- •1. Определенный интеграл. Интегральная сумма. Верхняя и нижняя интегральные суммы. Их свойства.
- •2. Ограниченность интегрируемой функции.
- •Доказательство
- •3. Критерий интегрируемости ограниченной на отрезке функции.
- •4. Теорема об интегрируемости монотонной на отрезке, а также непрерывной на отрезке функций.
- •5. Основные свойства определенного интеграла.
- •6. Формула среднего значения для определенного интеграла.
- •7. Интеграл с переменным верхним пределом. Его непрерывность и дифференцируемость.
- •8. Формула Ньютона-Лейбница для определенного интеграла.
- •9. Вычисление определенного интеграла по частям и заменой переменной.
- •10. Применение определенного интеграла (площадь плоской фигуры, длина дуги кривой, объем тела вращения).
- •11. Понятие числового ряда и его суммы. Критерий Коши сходимости ряда. Необходимое условие сходимости.
- •12. Признаки Деламбера и Коши сходимости рядов с неотрицательными членами.
- •13. Интегральный признак Коши сходимости числового ряда.
- •14. Знакопеременные числовые ряды. Абсолютная и условная сходимость. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
- •15. Функциональный ряд. Сумма ряда. Определение равномерной сходимости ряда. Критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда.
- •16. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости.
- •18. Степенной ряд. Теорема Абеля.
- •19. Радиус сходимости степенного ряда. Формула Коши-Адамара для радиуса сходимости степенного ряда.
- •21. Функции многих переменных. Понятие n-мерного евклидового пространства. Множество точек евклидового пространства. Последовательность точек и ее предел. Определение функции нескольких переменных.
- •22. Предел функции нескольких переменных. Непрерывность функции. Частные производные.
- •23. Определение дифференцируемой функции нескольких переменных и ее дифференциала. Производные и дифференциалы высших порядков.
- •24. Формула Тейлора для функции многих переменных. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума.
- •25. Двойной интеграл и его свойства. Сведение двойного интеграла к повторному.
- •27. Замена переменных в тройном интеграле. Цилиндрические и сферические координаты.
- •28. Вычисление площади гладкой поверхности, заданной параметрически и в явном виде.
- •29. Определение криволинейных интегралов первого и второго рода, их основные свойства и вычисление.
- •30. Формула Грина. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.
- •31. Поверхностные интегралы первого и второго рода, их основные свойства и вычисление.
- •32. Теорема Гаусса-Остроградского, ее запись в координатной и векторной (инвариантной) формах.
- •33. Формула Стокса, ее запись в координатной и векторной (инвариантной) формах.
- •34. Скалярное и векторное поля. Градиент, дивергенция, ротор. Потенциальное и соленоидальное поля.
- •35. Оператор Гамильтона. (набла) его применение (примеры).
- •36. Основные понятия, относящиеся к обыкновенным дифференциальным уравнениям (оду) первого порядка: общее и частное решения, общий интеграл, интегральная кривая. Задача Коши, ее геометрический смысл.
- •37. Интегрирование оду первого порядка с разделяющимися переменными и однородных.
- •38. Интегрирование линейных оду первого порядка и уравнения Бернулли.
- •39. Интегрирование оду первого порядка в полярных дифференциалах. Интегрирующий множитель.
- •40. Дифференциальные уравнения первого порядка, неразрешенные относительно производной. Метод введения параметра.
- •41. Уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Фундаментальная система решений (фср) однородного уравнения, общее решение неоднородного уравнения.
- •42. Система линейных дифференциальных уравнений первого порядка. Фср однородной системы. Общее решение однородной системы.
21. Функции многих переменных. Понятие n-мерного евклидового пространства. Множество точек евклидового пространства. Последовательность точек и ее предел. Определение функции нескольких переменных.
Выше мы говорили о функциях от одной переменной. Но можно говорить также о функциях двух, трех и вообще переменных.
Функция от двух переменных определяется следующим образом. Рассматривается множество пар чисел. При этом имеются в виду упорядоченные пары. Это значит, что две парыисчитаются равными (совпадающими) тогда и только тогда, когдаи. Если, в силу некоторого закона, каждой пареприведено в соответствие число, то говорят, что этим определена на множествефункцияот двух переменныхи.
