- •Вопросы и упражнения для самостоятельной работы
- •Вопросы и упражнения для самостоятельной работы
- •Вопросы и упражнения для самостоятельной работы
- •Вопросы и упражнения для самостоятельной работы
- •Вопросы и упражнения для самостоятельной работы
- •Вопросы и упражнения для самостоятельной работы
- •Вопросы и упражнения для самостоятельной работы
- •Вопросы и упражнения для самостоятельной работы
- •Ответы и указания к упражнениям
Финансовая академия при Правительстве Российской Федерации
Гисин В.Б., Зададаев С.А.
Дифференциальные уравнения.
Руководство к решению задач
Москва 2002
УДК 33:51(075.8) ББК 22.18
Г51
Рецензенты:
к.ф.-м.н. А.В. Овчинников (МГУ)
проф., д.т.н. В.А. Бывшев (ФА)
Гисин В.Б., Зададаев С.А. Дифференциальные уравнения. Руководство к решению задач. М.: Финансовая академия, 2002. 76 с.
Данное пособие представляет собой значительно переработанное издание 1998 г. В него внесены изменения и дополнения в соответствии с новым государственным образовательным стандартом по математике для экономических специальностей. В частности, теория обыкновенных дифференциальных уравнений расширена параграфами "Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель", "Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами"; введен новый параграф "Дифференциальные уравнения в частных производных. Основные понятия", в который включены общие вопросы интегрирования и теория линейных уравнений с частными производными первого порядка. Пособие дополнено новыми примерами и упражнениями, расширен круг рассматриваемых примеров, добавлены теоретические вопросы.
Руководство предназначено для самостоятельной работы студентов, изучающих курс дифференциальных уравнений, может быть рекомендовано преподавателям для проведения соответствующих семинарских занятий.
ISBN 5-7942-0293-9 |
© |
Гисин В.Б. |
|
© |
Зададаев С.А. |
© Финансовая академия при Правительстве РФ, 2002
§ 1. Дифференциальные уравнения. Общие понятия
Дифференциальное уравнение n-го порядка записывается в виде
F(x, y, y′,K, y(n) ) = 0 ,
где F – некоторая заданная функция, x – независимая переменная, y = y(x) – искомая функция, а y′, …, y(n) – ее производные. Число решений уравнения n -го порядка бесконечно. Общее решение зависит от n произвольных постоянных C1 , …, Cn . Частные решения получаются путем придания
конкретных значений этим постоянным.
График решения дифференциального уравнения 1-го порядка называется интегральной кривой. Если решение дифференциального уравнения представлено как неявная функция
Ф(x, y) = 0 ,
его называют интегралом уравнения.
Задача нахождения решения дифференциального уравнения
|
y |
(n) |
= |
′ |
(n −1) |
) , |
|
|
f (x, y, y ,..., y |
|
|||
удовлетворяющего начальным условиям |
|
|
|
|
||
y(x0 ) = y0 , |
y′(x0 ) = y0′ , …, |
y(n −1) (x0 ) = y0(n −1) , |
называется задачей Коши. Если в некоторой окрестности точки (x0 , y0 , y0′,..., y0(n−1) ) функция f не-
прерывна и имеет непрерывные частные производные по всем аргументам, начиная со второго, то задача Коши имеет единственное решение. Если известно общее решение уравнения, начальные условия приводят к системе уравнений для определения постоянных C1 , …, Cn .
П ри ме р ы
1. Проверить, |
что |
функция |
y = ex cos x |
является |
решением |
уравнения |
y′′+ y′− y = −3ex sin x . |
|
|
|
|
|
|
Ре ш е н и е . Имеем:
y′ = ex cos x − ex sin x , y′′ = −2ex sin x .
Отсюда
y′′+ y′− y = −2ex cos x + ex cos x − ex sin x − ex cos x ≡ −3ex sin x .
2. Найти кривую семейства y = C1e−x +C2 sin x , для которой y(0) =1 , y′(0) = 2 .
Ре ш е н и е . Имеем:
y′ = −C1e−x +C2 cos x ,
так что
y(0) = C1 , y′(0) = −C1 +C2 .
Значит, C1 =1 и −C1 +C2 = 2 , откуда C2 = 3 .
3. Найти дифференциальное уравнение семейства квадратичных парабол, проходящих через точку (0; 1) .
Ре ш е н и е . В общем виде уравнение параболы, проходящей через точку (0,1) , имеет вид
y = ax2 + bx +1.
Дифференцируя, получаем
y′ = 2ax + b , y′′ = 2a .
Выражаем параметры a и b через производные функции y : a = y′′/ 2 , b = y′− xy′′.
