1.4. Прямая и обратная задачи теории погрешностей

Рассмотрим общий случай вычисления функций, когда аргумент есть приближенное число.

В этом случае абсолютная погрешность функции равна произведению абсолютной величины ее производной на абсолютную погрешность аргумента.

Другими словами, если у=f(x) есть заданная аналитическая функция, то ее абсолютная погрешность _y, вызываемая абсолютной погрешностью _х аргумента х, будет с точностью до малых величин высшего порядка (относительно _х) определяться функцией _y=_х|f(x)|.

Действительно, разлагая функцию в ряд Тейлора и удерживая в нем только первые два слагаемых, имеем

y(x+_x) = f(x+_x) = f(x)+f(x)_x.

_y = |y(x+_х)-y(x)|.

y(x+_x)-f(x) =f(x)_x.

_y = |y(x+_x)-f(x)| = |f(x)|_x.

Относительная погрешность функции y=f(x)

_y = _x.

В общем случае, если заданы дифференцируемая функция y=f(x₁,x₂,...,x_n) и даны абсолютные погрешности аргументов, то предельная абсолютная погрешность функции y

_y = _xi,

а предельная относительная погрешность функции

_y = _xi,

На практике важна также обратная задача: каковы должны быть абсолютные погрешности аргументов функции, чтобы абсолютная погрешность функции не превышала заданной величины. Эта задача математически не определена, т.к. заданную предельную погрешность y функции y=f(x₁,x₂,...,x_n) можно обеспечить, устанавливая по-разному предельные абсолютные погрешности ее аргументов.

Простейшее решение обратной задачи дается так называемым принципом равных влияний. Согласно этому принципу предполагается, что все частные дифференциалы: одинаково влияют на образование общей абсолютной погрешностиy функции y=f(x₁,x₂,...,x_n).

Пусть величина предельной абсолютной погрешности y задана. Тогда y = x_i (1.2)

Предполагая, что все слагаемые равны между собой, будем иметь

= .

Отсюда

x_i = . (1.3)

Пример: Радиус основания цилиндра R2 м, высота цилиндра H3 м. С какими абсолютными погрешностями нужно определить R и H, чтобы объем V можно было бы вычислить с точностью до 0.1 м³?

Решение: Имеем V=R²H и v = 0,1 м³, полагая R=2 м, H=3 м, =3,14, =R²H=12; =2RH=37.7; =R²=12.6.

Отсюда, так как n=3, получим

=<0.003, _R=<0.001, _H=<0.003.

Нередко при решении обратной задачи по принципу равных влияний мы можем столкнуться с таким случаем, когда найденные по формуле (1.3) предельные абсолютные погрешности отдельных независимых переменных окажутся настолько малыми, что добиться соответствующей точности при измерении этих величин практически невозможно. В таких случаях следует отступить от принципа равных влияний и, за счет разумного уменьшения погрешностей одной части переменных, добиться увеличения погрешностей другой части переменных.

Пример: Пусть необходимо определить: С какой точностью надо измерить радиус круга R=30,5 см и со сколькими знаками взять , чтобы площадь круга S была известна с точностью до 0,1 %?

Решение: Имеем S=R² и ln S=ln +2lnR, отсюда S/S=/+2R/R=0.001. По принципу равных влияний следует положить /=0.0005, 2R/R=0.0005, тогда ≤0.0016 и R≤0.00025R=0,0076 см. Таким образом, следовало бы взять =3.14 и R с точностью до тысячных долей сантиметра. Ясно, что такая точность практически трудно осуществима. Поэтому выгоднее поступить следующим образом: взять =3.142, отсюда /=0.00013, тогда 2R/R=0.001-0.00013=0.00087 и R≤0.013 см.

Такая точность достигается сравнительно легко. Иногда допускают, что предельная абсолютная погрешность всех аргументов х_i (i=) одна и та же. Тогда, полагаях₁=х₂==х_n, из формулы (1.2) будем иметь

х_i=y/ (i=).

Наконец, можно предположить, что точность измерения всех аргументов x_i одинакова, т.е. предельные относительные погрешности x_i аргументов равны между собой: x₁=x₂==x_n, отсюда получим =k, где k - общее значение отношений, следовательно, x_i=k|x_i| (i=). Подставляя эти значения в формулу (1.2), находим

y = k и k = .

Таким образом, окончательно имеем:

x_i=

Можно также использовать и другие варианты.

Аналогично решается вторая обратная задача теории погрешности, когда задана предельная относительная погрешность функции и ищутся предельные абсолютные или относительные погрешности аргумента.

Иногда в самой постановке задачи присутствуют условия, не позволяющие использовать принцип равных влияний.

Пример: Стороны прямоугольника а5 м и в200 м. Какова допустимая предельная абсолютная погрешность при измерении этих сторон, одинаковая для обеих сторон, чтобы площадь S прямоугольника можно было определить с предельной погрешностью 1м²?

Решение. Так как S=ab, то sba+ab, а поскольку согласно условия a=b, поэтому