Властивості паралельних проекцій

1. Всі властивості центрального проектування.

2. Проекції паралельних прямих паралельні.

3. Якщо точка D розділяє відрізок АВ в деякому співвідношенні, то її проекція ділить проекцію відрізка в такому ж співвідношенні: АD / DВ = А₀D₀ / D₀В₀.

1.3. Двокартинне комплексне креслення точки

Як було зазначено вище, для розв'язання зворотної задачі - визначення положення точки за її паралельними проекціями - необхідно мати дві паралельні проекції, одержані при двох напрямках проектування. Виходячи з того, що через точку можна провести тільки одну пряму, перпендикулярну до площини (тобто задати тільки один напрямок проектування S по відношенню до П₀), очевидно, що при ортогональному проектуванні для одержання двох проекцій одної точки необхідно мати дві не паралельні площини проекцій.

Гаспар Монж вперше запропонував здійснювати проектування предметів на дві взаємно перпендикулярні площини. Проектування при цьому залишається прямокутним (рис. 1.6).

Оскільки П₁П₂, а проектуючі промені SП₁ і МП₂, то лінія яка з’єднує проекції точки А  А₁А₂ перпендикулярна осі проекцій Х₁₂. А₂А₁₂Х₁₂; А₁А₁₂Х₁₂.

П₁ - горизонтальна площина проекцій; П₂ - фронтальна площина проекцій; Х₁₂ - вісь проекцій - лінія перетину площин П₁ і П₂; А₁-горизонтальна проекція точки А; А₂ - фронтальна проекція точки А. Лінія А₁А₂ (лінія, яка з’єднує горизонтальну і фронтальну проекції точки А) називається вертикальною лінією зв’язку.

Рис. 1.6 Рис. 1.7

Якщо обернути площину проекцій П₁ навколо осі Х₁₂ на кут 90⁰ до суміщення її з площиною проекцій П₂ (рис. 1.7), отримаємо плоске креслення, в якому проекції точки А₁ і А₂ розташовані на одному перпендикулярі до осі Х₁₂. Цей перпендикуляр називається вертикальною лінією зв’язку. Одержане креслення отримало назву епюр Монжа. При цьому відрізок А₂А₁₂ визначає відстань від точки А до площини П₁, а відрізок А₁А₁₂ визначає відстань від точки А до площини П₂.

Для простоти побудов надалі комплексне креслення точки в системі двох площин проекцій будемо зображати так, як показано на рисунку 1.8.

Рис. 1.8

1.4. Проекції точки на три площини

Для розв'язання окремих задач необхідно вводити в систему двох взаємно перпендикулярних площин проекцій інші площини проекцій. Розглянемо введення в систему площин П₁ і П₂ третьої площини П₃, яка перпендикулярна до заданих площин П₁ і П₂. Ця площина називається профільною площиною проекцій (рис. 1.9).

Крім осі Х₁₂ з’являються дві нові осі: Y₁₃=П₁П₃; Z₂₃=П₂П₃. Буквою О₁₂₃ позначаємо точку перетину всіх трьох осей проекцій.

Плоске комплексне креслення утворюється шляхом суміщення площин П₁ і П₃ з П₂. Для суміщення П₁ з П₂ необхідно повернути її на 90° навколо осі Х₁₂ у напрямку руху годинникової стрілки; П₃ необхідно повернути навколо осі Z₂₃ на 90° у напрямку, протилежному руху годинникової стрілки. Пряма, яка сполучає А₂ і А₃ називається горизонтальною лінією зв’язку.

Рис. 1.9 Рис. 1.10

Проекції однієї і тієї ж точки на комплексному кресленні розташовуються не довільно, а знаходяться в проекційному зв’язку (рис. 1.10), який полягає в наступному:

1. Фронтальна і горизонтальна проекції точки завжди знаходяться на одній вертикальній лінії зв’язку (А₂ А₁  OX).

2. Фронтальна і профільна проекції точки завжди знаходяться на одній горизонтальній лінії зв’язку (A₂ A₃  OZ).

3. Відстань профільної проекції точки від осі OZ дорівнює відстані горизонтальної проекції від осі ОХ (|А₁А₁₂| = |А₃ А₂₃|).