Подстановка найденных выражений в общее уравнение параболы дает искомое дифференциальное уравнение:
y = x2 y′′/ 2 + x( y′− xy′′) +1,
или, после упрощений:
x2 y′′− 2xy′+ 2 y − 2 = 0 .
4. Показать, что всякое решение уравнения y′ = x − y имеет вид y = x −1 +Ce−x .
Ре ш е н и е . При любом начальном условии y(x0 ) = y0 данное уравнение имеет единственное решение. Его можно записать в указанном виде, полагая C = ( y0 − x0 +1)ex0 .
Вопросы и упражнения для самостоятельной работы
1.Выяснить, является ли указанная функция решением соответствующего дифференциального уравнения:
а) xy′−2 y +2 = 0 ; |
б) y′′+ y = 0 , y = 2 sin x +3cos x ; |
в) y′′−2 y′+ y = 0 , |
y = x2ex ; |
г) yy′′′= 2 , y = x2 ln x +C1x2 +C2 x +C3 .
2.Найти значение a , при котором указанная функция является решением соответствующего дифференциального уравнения:
а) yy′= 2 , y = a x ; |
б) y′′−5y′+6 y = 0 , y = eax ; |
||||
в) yy |
′′ |
′ 2 |
′ |
, y = a tg x . |
|
|
= 2( y ) |
−2 y |
3.Показать, что следующие заданные неявно функции являются интегралами соответствующих дифференциальных уравнений:
а) (x − y +1) y′ =1 , y = x + Ce y ; |
|
||||
б) (xy − x) y |
′′ |
′ 2 |
+ ( y −2) y |
′ |
= 0 , y = ln(xy) . |
|
+ x( y ) |
|
4.Составить дифференциальные уравнения следующих семейств кривых:
а) y = Cex ; |
б) y = Cx3 ; |
в) y = a cos x + bx . |
|
5.В заданных семействах кривых найти линии, удовлетворяющие указанным начальным условиям:
а) |
y = (a + bx)e |
x |
|
′ |
=1 ; |
|
|
, y(0) = 0 , y (0) |
|||||
в) |
y = Asin(x −a) , |
′ |
|
= 0 . |
||
y(π) = −1 , y (π) |
6.Показать, что произвольная интегральная кривая уравнения y′ = x 1 +( y′)2 – это окружность единичного радиуса с центром на оси ординат.
7.Предположим, что приращение выпуска продукции за малый промежуток времени ∆t пропор-
ционально цене на продукцию p = p(t) , текущему объему q = q(t) и ∆t , т.е. ∆q = α pq ∆t . Иными словами, q′ = αpq . Будем считать, что p = p(q) и по мере насыщения рынка цена снижается, dpdq < 0 .
а) Пусть E – эластичность спроса по цене. Определить, в каком из двух случаев: при E = −0,7 или при E = −1,2 – рост выпуска прогрессирует (функция q = q(t) выпукла), а в каком замедляется (функция q = q(t) вогнута).
б) Исследовать на выпуклость функцию q = q(t) , если зависимость цены от выпуска имеет вид
p=10 −q .
8.Предположим, что приращение выпуска за малый промежуток времени ∆t пропорционально прибыли, т.е. ∆q = α( pq −c) ∆t , где p – цена продукции, а c – затраты. Пусть выпуск и цена
связаны зависимостью p =10 −q , а функция затрат имеет вид c =βq +4 , где β <10 – постоянный коэффициент.
а) Определить, при каких значениях β выпуск будет убывать независимо от начального значе-
ния q0 = q(0) .
б) При β = 5 исследовать в зависимости от значения выпуска q0 = q(0) в начальный момент: когда выпуск будет расти, а когда убывать и сохраняться неизменным.
§ 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка
Если уравнение 1-го порядка записано в виде
y′ = f (x, y) ,
то говорят, что оно записано в нормальной форме. В этом случае угловой коэффициент касательной к интегральной кривой, проходящей через точку (x0 , y0 ) , равен f (x0 , y0 ) (касание в точке (x0 , y0 ) ). Тем самым для каждой точки из области определения функции f (x, y) оказывается заданным на-
правление, а на всей области определения – поле направлений. Точки, через которые не проходит ни одна интегральная кривая или проходит более одной интегральной кривой, называются особыми точками дифференциального уравнения. Кривая, состоящая из одних особых точек, называется осо-
бым решением.
