Задание для самостоятельной работы

Написать сообщение на тему «Физические приложения производной и дифференциала функции».

Рекомендуемая литература: 1.1, 2.1, 2.4.

Самостоятельная работа №7

Тема: «Несобственные интегралы»

Цель: Формирование умения вычислять несобственные интегралы с помощью формулы Ньютона-Лейбница.

Время выполнения: 6 часов

Теоретические сведения

При рассмотрении определённых интегралов мы предполагали, что область интегрирования ограничена (более конкретно, является отрезком [a,b]); для существования определённого интеграла необходима ограниченность подынтегральной функции на [a,b].

Будем называть определённые интегралы, для которых выполняются оба эти условия собственными; интегралы, для которых нарушаются эти требования (т.е. неограниченна либо подынтегральная функция, либо область интегрирования, либо и то, и другое вместе) несобственными.

Несобственные интегралы по неограниченному промежутку (несобственные интегралы первого рода)

Пусть функция f(x) определена на полуоси и интегрируема по любому отрезку [a,b], принадлежащему этой полуоси. Предел интеграла приназывается несобственным интегралом функцииf(x) от a до и обозначается.

Итак, по определению, . Если этот предел существует и конечен, интегралназывается сходящимся; если предел не существует или бесконечен, интеграл называется расходящимся.

Пример 1.

;

этот предел не существует; следовательно, исследуемый интеграл расходится.

Пример 2 ; следовательно, интеграл сходится и равен.

Аналогично интегралу с бесконечным верхним пределом интегрирования определяется интеграл в пределах от доb : и в пределах отдо:. В последнем случаеf(x) определена на всей числовой оси, интегрируема по любому отрезку; c - произвольная (собственная) точка числовой оси; интеграл называется сходящимся, если существуют и конечны оба входящих в определение предела. Существование конечных пределов и их сумма не зависят от выбора точки c.

Пример 3.

. Интеграл сходится.

Пример 4.

следовательно, интеграл сходится и равен .

Формула Ньютона-Лейбница для несобственного интеграла.

Символом будем обозначать; символом- соответственно,; тогда можно записать

, ,,

подразумевая в каждом из этих случаев существование и конечность соответствующих пределов.

Теперь решения примеров выглядят более просто: - интеграл сходится;- интеграл расходится.

Для несобственных интегралов применимы формулы интегрирования по частям и замены переменной: ;

при замене переменной несобственный интеграл может преобразовываться в собственный.

Пример 5..

Пусть ,; если, то; еслито;

Поэтому (это уже собственный интеграл) =.

Несобственные интегралы от неограниченных функций (несобственные интегралы второго рода)

Пусть функция f(x) определена на полуинтервале (a, b], интегрируема по любому отрезку , и имеет бесконечный предел при. Несобственным интегралом отf(x) по отрезку [a, b] называется предел . Если этот предел конечен, говорят, что интеграл сходится; если предел не существует или бесконечен, говорят, что интеграл расходится.

Пример 6. - интеграл расходится;

Пример 7 - интеграл сходится.

Применение формулы Ньютона-Лейбница.

Если для функции f(x) на полуинтервале (a, b] существует первообразная F(x), то , и сходимость интеграла определяется наличием или отсутствием конечного предела. Будем писать просто, имея в виду, что если соответствующий предел конечен, то интеграл сходится, в противном случае - расходится.

Пример 8. интеграл сходится.

Пример 9 ; интеграл расходится.