Тема 2. Геометрическая вероятность.

Основные определения и формулы:

Пусть СЭ можно представить себе как бросание точки наудачу в некоторую геометрическую область G(на прямой, плоскости или пространстве). Элементарные исходы – это отдельные точкиG, любое событие – это подмножество этой области, ПЭИ =G. Если СЭ обладает симметрией возможных исходов, то все точкиG“равноправны” и естественно считать, что вероятность попадания точки в некоторое подмножество пропорционально его мере и не зависит от его расположения и формы. Для такого СЭ геометрическая вероятность события А определяется отношением:

Р(А) = m(A) /m(G),

Где m(G),m(A) – геометрические меры (длины, площади или объемы) всего ПЭИ и события А.

Решение типовых примеров:

Пример 1:на плоскость, разграфленную параллельными полосами шириной 2d, расстояние между осевыми линиями которых равно 2D, наудачу брошен круг радиусаr(r+d<D). Найти вероятность того, что круг пересечет некоторую полосу.

Решение :

В качестве элементарного исхода этого СЭ будем считать расстояние xот центра круга до осевой линии ближайшей к кругу полосы. Тогда все ПЭИ – это отрезокG= {x: 0xD}. Пересечение круга с полосой произойдет в том случае, если его центр попадет в полосу, т.е. 0xd, или будет находится от края полосы на расстоянии меньшем чем радиус, т.е.dxd+r.

Для искомой вероятности получаем:

Р(А) = (d+r) /D.

Пример 2.По радиоканалу в течение промежутка времени (0;Т) передаются два сигнала длительностью Т₁<Т/2; каждый из них с одинаковой возможностью начинается в любой момент интервала (0;Т-Т₁). Если сигналы перекроют друг друга хотя бы частично, оба они искажаются. Найти вероятность принятия сигналов без искажений.

Решение :

Обозначим через хмомент начала первого сигнала,у– второго. Все ПЭИ можно представить в виде квадрата:

G = {(x,y): 0<x<T-T₁, 0<x<T-T₁}.

Сигналы не п0ерекроются, если длительность Т₁меньше, чем время между началами сигналов, т.е. интересующее нас событие:

А = “сигналы не искажены”= {(x,y): |x–y|>T₁}.

Это множество состоит из двух одинаковых равнобедренных треугольников в углах квадрата G, катеты которых равны Т – 2Т₁. Поэтому вероятность равна:

Р(А) = (Т – 2Т₁)² / (Т – Т₁)²

Тема 3. Теоремы сложения и умножения.

Основные определения и формулы:

Суммасобытий А и В есть событиеА+В, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий А или В.

Произведениесобытий А и В есть событиеА*В, состоящее в совместном наступлении обоих событий А и В.

События называются несовместными, если их совместное наступление невозможно.

Противоположное событие для события А есть событие А, состоящее в ненаступлении события А. События А и А – несовместны, а их сумма совпадает с ПЭИ.

Некоторые свойства:

Вероятность события А, вычисленная в предположении, что событие В произошло, называется условной вероятностьюР(А/В).

События А и В называются независимыми, если Р(А/В) = Р(А) (или Р(В/А) = Р(В)).

Теорема умножения 1.(ТУ1): Р(АВ) = Р(А)*Р(В/А) = Р(В)*Р(А/В).

ТУ 2.: вероятность совместного наступления независимых событий равна произведению их вероятностей.

Теорема сложения 1.(ТС1): вероятность суммы попарно несовместных событий равна сумме их вероятностей.

ТС 2.: Р(А) = 1 – Р(А).

ТС 3.: Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ).

Решение типовых примеров :

Пример 1.Из урны, содержащей 5 красных и 7 белых шаров, наудачу извлекают по одному два шара. Найти вероятности событий :

В– извлеченные шары – белые;

С– только первый извлеченный шар – белый;

D– только один извлеченный шар – белый.

Рассмотреть два случая: а) извлечения без возвращения; б) извлечения с возвращением.

Решение :

Обозначим : А_к–к-й извлеченный шар – белый,к= 1 .. 2. Тогда

а)если 1^йшар не возвращают в урну, то вероятности событий, связанных со вторым извлечением зависят от исхода первого, т.е. А₁и А₂– зависимые события и поэтому:

.

Условную вероятность нашли, рассуждая так: после того, как событие А₁произошло, т.е. первый извлеченный шар был белый, второе извлечение осуществляется из урны, содержащей 5 красных и 6 белых (7 – 1 = 6) шаров. Поэтому Р(А₂ /А₁) = 6 /11.

Аналогично .

Слагаемые в записи события Dявляются несовместными, поэтому:

.

б)в случае возвращения извлеченного шара извлечения становятся независимыми испытаниями, а значит и события, связанные с ними – независимые, причем Р(А₁) = Р(А₂) = 7/12. Поэтому:

Р(В) = (7 / 12)²; Р(С) =; Р(D) =.

