Лекция_МОБ
.docxЛекция
Балансовые модели
1. Экономико-математическая модель МОБ
Основой построения математической модели МОБ является матрица коэффициентов прямых материальных затрат:
(3)
Коэффициент аij показывает, какое количество i-го продукта затрачивается на производство единицы j-го продукта.
Коэффициент аij является безразмерной величиной. Кроме того, из (3) следует, что 0≤ аij<1.
С учетом (3) запишем систему балансовых уравнений (1) в виде:
(4)
Введем в рассмотрение матрицу коэффициентов прямых затрат A=(aij), вектор-столбец валовой продукции Х и вектор-столбец конечной продукции Y: , . Тогда система (4) примет матричную форму:
X = AX + Y (5)
Система уравнений (4) или в матричной форме (5) называется ЭММ МОБ (моделью Леонтьева) или моделью «затраты-выпуск».
Модель позволяет решить следующие задачи:
-
По заданным объемам валовой продукции xi определить объемы конечной продукции отраслей yj:
Y = X - AX = (E - A) · X. (6)
E – единичная матрица порядка n.
-
По заданным объемам конечной продукции yj определить объемы валовой продукции отраслей xi:
X = (E - A)-1 · Y = B Y. (7)
В = (E - A)-1 – матрица коэффициентов полных материальных затрат (обратная матрица Леонтьева). Элемент этой матрицы bij показывает, каким должен быть валовой выпуск i-й отрасли xi для того, чтобы с учетом прямых и косвенных затрат обеспечить производство единицы конечного продукта j-й отрасли yj:
. (8)
Коэффициенты bij могут использоваться для определения влияния изменения объемов конечной продукции отраслей на величину валового выпуска некоторой отрасли:
, (9)
где Δxi и Δyj – изменения (приросты) величин валовой и конечной продукции.
-
По заданной матрице коэффициентов прямых затрат А определить матрицу коэффициентов полных затрат В.
Обратную матрицу В = (E - A)-1 можно вычислить, используя метод обращения с применением формулы разложения ее в матричный ряд:
В = (E - A)-1 = E + А + A2 + A3 + … + Ak + …
Матрицы A2, A3, … , Ak, … называются матрицами коэффициентов косвенных затрат 1-го, 2-го и т.д. порядков.
Таким образом, полные затраты bij включают в себя прямые (выражены коэффициентами аij) и косвенные (С = B - A - E = A2 + A3 + … + Ak + …) затраты.
Прямые затраты осуществляются непосредственно при производстве данного продукта. Они не отражают сложных взаимосвязей, в частности, обратных связей.
Косвенные затраты относятся к предшествующим стадиям производства и входят в производство продукта не прямо, а через другие (промежуточные) средства производства (или другие ингредиенты, входящие в данный продукт).
Например, на изготовление трактора в виде прямых затрат расходуется чугун, сталь и т.д., но для производства стали также нужен чугун. Затраты этого чугуна являются косвенными.
-
Задавая для ряда отраслей объемы xi, а для остальных отраслей величины yj, можно найти величины yj первых отраслей и объемы xi вторых отраслей. В этом варианте расчета удобнее пользоваться не матричной формой модели, а системой линейных уравнений (4).
2. Решение типовой задачи МОБ
Рассмотрим пример составления МОБ производства и распределения продукции для 3-х отраслевой ЭС, заданной матрицей коэффициентов прямых затрат А и вектором конечной продукции Y:
, .
Найти:
-
коэффициенты полных затрат: В = (bij);
-
плановые объемы валовой продукции: Х = (xi) = (x1, x2, x3);
-
величину межотраслевых потоков средств производства, т.е. значения xij, i=1, 2, 3; j = 1, 2, 3;
-
объемы условно-чистой продукции zj;
-
матрицу косвенных затрат С = (сij) = B - A - E.
-
По заданному вектору увеличения выпуска конечной продукции ΔY=(Δy1,Δy2,Δy3)=(20, 10, 5) определить изменение плана производства валовой продукции ΔX.
Результаты вычислений п.п. 1-4 представить в форме МОБ.
Используем уравнения МОБ
в развернутом виде:
в матричном виде: X = (E - A)-1 · Y = B Y.
-
Находим матрицу полных затрат В = (E - A)-1:
E - A = ;
Обращаем матрицу E - A, т.е. найдем В = (E - A)-1.
Вычисляем определитель Δ=|E - A|=0,511.
Так как Δ≠0, то существует матрица В = (E - A)-1, обратная заданной матрице E-A.
Находим алгебраические дополнения для элементов матрицы K = E - A:
; ;
;
;
;
.
Составляем матрицу из алгебраических дополнений:
.
Транспонируем эту матрицу (получим приведенную матрицу) и делим ее на определитель Δ=0,511; в результате получаем обратную матрицу В = (E - A)-1:
В = (E - A)-1 = .
Рассмотрим другой способ нахождения обратной матрицы В = (E - A)-1, присоединив к матрице E - A единичную матрицу и выполнив матричные преобразования:
Таким образом, матрица коэффициентов полных затрат
В = (E - A)-1 = .
-
Находим объемы производства отраслей (валовая продукция):
X = B Y = .
Следовательно, плановые объемы валовой продукции трех отраслей, необходимые для обеспечения заданного уровня конечной продукции, равны:
х1=102,197; х2=41,047; х3=26,383.
-
Рассчитываем значения межотраслевых потоков xij=aij· xj:
x11=0,3·102,2=30,7; x12=0,25·41,0=10,2; x13=0,2·26,4=5,3;
x21=0,15·102,2=15,3; x22=0,12·41,0=4,9; x23=0,03·26,4=0,8;
x31=0,1·102,2=10,2; x32=0,05·41,0=2,1; x33=0,08·26,4=2,1.
-
Результаты вычислений представим в форме МОБ. Величина условно-чистой продукции zj определяется из формулы (2) как разница между валовой продукцией отрасли xj и суммой межотраслевых потоков в каждом столбце:
.
Потребляющие отрасли (j)
Производящие отрасли (i) |
1 |
2 |
3 |
Конечный продукт yi |
Валовой продукт xi |
1 |
30,7 |
10,2 |
5,3 |
56 |
102,2 |
2 |
15,3 |
4,9 |
0,8 |
20 |
41,0 |
3 |
10,2 |
2,1 |
2,1 |
12 |
26,4 |
Условно-чистый продукт zj |
46,0 |
23,8 |
18,2 |
|
|
Валовой продукт xj |
102,2 |
41,0 |
26,4 |
|
169,6 |
Таким образом, на основе заданных матриц по уровню конечного продукта Y и коэффициентов прямых затрат A получен полностью сбалансированный план общего производства продукции и ее распределения в качестве средств производства между отраслями и в качестве продукции для конечного использования.
-
Найдем матрицу косвенных затрат по формуле: С = (сij) = B - A - E = =
-
Определяем изменение плана ΔX, которое потребуется при увеличении выпуска конечной продукции 1-й отрасли на 20 ед., 2-й – на 10 ед. и 3-й – на 5 ед.
ΔX = B ΔY =
Следовательно, потребуется увеличить выпуск валовой продукции 1-й отрасли на Δx1=38,1 ед., 2-й отрасли – на Δx2=18,2 ед., 3-й отрасли – на 10,6 ед.