Для приближенного построения интегральной кривой, проходящей через заданную точку M0 (x0 , y0 ) в заданном поле направлений, можно использовать метод Эйлера. Кривую заменяют ло-
маной с вершинами Mi (xi , yi ) – такой, что x1 = x0 + h , x2 = x1 + h , …, и каждое звено Mi Mi +1 касается интегральной кривой в точке Mi , т.е. yi+1 = yi + hf (xi , yi ) .
П ри ме р ы
1. Пусть y′ = y и y(0) =1 . Методом Эйлера найти y(1) . Ре ш е н и е . Возьмем h = 0,1 . Имеем
yi+1 = yi +0,1 yi =1,1yi .
Таким образом, |
y |
=1,110 y |
0 |
=1,110 |
≈ 2,59 . Следовательно, y(1) ≈ 2,59 . Заметим, что y = ex |
яв- |
|
10 |
|
|
|
|
ляется решением поставленной задачи Коши, так что точное значение y(1) равно e ≈ 2,72 . Дифференциальное уравнение, которое можно записать в виде
y' = p(x) g( y) ,
где p(x) и g( y) – непрерывные функции, называется уравнением с разделяющимися переменными.
Такое уравнение можно переписать в виде
gdy( y) = p(x)dx
в предположении, что g( y) ≠ 0 . Интегрируя, получаем
∫ gdy( y) = ∫ p(x)dx .
Общий интеграл исходного уравнения может быть записан в виде
G( y) = P(x) +C ,
где G( y) и P(x) – первообразные соответственно для 1g( y) и p(x) .
2. Решить следующие дифференциальные уравнения: |
|
|
|
||||||||
а) y |
′ |
= |
2 − x |
; |
б) y |
′ |
=2 y ; |
в) ylnx = y |
′ |
x . |
|
y |
|||||||||||
|
|
|
Ре ш е н и е .
а) Перепишем уравнение в виде:
(2 − x)d x = yd y .
Интегрируя обе части, получаем
∫(2 − x)d x = ∫ yd y ,
откуда 2x − x2 / 2 = y2 / 2 +C . Таким образом, полагая C = −2C , общее решение можно записать в |
||||
виде |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + y2 −4x = C . |
б) Имеем |
dy |
= 2 y , откуда |
dy |
= dx (при y ≠ 0 ). Интегрируя, находим y = x +C или |
|
dx |
|
2 y |
|
y = (x +C)2 . Решение y = 0 является особым, так как через каждую точку вида (x0 ,0) проходят две
интегральные кривые: y = (x − x0 )2 и y = 0 . в) Запишем уравнение в виде
ylnxd x = xd y .
Делим обе части уравнения на x y ≠ 0 и интегрируем:
∫lnxd (lnx) = ∫ dyy .
Отсюда 12 ln2 x = ln y +C1 . Полагая C1 = −lnC , последовательно получаем:
1 |
ln |
2 |
x + lnC = ln |
|
y |
|
|
ln x |
= ln |
|
y |
|
, |
| y |= Cx |
ln x |
( C > 0 ). |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
, ln Cx |
|
|
|
|
||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Функция y = 0 также является решением исходного уравнения. С учетом этого общее решение может быть записано в виде
y = Cxln x ,
где C – произвольная константа.
3.Найти решение задачи Коши и соответствующую интегральную кривую:
y′ = 31 −+ xy , y(4) =1 .
Ре ш е н и е . Разделяя переменные и интегрируя, получаем
∫(x −1)d x = −∫( y + 3)d y .
Отсюда
(x −21)2 = − ( y +23)2 +C .
Полагая R2 = 2C , записываем общее решение в виде
(x −1)2 + ( y + 3)2 = R2 .
Последнее уравнение задает семейство концентрических окружностей с центром (1, −3) . При
x = 4 , y =1 имеем (4 −1)2 + (1 + 3)2 = R2 , т.е. R2 = 25 . Так что через точку (4, 1) проходит окруж-
ность
(x −1)2 + ( y + 3)2 = 25 .
Уравнение вида
y′+ p(x) y = q(x) ,
где p(x) и q(x) – непрерывные функции, называется линейным. Для интегрирования линейных уравне-
ний первого порядка используют метод вариации постоянной и метод Бернулли.
4.(метод вариации постоянной). Решить уравнение:
y= (1 + x) y′− 1 +1 x .
