- •1. Неопределенный интеглал и его свойства
- •2. Замена переменных и интегрирование по частям
- •2.1 Замена переменных:
- •2.2 Интегрирование по частям:
- •3. Интегрирование рациональных дробей
- •4. Универсальная тригонометрическая подстановка
- •5. Интегрирование квадратных рациональных выражений
- •6. Многочлены чебышева некоторые их приложения
- •7. Определенный интеграл. Формула ньютона-лейбница
- •8. Суммы дарбу. Интегрируемость непрерывных функций
- •8.1 Суммы Дарбу:
- •8.2 Интегрируемость непрерывных функций.
- •9. Свойства определенного интеграла
- •10. Численное интегрирование. Метод симпсона
- •Список литературы
8.2 Интегрируемость непрерывных функций.
Теорема. Если функция f (x) непрерывна на отрезке , то она интегрируема на нем.
Доказательство. Так как функция f(x) непрерывна на отрезке , то по теореме Кантора она и равномерно-непрерывна на нем. Пусть дано любое . Согласно следствию из теоремы Кантора для положительного числа найдется такое, что при разбиении отрезкана частичные отрезки, длина которых , все колебания, меньше .
Отсюда
Следовательно, для непрерывной на отрезке функции f(х) выполнено достаточное условие интегрируемости, а из него вытекает существование определенного интеграла.
Как следует из теоремы, условие непрерывности функции является достаточным условием интегрируемости функции. Но это не означает, что определенный интеграл существует только для непрерывных функций. Класс интегрируемых функций гораздо шире. Так, например, существует определенный интеграл от функций, имеющих конечное число точек разрыва.
9. Свойства определенного интеграла
Определение. Если существует конечный передел интегральной суммы (1)
- (1)
при λ→0, не зависящий от способа разбиения τn отрезка [a; b] на частичные отрезки и выбора промежуточных точек ξk, то этот предел называют определенным интегралом (или интегралом Римана) от функции f(x) на отрезке [a; b] и обозначают:
Если указанный предел существует, то функция f(x) называется интегрируемой на отрезке [a; b] (или интегрируемой по Риману). При этом f(x)dx называется подынтегральным выражением, f(x) – подынтегральной функцией, х – переменной интегрирования, a и b – соответственно нижним и верхним пределами интегрирования.
Определенный интеграл есть число, равное пределу, к которому стремится интегральная сумма, в случае, когда диаметр разбиения λ стремится к нулю.
Основные свойства определенного интеграла.
Если нижний и верхний пределы интегрирования равны (a=b), то интеграл равен нулю:
Это свойство следует из определения интеграла.
Если f(x)=1, то
Действительно, так как f(x)=1, то
При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак на противоположный:
Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:
R.
Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа интегрируемых на [a; b] функций f1(x), f2(x), …, fn(x) равен алгебраической сумме определенных интегралов от слагаемых:
6 . (аддитивность определенного интеграла). Если существует интегралы ито существует также интеграли для любых чиселa, b, c;
7. Если f(x) ≥ 0 [a; b], то
a < b.
8 . (определенность определенного интеграла). Если интегрируемые функции f(x) и ц(x) удовлетворяют неравенству f(x) ≥ ц(x) [a; b], то
a >b.
9 . (об оценке определенного интеграла). Если m и М – соответственно нименьшее и наибольшее значения функции f(x), непрерывной на отрезке [a; b], то
a < b.
10. (теорема о среднем). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b], то существует такая точка [a; b], что
т. е. определенный интеграл от переменной функции равен произведению значения подынтегральной функции в некоторой промежуточной точке ξ отрезка интегрирования [a; b] и длины b-a этого отрезка.