7 Показатели качества системы

Для сравнительного анализа различных систем управления необходимо иметь некоторые числовые характеристики этих систем, позволяющие оценивать какая из них будет более эффективной. Эти числовые характеристики и называются критериями качества.

Система управления характеризуется различными показателями, к которым в первую очередь можно отнести: точность, устойчивость, быстродействие надежность, стоимость, оптимальность и др. Учитывая большое разнообразие систем и объектов управления, в настоящее время разработано большое число различных критериев так или иначе включающих в себя вышеприведенные показатели. Между этими показателями (критериями качества) существует тесная взаимосвязь, поэтому стремление улучшить какой-либо показатель системы управления приводит к ухудшению другого. Так, например, стремление уменьшить ошибку регулирования приводит к уменьшению запаса устойчивости и быстродействия и наоборот, или повышение надежности системы неизбежно приводит к увеличению ее стоимости.

Учитывая взаимосвязь между различными показателями систем управления задачу выбора или проектирования оптимальной системы можно рассматривать как задачу на условный экстремум. Найти экстремум (минимум и максимум) какого-либо показателя, например стоимости, при условии, что остальные показатели не превышают заранее заданной величины.

Такой постановке отвечают интегральные критерии качества, представляющие собой определенные интегралы от некоторых функций переменных системы.

Классификация показателей качества.

Наиболее полной характеристикой качества системы управления является ошибка e(t) =g(t)-y(t). Ошибкаe(t), являясь функцией от времени, не очень удобна для оценки качества систем управления. Поэтому на практике при оценке качества чаще используют числовые показатели, которые прямо или косвенно характеризуют точность воспроизведения заданного движения.

Ошибка e(t) зависит как от свойства системы управления (т. е. от уравнения), так и от внешнего воздействия. По этой причине показатели качества как характеристики свойства системы определяют при определенных внешних воздействиях, называемых типовыми.

При оценке качества в переходном режиме в качестве типового воздействия используют ступенчатую функцию, а при оценке качества в установившемся режиме — полиномы времени t:At,At², ...

Прямыми показателями качестваназываются показатели, которые получаются непосредственно по переходной характеристике. Из прямых показателей качества наиболее часто используют время регулирования и перерегулирование.

Основные прямые показатели качества системы:

• hуст - установившееся значение – конечное значение переходной характеристики;

• tн - время нарастания – время до момента, когда переходная характеристика впервые достигает значенияhуст;

• перерегулирование - ;

• время регулирования tр – время, за которое переходный процесс заканчивается (с заданной точностью).;

• число колебаний n– число колебаний переходной характеристики за времяtр. Первый выброс не учитывается;

• частота колебаний - .

Корневые показатели качества. В качестве корневых показателей используют степень устойчивости и колебательность (степень колебательности). Степенью устойчивости системы управления (или характеристического полинома) называют расстояние от мнимой оси до ближайшего корня ее характеристического уравнения.

Степень колебательности, называемая также колебательностью, косвенно характеризует колебательность системы. Если степень колебательности равна нулю, то переходный процесс будет апериодическим. В общем случае можно ожидать, что при одинаковой степени устойчивости число колебаний за время регулирования будет больше у той системы, у которой больше степень колебательности.

.

По корневым показателям качества системы можно оценить значения основных прямых показателей качества:

.

Таким образом, степень устойчивости системы является косвенной мерой быстродействия системы.

Степень колебательности, в свою очередь, является косвенной мерой устойчивости системы, причем чем величина степень колебательности меньше, тем больше запас устойчивости системы.

Частотные показатели качества. В качестве частотных показателей качества используют резонансный пик, полосу пропускания, запас устойчивости по фазе и запас устойчивости по амплитуде.

• M – частотный показатель колебательности, определяется по формуле:

;

• - резонансная частота, частота, при которой АЧХ достигает максимальное значение;

• - граничная частота полосы пропускания системы;

• - частота среза, частота при которойи затем АЧХ только убывает.

Показатель колебательности М характеризует запас устойчивости системы, чем выше показатель колебательности, тем меньше запас устойчивости. Допустимое значение М выбирается из условия М < 1,1-1,5.

Величина частоты среза косвенной характеризует быстродействие системы:

,

при

Помимо перечисленных частотных показателей качества, особое место занимают запасы устойчивости системы, которые определяются по АФХ разомкнутой системы или по ЛЧХ разомкнутой системы.

Запас устойчивости по амплитуде:

, где а – расстояние от начала координат до точки пересечения АФХ отрицательной вещественной полуоси, т.е..

Запас устойчивости по фазе:

.

По логарифмическим характеристикам запас по фазе определяется по такому же соотношению, что и для определения запаса по АФХ, а для определения запаса по амплитуде используется следующая зависимость:

.

Интегральные показатели качества системы.

Интегральными критериями (оценками) качества называются такие, которые одним числом  (интегрально) оценивают качество переходного процесса в системе. Кроме того, такие оценки обычно являются  интегральными функционалами  и выражаются в следующем виде:

где F– заданная функция, определяющая тип интегрального критерия; x(t) –  отклонение переходной функции системы от  значения h(∞),  которое установится после окончания переходного процесса, т.е.

x(t) = h(∞) – h(t). 

Для монотонного процессаинтегральной оценкой может служить функционал следующего вида:

называемый линейной интегральной оценкой качества J1. Ее численное значение равно площади под кривой переходного процесса. Очевидно, что динамика системы тем лучше, чем меньше значение J1.

Дляколебательного переходного процессаболее предпочтимой является следующая интегральная оценка:

. - квадратичная интегральная оценка качества

Недостатки рассмотренных интегральных оценок качества обусловили использование обобщенного (улучшенного) интегрального критерия, имеющего в простейшем случае следующий вид:

.

Использование интегральной оценки J3 позволяет обеспечить в системе быстро затухающий, но достаточно плавный процесс, поскольку наличие в подынтегральном выражении слагаемого ограничивает скорость изменения регулируемой величины, снижая колебательность системы. Чем больше коэффициент, тем значительнее влияние указанного слагаемого, тем более плавным будет переходный процесс, но зато и более длительным.

* правило нахождения обратной матрицы. Существует 2 способа нахождения обратной матрицы:

1. с использованием присоединенной матрицы по формуле ,

где- определитель матрицы,

- присоединенная матрица;

2. с помощью метода Гаусса;

3. используя LU/LUP-разложения.

*Решение квадратных уравнений:

1 , где квадратное уравнение вида;

2 обратная т.Виета: для уравнения вида ,.

*Теорема запаздывания. Для любого положительного числа

.