- •Оглавление
- •1*. Определенный интеграл. Интегральная сумма. Верхняя и нижняя интегральные суммы. Их свойства.
- •2**. Ограниченность интегрируемой функции.
- •3**(-). Критерий интегрируемости ограниченной на отрезке функции.
- •4≠. Теорема об интегрируемости монотонной на отрезке, а также непрерывной на отрезке функций.
- •5*. Основные свойства определенного интеграла.
- •6*. Формула среднего значения для определенного интеграла.
- •7. Интеграл с переменным верхним пределом. Его непрерывность и дифференцируемость.
- •8. Формула Ньютона-Лейбница для определенного интеграла.
- •9. Вычисление определенного интеграла по частям и заменой переменной.
- •10. Применение определенного интеграла (площадь плоской фигуры, длина дуги кривой, объем тела вращения).
- •13. Интегральный признак Коши сходимости числового ряда.
- •28. Замена переменных в двойном интеграле. Пример: случай полярных координат.
- •29. Замена переменных в тройном интеграле. Цилиндрические и сферические координаты.
- •30. Вычисление площади гладкой поверхности, заданной параметрически и в явном виде.
- •31. Определение криволинейных интегралов первого и второго рода, их основные свойства и вычисление.
- •33. Поверхностные интегралы первого и второго рода, их основные свойства и вычисление.
- •34. Теорема Гаусса-Остроградского, ее запись в координатной и векторной (инвариантной) формах.
- •35. Формула Стокса, ее запись в координатной и векторной (инвариантной) формах.
- •36. Скалярное и векторное поля. Градиент, дивергенция, ротор. Потенциальное и соленоидальное поля.
- •37. Оператор Гамильтона. (набла) его применение (примеры).
- •38. Основные понятия, относящиеся к обыкновенным дифференциальным уравнениям (оду) первого порядка: общее и частное решения, общий интеграл, интегральная кривая. Задача Коши, ее геометрический смысл.
- •43. Уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Фундаментальная система решений (фср) однородного уравнения, общее решение неоднородного уравнения.
- •44. Система линейных дифференциальных уравнений первого порядка. Фср однородной системы. Общее решение однородной системы.
28. Замена переменных в двойном интеграле. Пример: случай полярных координат.
Вычислим интеграл , используя замену переменных . Рассмотрим интеграл как предел интегральных сумм. Область (D) сеткой кривых разделяется на частичные области Di, внутри каждой частичной области берём произвольные точки (xi, yi). Составляем интегральную сумму: , где Di – площадь i-ой частичной области. Устремим максимальный диаметр к нулю: . По определению, . Совершим замену переменных (*). При замене (*) площадь .
Если , то и , следовательно,
– якобиан преобразования (*).
Пример с полярными координатами.
29. Замена переменных в тройном интеграле. Цилиндрические и сферические координаты.
Замена переменных в тройном интеграле в общем случае.
Пусть имеется тело (V) с границей (S).
Пусть , тогда .
Замена:
Преобразование (*) будем считать взаимно-однозначным, то есть всё можно выразить друг через друга, а именно:
Пусть поверхность (Λ) задаётся параметрически, то есть:
Получаем параметрическое задание поверхности (S) (см. рис. ниже).
Два последних двойных интеграла равны, так как:
Применим к последнему выражению формулу Гаусса-Остроградского, то есть эту формулу: .
Пусть ,,, тогда:
Выражение в скобках равно нулю. Оставшееся выражение запишем так:
Это якобиан преобразования. Окончательно получаем:
А для общего случая:
Цилиндрические координаты:
Переходим от координаты M(x,y,z) к M(ρ,φ,z). Это цилиндрические координаты, где:
Получаем, что .
Сферические координаты:
Получаем элемент объёма сферических координат: .
30. Вычисление площади гладкой поверхности, заданной параметрически и в явном виде.
Рассмотрим кусок поверхностиS, заданной уравнением F=(x,y,z)=0. Пусть выполняется условие , что означает, что в каждой точке поверхности существует нормаль с направляющим вектором . Разобьем поверхность S сеткой гладких кривых на элементарные области (разбиение Z). Пусть – наибольший из диаметров элементарных областей. Если независимо от разбиения Z существует , то он и называется площадью данной поверхности. Пусть S однозначно проектируется на плоскость xy и G – это проекция. Элементу площади dxdy области G на плоскости xy соответствует элемент площади поверхности S, равный , где – угол между нормалью к поверхности S и осью Z. Поэтому вычисление площади поверхности сводится к вычислению двойного интеграла по проекции поверхности на плоскость. Если поверхность задана уравнением , , а нормаль представляет собой градиент функции, то есть: , то и площадь поверхности вычисляется по формуле:
, здесь G – проекция поверхности S на плоскость xy.
Если поверхность однозначно проектируется на другие координатные плоскости, то соответственно изменится формула вычисления площади поверхности.
Если кривая задана параметрическими уравнениями и , то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, прямыми и и отрезком [a,b] оси Ox, выражается формулой где определяются из уравнений
Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярных координатах уравнением и двумя полярными радиусами находится по формуле .
