![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Учреждение образования «высший государственный колледж связи» числовые и степенные ряды
- •«Высшая математика»
- •Числовые ряды Числовой ряд. Общий член ряда
- •Сходящиеся и расходящиеся ряды
- •Основные свойства сходящихся рядов
- •Признаки сходимости числовых рядов
- •Необходимый признак сходимости ряда
- •Знакоположительные числовые ряды
- •Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов
- •, , …,, … (8)
- •Знакочередующиеся и знакопеременные ряды Знакочередующиеся ряды
- •Знакопеременные ряды
- •Функциональные ряды Функциональный ряд и его область сходимости
- •Степенные ряды
- •, (15)
- •Разложение элементарных функций в степенные ряды
- •Приближенные вычисления
- •С помощью степенных рядов
- •Приближенное вычисление значений
- •Некоторых функций
- •Приближенное вычисление корней
- •Приближенное вычисление определенных интегралов
- •Приближенное решение дифференциальных уравнений
- •Литература
- •Числовые и степенные ряды
- •«Высшая математика»
- •220114, Г. Минск, ул. Ф. Скорины 8, к.2
Степенные ряды
Частным случаем функциональных рядов являются степенные ряды.
Определение
Степенным рядом называется функциональный ряд
, (15)
члены
которого являются произведениями
постоянных
,
,
...,
,...
на степенные функции от разности
с целыми неотрицательными показателями
степеней.
Точка x0 называется центром степенного ряда.
Пример 20
Ряд
– степенной ряд с центром в точке
.
Ряд
– степенной ряд с центром в точке
.
Ряд
– функциональный ряд.
Исследование степенного ряда на сходимость, а именно нахождение области сходимости степенного ряда, является важной задачей теории рядов. Ее решение основано на теореме Абеля.
ТЕОРЕМА 11 (Теорема Абеля)
Если степенной ряд сходится при
, то он сходится, и притом абсолютно, для всех
, удовлетворяющих неравенству
.
Если степенной ряд расходится при
, то он расходится для всех
, удовлетворяющих неравенству
.
Доказательство
1)
Введем замену
.
Тогда получаем степенной ряд
,
точка сходимости которого
,
а неравенство, описывающее область
сходимости, примет вид
.
По
условию
числовой
ряд
сходится,
следовательно общий член
при
,
но любая последовательность, имеющая
предел ограничена, т.е. существует такое
,
что
для всех
.
Рассмотрим
общий член степенного ряда
.
,
,
так как
.
Получили
новый ряд
,
который является геометрической
прогрессией со знаменателем
,
следовательно, он сходится. Так как
,
то из первого признака сравнения следует
абсолютная сходимость исходного
степенного ряда.
2) Вторую часть теоремы можно доказать аналогично.
Геометрическая интерпретация этой теоремы
Если
ряд (1) сходится в точке
,
то он сходится и во всех точках,
расположенных ближе к центру степенного
ряда
,
чем
.
Если же ряд расходится при
,
то он расходится и во всех более удаленных
от центра ряда точках.
Опираясь
на теорему Абеля, можно доказать, что
существует такое положительное число
,
что для всех
,
удовлетворяющих неравенству
,
ряд сходится абсолютно и расходится
при всех
,
для которых
.
Число
называетсярадиусом
сходимости
ряда
,
а интервал
–интервалом
сходимости.
В
частном случае интервал сходимости
степенного ряда может совпадать со всей
числовой осью (в этом случае
)
или может превращаться в точку (в этом
случае
).
Заметим, что интервал сходимости всегда
симметричен относительно центра
степенного ряда.
Пример 21. Найти интервал сходимости степенного ряда
.
Решение
Первый способ решения
Рассмотрим
ряд, составленный из абсолютных величин
членов данного ряда:
.
Применим признак Даламбера:
.
Если
,
то ряд сходится. Итак,
,
–
интервал сходимости данного ряда.
Поведение данного ряда на концах
интервала сходимости, т.е. в точках
и
,
исследуется отдельно.
При
из данного ряда получаем ряд
,
который условно сходится.
При
получаем гармонический ряд
,
который расходится.
Второй способ решения
Если
для степенного ряда (2) существует
,
то радиус сходимости степенного ряда
можно вычислить по формуле
В
нашем случае
и
,
поэтому
.
Так
как
– центр степенного ряда, то
– интервал сходимости данного ряда.
Сходимость ряда на концах интервала сходимости исследована выше.
Итак,
данный ряд сходится абсолютно при
и условно при
.