1. Исследование напряженного состояния
Дано: в опасной точке упруго деформированной конструкции выделен бесконечно малый эле-мент, по граням которого действуют нормальные и касательные напряжения (рис. 1.1).
а) материал – сталь [σ] = 160 МПа, ν = 0.28, E = 2·105 МПа.
б) материал – чугун;
σx = 60 МПа, τxy = 40 МПа.
Вычислить:
величины главных напряжений и их направление анали-тически и при помощи диаграммы Мора;
максимальные касательные напряжения и положение площадок, по которым они действуют;
определить деформацию по трем главным направлениям и объемную деформацию элемента;
проверить прочность конструкции по II, III и IV теориям и оценить результаты; вычислить эквивалентные напряжения;
показать площадки разрушения (по желанию);
Решение:
1. Вычисление величин главных напряжений и их направление аналитически и с помощью кругов Мора.
а) вычисление аналитическим способом
Для нахождения главных напряжений применяем формулы для плоского напряженного состояния:
Так как вдоль оси y нормальные напряжения не действуют, то σy = 0. Тогда подставляя в выражение значения, получаем:
Тогда в силу того, что σ1 > σ2 > σ3 получаем: σ1 = σmax = 20 МПа, σ2 = 0 МПа, σ3 = σmin = -80 МПа.
Теперь определяем расположение главных площадок:
Углы α0’ и α0” отсчитываются от наибольшего нормального напряжения, в данном случае от σy (σy > σx, т.к. σy = 0 и σx < 0): угол α0’ указывает на наибольшее главное напряжение σ1 и отклады-вается по часовой стрелке (т.к. α0’ < 0), угол α0” указывает на главное напряжение на смежной пло-щадке σ3 и откладывается против часовой стрелки (т.к. α0” > 0). Показываем расположение глав-ных площадок в элементе (рис. 1.2).
б) вычисление с помощью кругов Мора
В осях σ и τ отмечаем две точки Dx(σx;τxy) и Dy(σy;τyx), в нашем случае Dx(-60;-40) и Dy(0;40) (рис. 1.3).
Проводим прямую DxDy, и из точки пере-сечения прямой с осью σ (т. C) радиусом DxC проводим окружность. Точки пересечения ок-ружности с осью σ (т. A и B) дают значения главных напряжений (т. A – σ1, т. B – σ3).
Из точки наибольшего нормального на-пряжения (т. Dy) проводим прямую, парал-лельную оси σ – получаем полюс (т. M), со-единяя полюс M с т. A и т. B, получаем на-правление главных напряжений (луч MA указывает направление σ1, MB – σ3, относительно оси y), углы между лучами и осью σ дают углы α0’ и α0”.
2. Определение максимальных касательных напряжений и положения площадок, по которым они действуют
Максимальные касательные напряжения действуют по площадкам, наклоненным под углом 45° к главным площадкам (рис. 1.4), и по величине равны:
С помощью кругов Мора максимальное касательное напряжение определяется точкой пересечения окружности и перпендикуляра, проведенного из ее центра (рис. 1.3).
3. Определение деформаций по трем главным направ-лениям и обьемной деформации
Деформации по главным направлениям по закону Гука равны:
Подставляя значения главных напряжений, получаем:
Объемная деформация примерно равна сумме линейных деформаций по главным направ-лениям (с точностью величин второго порядка этих деформаций):
4. Проверка прочности конструкции по II, III, V и оценка результатов
а) по II теории (для хрупких материалов)
II теория прочности – теория наибольших линейных деформаций, разрушение элемента, находящегося в сложном напряженном состоянии, наступит тогда, когда наибольшая линейная деформация достигнет величины, при которой в случае простого растяжения-сжатия наступает разрушение:
в нашем случае:
Эквивалентное напряжение меньше допускаемого.
б) по III теории (для пластичных материалов)
III теория прочности – теория наибольших касательных напряжений, текучесть материала на-ступит тогда, когда наибольшие касательные напряжения превысят допустимые.
в нашем случае:
Эквивалентное напряжение меньше допускаемого.
в) по V теории (для хрупких и пластичных материалов)
V теория прочности – теория Мора основана на том, что прочность материала в общем случае напряженного состояния зависит главным образом от величины и знака наибольшего и наимень-шего напряжений:
Коэффициент k – отношение допускаемых напряжений при растяжении и при сжатии:
– для стали: [σ+] ≈ [σ-] и k = 1;
– для чугуна: [σ+] = 28..80 МПа и [σ-] = 120..150 МПа, берем [σ+] = 28 МПа и [σ-] = 120 МПа, тогда k = 0,233;
Определяем эквивалентные напряжения:
– для стали:
– для чугуна:
Эквивалентные напряжения в обоих случаях меньше допускаемого.
5. Площадки разрушения
ПоIII теории прочности для пластичных материалов разрушение нагруженного элемента про-исходит под действием максимального касательного напряжения и в его плоскости действия. Рас-положение площадки разрушения по III теории представлено на рис. 1.5.