Пример 2.Из колоды карт (36 карт, 4 масти) извлекают наудачу сразу 3 карты. Найти вероятности событий :

А– среди извлеченных карт есть 2 бубныили2 туза;

В– извлечена хотя бы одна дома.

Решение :

Событие А – это сумма событий : А₁– среди извлеченных карт есть 2 бубны, А₂– среди извлеченных карт есть 2 туза. Эти события – совместные и их произведение А₁*А₂– среди извлеченных карт есть 2 бубны и 2 туза – может осуществиться только так : среди извлеченных карт есть туз бубновый, еще один туз из трех “не бубновых” и еще одна бубна из восьми “нетузов”. Поэтому n(A₁A₂) = .

Применяя ТС3 и классическую формулу вычисления вероятности, находим :

Р(А) = Р(А₁) + Р(А₂) – Р(А₁А₂) ==

= .

Чтобы найти Р(В), перейдем к противоположному событию : – среди извлеченных нет дам, т.е. все “не дамы” :

Пример 3.Вероятность попадания в цель в каждом изnнезависимых выстрелов равнар. выразить черезnирвероятностьРхотя бы одного попадания вnвыстрелах.

1. Найти Р для n= 3, р = 0,7 ;

2. Пусть р = 0,6. Сколько выстрелов нужно сделать, чтобы с вероятностью не меньшей 0,97 попасть хотя бы один раз?

3. Пусть n= 5. Какова должна быть вероятность попадания р в каждом выстреле, что бы с вероятностью не меньшей 0,95 попасть хотя бы один раз?

Решение :

Обозначим через А_к– “попадание” и– “промах” прик-ом выстреле. Тогда для событияВ– хотя бы одно попадание вnвыстрелах, можно записать:

Применяя ТС1 и ТУ2, получим:

Р(В) = 1 – Р(В) = 1 – Р(А₁)* Р(А₂)* … * Р(А_n) = 1 – (1 – Р(А₁))ⁿ

Итак, Р = 1 – (1 – р)ⁿ.

1. вероятность хотя бы одного попадания в 3^хвыстрелах (при условии, что при каждом выстреле вероятность попадания равна 0,7):

Р = 1 – (1 – 0,7)³= 0,973

2. нахождение требуемого числа выстрелов nсводится к решению неравенства :

0,97 1 – (1 – 0,6)ⁿили 0,4ⁿ0,03.

Отсюда получаем для n:

n  lg 0,03 / lg 0,4 = 3,83

Итак, необходимо сделать не менее 4^хвыстрелов.

3. искомая вероятность р удовлетворяет неравенству:

1 – (1 – р)⁵0,95 или (1 – р)

Отсюда получаем: р0,451.

Пример 4.Первый стрелок попадает в цель с вероятностьюр₁, а второй –р₂. Найти вероятности событий :

В– попал толькопервыйстрелок;

С– попал толькоодинстрелок;

D– попалхотя бы одинстрелок.

если каждый сделал по одному выстрелу.

Решение :

Обозначим через A_i– попадание,– промахi-го стрелка,i= 1 .. 2. “Попал только первый” подразумевает, что второй промахнулся, т.е.“Попадание только одного” есть сумма двух слагаемых : “попал только первый” и “попал только второй”, т.е.Для событияDможно написать различные представления:

D=A₁+A₂(слагаемые совместные);

D=C+A₁A₂(слагаемые несовместные);

D= “не попал ни один” =

Теоремы сложения и умножения позволяют найти требуемые вероятности :

Р(В) = р₁*(1 – р₂);

Р(С) = р₁*(1 – р₂) + р₂*(1 – р₁);

Пример 5.Независимые события производятся до тех пор, пока не произойдет событиеА, причем: вероятность появленияАв каждом испытании одна и та же и равнар. найти вероятности событий :

В– опыт закончится на третьем испытании;

С– потребуется нечетное число испытаний;

D– потребуется не менее трех испытаний.

Решение :

Обозначим через А_к– появление и– непоявление события А вк-ом испытании, к = 1, 2, … . По условию Р(А_к) = р,. Окончание опыта на третьем испытании означает, что в первых двух испытаниях событие А не происходило, а в третьем – произошло, т.е. В = А₁*А₂*А₃.

В общем случае, если B_n– опыт закончится нап-ом испытании, - то можно записать:

В = А₁*А₂* …*А_{n – 1}*A_n и C = .

Для события Dможно записать аналогичное равенство:

D= .

Можно также рассмотреть – менее трех испытаний, т.е. “два испытания или одно”:D= Но лучше рассуждать так: потребуется три и более испытаний только тогда, когда в первых двух событие А не произошло, т.е.D=

Используя теоремы сложения и умножения, получаем:

Р(В) = q²*p;P(D) =q²;

P(C) =