ F ( σ + j τ ) exp (( σ + j τ ) t ) dτ / ( 2 π ) =

-∞

= f ( t ).

Строго говоря, вычисляя преобразование Лапласа функции f ( t ), мы используем значения функции f для положительных t. Поэтому договоримся, что f ( t ) = 0, когда t ≤ 0. Обратное преобразование Лапласа L^-1 { F ( s ) } ( t ) вычисляется для положительных значений аргумента.

Свойства преобразования Лапласа. Прямое и обратное преобразования Лапласа линейны:

L { f ( t ) + g ( t ) } ( s ) =

= L { f ( t ) } ( s ) + L { g ( t ) } ( s ),

L { a f ( t ) } ( s ) = a L { f ( t ) } ( s )

L ^-1 { F ( s ) + G ( s ) } ( t ) =

= L^-1 { F ( s ) } ( t ) + L^-1 { G ( s ) } ( t ),

L^-1 { a F ( s ) } ( t ) = a L^-1 { F ( s ) } ( t )

для любого вещественного или комплексного числа a.

Таблица соответствия между оригиналами и изображениями функций. Функция, над которой выполняют операцию преобразования Лапласа, называется оригиналом преобразования, а его результат — её изображением (по Лапласу).

Оригинал Изображение

преобразования

Лапласа

f ( t ) F ( s )

g ( t ) G ( s )

c f ( t ) c F ( s )

f ( t ) + g ( t ) F ( s ) + G ( s )

χ ( t ) 1 / s

χ ( t ) exp ( u t ) 1 / ( s – u )

f ( t – c ) exp (- c s ) F ( s )

f ' ( t ) F ( s ) - f ( 0 + 0 )

Моделирование механических систем

Определение скорости частицы. Положение частицы в момент времени t задаётся её радиусом-вектором r ( t ), производная векторной функции r ( t ) называется скоростью частицы:

v ( t ) = r ' ( t ) = lim ( r ( t + Δt ) – r ( t ) ) / Δt

Δt → 0

Определение импульса. Произведение

p = m v

массы частицы на её скорость называют импульсом частицы.

Второй закон Ньютона. Второй закон Ньютона утверждает, что скорость изменения импульса частицы равна действующей на частицу силе F:

dp / dt = F.

Подставив вместо импульса его выражение получим привычную формулу:

m dv / dt = F.

Это векторное уравнение эквивалентно трём скалярным уравнениям:

m dv_x / dt = F_x,

m dv_y / dt = F_y,

m dv_z / dt = F_z,

v_x, v_y, v_z – координаты вектора скорости v, F_x, F_y, F_z, - координаты вектора силы F.

Определение работы. Пусть в момент времени t радиус-вектор частицы равен r ( t ) и на неё действует сила F ( t ), t₁ ≤ t ≤ t₂. Перемещая частицу, сила F произвела работу A, равную

t₂

∫ F ( t ) r ' ( t ) dt,

t₁

подынтегральная функция равна скалярному произведению векторов силы F ( t ) и скорости r ' ( t ) (скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений их одноимённых координат).

1. Движение частицы в однородном поле тяжести. Частица (материальная точка) падает вертикально вниз в безвоздушном пространстве под действием постоянной силы тяжести. Выберем систему координат так, чтобы плоскость Oxy совпадала с поверхностью Земли, ось Oz была направлена вертикально вверх, частица двигается вдоль оси Oz. Сила тяжести, действующая на частицу, пропорциональна её массе, коэффициент пропорциональности равен ускорению свободного падения:

3. m dv / dt = - m g

(знак 'минус' в правой части указывает, что сила тяжести направлена вниз).

5. Падение шарика. Шарик двигается вдоль вертикальной оси Oz под действием постоянной силы тяжести, сила сопротивления воздуха пропорциональна скорости шарика.

6. На шарик действуют сила притяжения Земли пропорциональна массе частицы, коэффициент пропорциональности равен ускорению свободного падения:

F_{тяжести} = - m g

(знак 'минус' в правой части указывает, что сила тяжести направлена вниз). Сила сопротивления воздуха равна – k v:

F_{сопротивления} = - k v,

знак минус указывает, что направления силы сопротивления воздуха и скорости частицы противоположны. Уравнение движенияшарика:

m dv / dt = - k v – m g.