1.9. Уравнение непрерывности

Уравнение Больцмана в общем виде решить почти невозможно. На практике вместо уравнения Больцмана используют его более простые физические следствия, переходя от описания с функциями распределений к описанию с плотностями токов и концентрациями. Для того чтобы избавиться от импульсной зависимости, проинтегрируем каждое слагаемое уравнения Больцмана (1.8.2), исполь-

зуя (1.8.2), (1.8.3):

Таким образом, т.н. нулевой момент уравнения Больцмана дает уравнение непрерывности, характеризующее сохранение количества свободных носителей (для краткости опускаем рассмотрение

1.10. Уравнение баланса импульсов и диффузионнодрейфовое приближение

Домножим каждое слагаемое уравнения Больцмана (1.8.1) на проекцию скорости (или импульса, что эквивалентно в рамках используемого нами приближения) и проинтегрируем по импульсам

19

Последнее равенство в (1.10.6) обусловлено тем, что в пространстве с размерностью d имеем

поскольку все направления скоростей равноправны и для больцмановской статистики справедлив известный закон равнораспределения для d степеней свободы

Если вместо плотности потока электронов ввести плотность тока электронов jx = −qJx , то в стационарном случае уравнение

(1.10.5) превращается в выражение для диффузионно-дрейфового тока для электронов

67qμn8

где подвижность и коэффициент диффузии связаны соотношением Эйнштейна для невырожденных носителей:

20

Таким образом, мы показали, что для стационарной задачи уравнение баланса импульса (1.10.5) эквивалентно выражению для диффузионно-дрейфового тока (1.7.2), а знак плюс в (1.10.9) соответствует тому, что поток электронов направлен противоположно направлению электрического поля.

Распределение локальных температур (если это существенно и такую величину можно ввести) можно получить из уравнения баланса энергий. Это уравнение можно получить, домножая каждое слагаемое уравнения Больцмана на кинетическую энергию и интегрируя по импульсам.

1.11. Электрон как волна и длина когерентности

Из квантовой механики известно, что электроны могут интерферировать, так же как и свет. На рис. 1.2 представлена схема т.н. двухщелевого эксперимента. Электроны из источника S падают с очень малой интенсивностью на непроницаемый экран с двумя щелями. За экраном на небольшом расстоянии L расположена фотопластинка, позволяющая визуализировать распространение электронов, проходящих через щели. Если закрыть одну из щелей, то пик прошедших электронов окажется под открытой щелью. С точки зрения классической физики естественно было бы предположить, что эксперимент с двумя открытыми щелями даст два пика, соответствующим двум экспериментам с одной закрытой щелью (эти пики обозначены на рисунке штриховой линией).

В реальности эксперимент с двумя открытыми щелями может приводить к интерференционной картинке распределения интенсивности с пиком в центре между щелями, очень похожей на ту, что наблюдается при прохождении света (фотонов) через подобную структуру.

Интерференция пропадает за счет случайного взаимодействия электронов с окружающей средой (атомы, фононы, фотоны). Процессы потери когерентности иногда называются декогеренизацией (или декогеренцией). Эти процессы можно характеризовать временем и длиной когерентности. Время когерентности (или время по-

тери фазы) τϕ определяется, главным образом, неупругими про-

цессами (т.е. происходящими с изменением энергии) взаимодействия электронов с окружающей средой.

21