31. Определение криволинейных интегралов первого и второго рода, их основные свойства и вычисление.
Определение криволинейного интеграла первого рода, его основные свойства и вычисление.
Кривая должна быть простой кривой, то есть .
Пусть кривая будет разбита точками разбиения. Составим интегральную сумму.
Полученный интеграл называется криволинейным интегралом первого рода.
На словах можно сказать так. Если существует предел интегральной суммы (см. выше) при стремлении к нулю наибольшей из длин Δlk (то есть ), то этот предел называется криволинейным интегралом первого рода от функции f(x,y) по кривой L и обозначается символом или .
Если кривая задана не параметрически, а, к примеру, так: , тогда .
Основные свойства:
Линейность:
Аддитивность (если дуга AB составлена из двух дуг AC и CB):
Монотонность: если f<=g на L, то:
Изменение направления обхода кривой интегрирования не влияет на знак:
Оценка модуля интеграла:
Вычисление. Пусть L – кривая, как на рисунке, заданная параметрически. Пусть функция f(x,y) определена и интегрируема вдоль кривой l как криволинейный интеграл первого рода. Тогда: .
Таким образом, для вычисления по длине дуги АВ надо, используя параметрическое уравнение кривой, выразить подынтегральную функцию через параметр t, заменить dl дифференциалом дуги в зависимости от параметра t и проинтегрировать полученное выражение по t.
Определение криволинейного интеграла второго рода, его основные свойства и вычисление. Связь с интегралом первого рода.
Пусть кривая L на координатной плоскости Оху задана параметрически уравнениями. L называется простой (плоской) незамкнутой кривой, если функции, непрерывны на и различным значениям параметра t из сегмента соответствуют различные точки,. Если точка совпадает с точкой , а остальные точки не являются кратными, то L называется простой замкнутой кривой. Простая кривая L называется спрямляемой, если существует предел (длинa кривой L) длин ломаных, вписанных в кривую, при Δt → 0.
Пусть на кривой AB заданы две функции, P(x, y) и Q(x, y). Разобьем сегмент на n частей точками . Кривая АВ разобьется на n частей точками в направлении от A к B. Пусть – координаты точки ,,, – длина дуги . На каждой дуге возьмем некоторую точку (координаты ) и составим две интегральные суммы: , . Если существует предел интегральной суммы при стремлении к нулю наибольшей из длин , то этот предел называется криволинейным интегралом второго рода . Сумма называется общим криволинейным интегралом второго рода.
Из определения криволинейного интеграла второго рода следует, что при изменении направления обхода кривой AB изменяется и знак интеграла . Аналогично вводится для пространственной кривой, заданной параметрически
Криволинейные интегралы обладают теми же свойствами, что и обычные определенные: Линейность . Аддитивность: . Монотонность: если f≤g, то .
Кривая L кусочно-гладкая, если она непрерывна и распадается на конечное число не имеющих общих внутренних точек кусков, каждый из которых представляет собой гладкую кривую.
Вычисление криволинейного интеграла второго рода с помощью определенного интеграла.
Если AB – кусочно-гладкая кривая, а функции Р=Р(x,y) и Q=Q(x,y) кусочно непрерывны вдоль кривой AB, то справедливо равенство: =.
Если кривая AB задана уравнением y = у(x), a≤x≤b, и имеет кусочно-непрерывную производную, а функции P(x,y) и Q(x,y) кусочно непрерывны вдоль кривой AB, то имеет место равенство:=.
Связь между криволинейными интегралами первого и второго рода.
Пусть AB− кусочно гладкая кривая, функции Р=P(x,y) и Q=Q(x,y) кусочно непрерывны вдоль кривой AB и − единичный касательный вектор к кривой AB в точке M(x,y), причем направление соответствует направлению движения от А к В (α − угол между векторомв точке M(x, y) и осью Oх).. Для пространственной кривой справедлива аналогичная теорема:.
Из лекций:
Это и есть криволинейный интеграл второго рода.
– то же самое, только по y.
Каждый интеграл второго рода может быть сведён к первому роду.
или
32+нет доказательства!. Формула Грина. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.
Формула Грина: Если C – замкнутая граница области D и функции P(x,y) и Q(x,y) вместе со своими частными производными первого порядка непрерывны в замкнутой области D (включая границу C), то справедлива формула Грина: , причем обход вокруг контура C выбирается так, что область D остается слева.
Из лекций (не МВД2015): Пусть заданы функции P(x,y) и Q(x,y), которые непрерывны в области D вместе с частными производными первого порядка. Интеграл по границе (L), целиком лежащий в области D и содержащий все точки в области D: . Положительное направление контура такое, когда ограниченная часть контура находится слева.
Условие независимости криволинейного интеграла 2-го рода от пути интегрирования. Необходимым и достаточным условием того, что криволинейный интеграл первого рода, соединяющий точкиM1 и M2, не зависит от пути интегрирования, а зависит только от начальной и конечной точек, является равенство: .
.
.
.