Линейные операторы в евклидовом и унитарном пространствах

Теорема. Пусть -- линейный оператор в евклидовом (унитарном) пространстве. Сопоставим ему билинейную (полуторалинейную) функцию , . Это соответствие является биекцией между операторами и билинейными (полуторалинейными) функциями.

Рассмотрим билинейную (полуторалинейную) функцию , заданную формулой . Тогда матрица для функции в ортонормированном базисе -- это матрица , т.е. . Будем говорить, что функция определяет сопряженный оператор . Более подробно

Определение. Сопряженным оператором к оператору называется такой оператор , который удовлетворяет равенству .

Определение. Оператор называется самосопряженным или симметричным (эрмитовым), если , т.е. . Оператор называется кососимметричным ( косоэрмитовым), если , т.е. . Оператор называется ортогональным (унитарным для ), если .

Теорема. Пусть -- ортонормальный базис в евклидовом (унитарном) пространстве , и -- линейный оператор. Оператор является самосопряженным (эрмитовым) тогда и только тогда, когда его матрица в базисе симметрична (эрмитова ).

14

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ  МАТРИЦЫ  ЛИНЕЙНОГО  ОПЕРАТОРА ПРИ  ПЕРЕХОДЕ  К  НОВОМУ  БАЗИСУ

Пусть V – линейное пространство, А – линейный оператор из ,  и  – два базиса в V и  – формулы перехода от базиса  к базису . Обозначим через  матрицу перехода от базиса к базису. Отметим, что ранг матрицы С равен n. Пусть и  – матрицы оператора А  в указанных базисах.

Теорема 7.1. Матрицы А и  оператора А в базисах  и  связаны соотношением .

Доказательство. При воздействии линейного оператора А вектор  пространства   переводится в вектор  этого пространства, т.е. справедливо равенство

= А                                                   (7.3)

(в старом базисе) и равенство

= А                                                 (7.4)

(в новом базисе). Так как  – матрица перехода от старого базиса к новому, то

                                                 (7.5)

                                                (7.6)

Умножим равенство (7.5) слева на матрицу , получим А = АC и с учетом (7.3)  = АC. Заменив левую часть полученного выражения в соответствии с (7.6), получим: С = АC или  = С^–1 АC. Сравнивая найденное выражение с равенством (7.4), получим доказываемую формулу.

Отсюда следует, что определитель матрицы линейного оператора не зависит от базиса.

15

Переход от одного ортонормированного базиса к другому.

Согласно определению 5.1.4. матрица , удовлетворяющая соотношению , называется ортогональной, причём для любой ортогональной матрицы справедливы равенства =||E|| и . Кроме того, в евклидовом пространстве будут справедливы следующие теоремы.

Ортогональные матрицы (и только они) в могут служить матрицами перехода от одного ортонормированного базиса к другому.

Рассмотрим два различных ортонормированных базиса и вEс матрицей перехода от первого базиса ко второму. Поскольку в этих базисах матрица Грама единичная, то из соотношения следует равенство , или . Поскольку матрица перехода невырожденная, то, окончательно, имеем .

В развернутой форме равенство принимает вид , которое для частного случая было получено в §2.9.

Теорема доказана.

16