Ре ш е н и е . Разделив обе части уравнения на 1 + x ≠ 0 , запишем его в виде
y′− |
1 |
y = |
1 |
. |
1 + x |
(1 + x)2 |
На первом этапе решаем соответствующее однородное уравнение, в котором переменные разде-
ляются: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′ |
1 |
|
|
y = 0 . |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1 + x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
Разделяя переменные, имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d y |
= |
|
d x |
|
|
, |
|
|
|
|
y ≠ 0 . |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + x |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Интегрируем и находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
y |
|
= ln |
|
x +1 |
|
+ ln |
|
C |
|
, C ≠ 0 , |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
откуда ln |
|
y |
|
= ln |
|
C(x +1) |
|
и y = C(x +1) . Получено общее решение однородного уравнения. |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
На втором этапе варьируем постоянную, т.е., |
|
|
полагая C = C(x) , ищем решение исходного урав- |
||||||||||||||||||||||||||||
нения в виде y = C(x) (x +1) . При подстановке y |
′ |
|
|
|
′ |
+1) +C(x) в исходное уравнение получа- |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
= C (x)(x |
|||||||||||||||||||||||||||||
ем: |
|
|
|
|
|
C(x)(x +1) |
1 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
C (x)(x +1) +C(x) − |
|
|
|
(1 + x) |
= |
|
. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 + x)2 |
(Взаимное уничтожение слагаемых, содержащих C(x) , может служить контролем правильности решения.) Отсюда
|
′ |
|
1 |
|
|
|
|
(1 + x)3 . |
|||
|
C (x) = |
|
|||
Беря первообразную, находим |
|
|
|
|
|
C(x) = − |
|
1 |
|
+С (С = const) . |
|
|
+ x)2 |
|
|||
2(1 |
|
|
|
Теперь записываем общее решение исходного уравнения
y= C(x)(x +1) = − 2(11+ x) +С(x +1) .
5.(метод Бернулли). Решить уравнение
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′− x2 +1 y = x x2 +1 . |
|
|
|
|
|
|
||||
Ре ш е н и е . Ищем решение в виде y |
= u v . Подставляем y |
′ |
′ |
′ |
и y = u v |
в исходное |
||||
|
= u v +uv |
|
||||||||
уравнение. После группировки членов получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
= x x |
2 |
+1 . |
|
|
|
|
|
vu′+ u v′− |
x2 +1 |
v |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выберем v так, чтобы выполнялось равенство
|
|
|
v′ |
|
2x |
|
|
|
|
|
− |
|
v = 0 . |
||
|
|
|
x2 +1 |
||||
После разделения переменных это уравнение примет вид |
|
||||||
|
dv |
= |
2x |
|
d x , |
(v ≠ 0). |
|
|
|
|
|
||||
|
v |
x2 +1 |
|
||||
Интегрированием получаем частное решение |
|
|
|
|
|||
lnv = ln(x2 +1) , |
v = x2 +1 . |
Подставляя v , получаем уравнение с разделяющимися переменными:
(x2 +1)du |
= x x2 +1 . |
||
|
|
d x |
|
Имеем |
|
|
x d x , |
|
du = |
|
|
откуда |
|
x2 +1 |
|
x |
|
|
|
u = ∫ |
d x = x2 +1 +C . |
||
|
x2 +1 |
|
Теперь получаем общее решение исходного уравнения:
y = uv = x2 +1 + C (x2 +1) .
Уравнение вида
y′+ p(x) y = f (x) yn , n ≠1,
называемое уравнением Бернулли, сводится к линейному заменой z = y1−n . Решение уравнения Бернулли можно также найти, применяя подстановку y = uv .
6.Решить уравнение x2 y2 y′+ xy3 =1 .
Ре ш е н и е . Деля на x2 y2 убеждаемся, что данное уравнение – уравнение Бернулли:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′+ |
y |
= y−2 |
1 |
. |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
x2 |
|
|
|
|
||||||||||
Полагая y = uv , имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
′ |
|
|
uv |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
u v + v u + |
|
x = |
|
|
. |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x2u2v2 |
|
|
||||||||||||||
Теперь решаем два уравнения с разделяющимися переменными: |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
v |
′ |
|
v |
|
|
|
|
′ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
+ x |
= 0 и |
|
= x2u2v2 . |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
u v |
|
|
||||||||||||||
Находим частное решение первого из этих уравнений: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
dv = − |
v |
; |
|
dv |
= − dx |
; ln v = −ln x ; v = |
1 |
. |
|||||||||||||||
|
|
|
v |
|
||||||||||||||||||||
|
dx |
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
||||||
Подставляем найденное решение во второе уравнение и получаем: |
|
|
||||||||||||||||||||||
u′ |
= |
1 |
; |
u2du = xdx ; |
u3 |
= |
x2 |
|
+ C ; |
u = 3 3x2 |
+C . |
|||||||||||||
x |
|
|
3 |
|
||||||||||||||||||||
|
u2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
2 |
|
|
|||||||||
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = |
1 |
3 |
|
3x2 |
|
+C . |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|