2 Решение обыкновенного дифференциального уравненияпервого порядка
2.1 Постановка задачи
Решению подлежит обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка (ОДУ1) (2.1).
,
(2.1)
где - время,
X– безразмерное значение воздействия,
Y- безразмерное значение реакции объекта,
А. К – коэффициенты отражающие свойства объекта.
Воздействие описывается выражением (2.2).
.
(2.2)
Аналитическое решение уравнения (2.1) при воздействии (2.2) имеет вид (2.3).
,
где 
(2.3)
2.2 Решение ОДУ1 разностным методом (неявная разностная схема)
,
откуда
, (2.4)
где
.
Абсолютные условия устойчивости:
или
.
2.3 Решение ОДУ1 разностным методом (Аналитико-сеточный B=)
,
(2.5)
где 
.
Абсолютное условио устойчивости
выполняется всегда
.
2.4 Реализация численных решений в среде Excel
Результаты решения уравнения (2.1) при воздействии (2.2) представлено в таблице 2.2. и на рис. 2.1.
Для тестирования правильности выполнения вычислений приняты следующие значения исходных данных (Таблица 2.1).
Таблица 2.1 – Исходные данные
|
A= |
1,6 |
a0= |
0 |
a4= |
0,7 |
|
K= |
5,5 |
a1= |
0,6 |
|
|
|
Y0= |
0 |
a2= |
0,5 |
|
|
|
Dt= |
0,05 |
a3= |
-0,6 |
|
|
Таблица 2.2 – Результаты решения
|
i |
t |
X |
Ya |
Yас |
Yня |
DYас |
DYня |
dYас, % |
dYня, % |
|
1 |
0 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
0,0000 |
0,0000 |
0,00 |
0,00 |
|
2 |
0,05 |
0,031 |
0,001 |
0,003 |
0,005 |
0,0016 |
0,0042 |
0,14 |
0,35 |
|
3 |
0,1 |
0,064 |
0,004 |
0,009 |
0,016 |
0,0047 |
0,0114 |
0,39 |
0,94 |
|
4 |
0,15 |
0,100 |
0,011 |
0,018 |
0,032 |
0,0076 |
0,0214 |
0,63 |
1,76 |
|
5 |
0,2 |
0,136 |
0,020 |
0,030 |
0,054 |
0,0103 |
0,0338 |
0,85 |
2,79 |
|
6 |
0,25 |
0,175 |
0,033 |
0,046 |
0,081 |
0,0127 |
0,0482 |
1,05 |
3,98 |
|
7 |
0,3 |
0,214 |
0,050 |
0,065 |
0,114 |
0,0148 |
0,0644 |
1,22 |
5,31 |
|
8 |
0,35 |
0,256 |
0,072 |
0,088 |
0,154 |
0,0165 |
0,0819 |
1,37 |
6,76 |
|
9 |
0,4 |
0,300 |
0,099 |
0,117 |
0,199 |
0,0177 |
0,1001 |
1,46 |
8,26 |
|
10 |
0,45 |
0,345 |
0,132 |
0,150 |
0,250 |
0,0182 |
0,1182 |
1,50 |
9,76 |
|
11 |
0,5 |
0,394 |
0,173 |
0,191 |
0,308 |
0,0176 |
0,1354 |
1,45 |
11,17 |
|
12 |
0,55 |
0,445 |
0,223 |
0,239 |
0,373 |
0,0157 |
0,1503 |
1,29 |
12,40 |
|
13 |
0,6 |
0,501 |
0,285 |
0,296 |
0,446 |
0,0117 |
0,1610 |
0,97 |
13,28 |
|
14 |
0,65 |
0,561 |
0,361 |
0,366 |
0,526 |
0,0050 |
0,1649 |
0,41 |
13,60 |
|
15 |
0,7 |
0,627 |
0,456 |
0,450 |
0,614 |
-0,0058 |
0,1582 |
-0,47 |
13,06 |
|
16 |
0,75 |
0,700 |
0,577 |
0,554 |
0,712 |
-0,0224 |
0,1355 |
-1,85 |
11,18 |
|
17 |
0,8 |
0,780 |
0,732 |
0,684 |
0,821 |
-0,0481 |
0,0883 |
-3,97 |
7,29 |
|
18 |
0,85 |
0,868 |
0,937 |
0,849 |
0,940 |
-0,0875 |
0,0038 |
-7,22 |
0,31 |
|
19 |
0,9 |
0,967 |
1,212 |
1,063 |
1,073 |
-0,1488 |
-0,1389 |
-12,28 |
-11,46 |
Условные обозначения:
Ya,Yня, Yас – соответственно решения уравнения (2.1): аналитическое, неявным методом и аналитико-сеточным методом при постоянном на отрезке интегрирования значения воздействия,
Yня,Yас – соответственно абсолютная погрешность решения уравнения (2.1) неявным методом и аналитико-сеточным методом,
Yня,Yас – соответственно относительная погрешность решения уравнения (2.1) неявным методом и аналитико-сеточным методом.
Значение относительной погрешности определялось по формуле (2.6).
.
(2.6)
Характер изменения относительных погрешностей решения приведен на рис. 2.2.