Так как каждой паре чисел соответствует на плоскости, где введена декартова система координат, точка с абсциссойи ординатой, и, наоборот, каждой точке, таким образом, соответствует пара, то можно говорить, что наша функциязадана на множестветочек плоскости.
Функцию от двух переменных изображают в трехмерном пространстве, где задана прямоугольная система координат,,, в виде геометрического места точек, проекции которыхпринадлежат множествуопределения.
Например, таким геометрическим местом для функции
,
является верхняя половина шаровой поверхности радиуса 1 с центром в нулевой точке.
В этом же духе можно определить функцию трех переменных. Областью ее определения может теперь служить некоторое множество упорядоченных троек чисел или, что все равно, соответствующих им точек трехмерного пространства, где введена декартова система координат.
Если каждой тройке чисел (точке трехмерного пространства) , в силу некоторого закона, соответствует число, то говорят, что этим наопределена функция.
Аналогично можно рассматривать множество упорядоченных системизчисел, где- заданное натуральное число. Опять, если каждой такой системе, принадлежащей, соответствует в силу некоторого закона число, то говорят, чтоесть функция от переменных, определенная на множестве, и записывается эта функция в виде.
В случае в нашем распоряжении уже нет реального- мерного пространства, чтобы использовать его для изображения системв виде принадлежащих ему точек. Но математики выдумали-мерное пространство, и оно им благополучно служит, и притом не хуже, чем реальное трехмерное пространство. Именно,-мерным пространством называется множество всевозможных системчисел.
Если две функции иотпеременных заданы на одном и том же множествесистем- точек-мерного пространства, - то можно определить сумму, разность, произведениеи частное, как функции, определенные напри помощи равенств, аналогичных равенствам (2), где надо только числазаменить системами. Естественным образом определяются также сложные функции, такие, как, где- тройки чисел, принадлежащих некоторому множеству троек.
N-мерная евклидова геометрия — обобщение евклидовой геометрии на пространство большего числа измерений. Хотя физическое пространство является трёхмерным, и человеческие органы чувств рассчитаны на восприятие трёх измерений, N-мерная геометрия широко применяется в качестве математического инструмента при решении различного рода задач, связанных с манипулированием большим числом параметров (например, задачи оптимизации с большим числом переменных, задачи геометрической вероятности).
Система координат
Поскольку достаточно трудно работать с многомерными объектами, используя интуитивные представления трёхмерного мира, в N-мерной геометрии широко применяются аналитические методы. В качестве системы координат чаще всего используется прямоугольная декартова система с числом осей более трёх. Таким образом, некоторая точка А представляется в N-мерной геометрии как набор из N действительных чисел
Несмотря на то, что интуитивно трудно представить себе четыре взаимно перпендикулярные оси, понятие перпендикулярности естественным образом обобщается из трёхмерного пространства на случай четырёх и более измерений. Так, скалярное произведение взаимно перпендикулярных векторов в случае N измерений также равно нулю.
Евклидово пространство однородно и изотропно, то есть его свойства, в том числе и формула для расстояния, не зависят ни от положения начала координат, ни от направления осей координат. Это даёт возможность свободно вращать и переносить объекты, не изменяя их геометрических свойств.
В N-мерном пространстве существуют подпространства всех размерностей , часто называемые гиперплоскостями или k-плоскостями, где k — размерность подпространства. Термин «гиперплоскость» используется также в узком смысле для обозначения подпространства размерности N–1 (коразмерности 1). Одномерное подпространство по аналогии с обычной геометрией называется прямой, двумерное подпространство — плоскостью. Никакого принципиального различия между k-плоскостью и k-пространством нет. Название «плоскость» подчёркивает тот факт, что объект находится внутри пространства большей размерности, то есть является подпространством. Например, в 4-пространстве обычное трёхмерное пространство является 3-плоскостью.
Можно показать, что в пространстве размерности N имеет место аналогичная ситуация — подпространство размерности k задаётся системой N–k линейных уравнений:
Если каждой упорядоченной паре чисел по некоторому закону поставлено в соответствие единственное действительное число , то говорят, что задана функция двух переменных или . Числа называются при этом независимыми переменными или аргументами функции, а число – зависимой переменной.