- •Интегральное исчисление
- •1. Интегральное исчисление
- •Основные свойства неопределенного интеграла
- •Найти неопределенный интеграл .
- •Метод подстановки
- •Найти неопределенный интеграл .
- •Задача № 8
- •Теорема существования определенного интеграла
- •Вычисление объема тела вращения
- •Задача № 12
- •Двойной интеграл
- •Двойной интеграл в прямоугольных координатах
- •Вычисление двойного интеграла
- •Задача № 13
- •Задача № 14
- •Контрольная работа №4 дифференциальные уравнения
- •Задача № 1
- •Основные определения
- •Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами однородные уравнения
- •Задача № 2
- •Неоднородные уравнения случай специальной правой части
- •Задача № 3
- •Пояснение
- •Контрольная работа
- •Высшей математике (часть 2) Студента(ки) группы _________________________________________________
Вычисление двойного интеграла
Существуют два основных вида области интегрирования:
1.Область интегрирования Д ограничена слева и справа прямыми х = а,
х = в (а в), а снизу и сверху - непрерывными кривыми у = 1(х) и у =2(х)
(1(х) 2(х)), каждая из которых пересекается прямой, параллельной оси Оу, только в одной точке (рис. 1).
У
у
= (х)
у
= 1(х)
Д
Х
а
в
Рис. 1
У
х
= 1(у)
х
= 2(у)
d
Д
c
Х
Рис. 2
Вычисление двойного интеграла сводится к двукратному интегрированию
.
Интеграл называется внутренним. В немх считается постоянной. Этот интеграл вычисляется в первую очередь. А потом вычисляется внешний интеграл по переменной х.
Для того, чтобы поставить пределы внутреннего интеграла, надо посмотреть на изменение у вдоль вектора от точки входа вектора в областьД (нижний предел) до точки выхода вектора из области Д (верхний предел). Пределы внешнего интеграла всегда постоянны и показывают пределы изменения переменной х.
2. Пусть область интегрирования Д ограничена снизу и сверху прямыми
у = с, у = d (с d) , а слева и справа - непрерывными кривыми х = 1(у), х = 2(у) (1 (у) 1 (у)), каждая из которых пересекается горизонтальной прямой только в одной точке (рис. 2).
Тогда двойной интеграл по такой области вычисляется по формуле
,
причем сначала вычисляется внутренний интеграл, , в которому считается постоянной.
Задача № 13
Вычислить повторные интегралы
1.;2. .
1.
.
2.
Задача № 14
Вычислить следующие двойные интегралы по области Д, ограниченные линиями
1.; 2. .
1. ;.
D
Х
У
.
2. ;;
Y
Д
X
= =
=
Контрольная работа №4 дифференциальные уравнения
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1-ГО ПОРЯДКА
Дифференциальными уравнениями ( д. у.) 1-го порядка называются уравнение вида F(x, у, у) = 0 (1)
или у = f(x, у), что можно записать и так (1)
dу = f(x,у)dx. (1)
Обозначим через Д область существования решения (1) - (1).
Общим решением д.у. (1) - (1) называется функция у =, (2)
где С - произвольная константа, удовлетворяющая условиям:
а) она является решением д.у. при любом С;
б) при любых начальных условиях . (*)
, найдется такое значение С = С0 , что функция
удовлетворяет условиям (*).
Нахождение такого С = С0 по условиям (*) называется решением задачи Коши. Найденная таким образом функция называется иначе частным решением д.у.
Если решение д.у. найдено в виде Ф(х, у, С) =0, оно называется общим интегралом этого уравнения.
Д.у. с разделяющимися переменными.
Общий вид : m1(x) * m2(y) dx + n1(x) * n2(y)dx = 0, (m2(y) 0 и n1(x) 0 ). (3)
Разделим переменные: . Тогда является общим интегралом уравнения (3)
Однородные д.у.
Общий вид: у = f(x,y), (4)
где f(x,y) - однородная функция “нулевого измерения”, что означает выполнение условия f(tx,ty) = f(x,y) для любого t. (4) может быть приведено к виду (4):
. (4)
Подставной у = u * x приводится к уравнению с разделяющимися переменными : y = ux + u.
; -
общий интеграл уравнения (4).
Линейное д.у. 1-го порядка.
Общий вид:
у + Р(х) * у = Q (х) . (5)
Подстановка y = u * V, где u = u(x), V = V(x); y = uV + uV.
uV + uV + P(x) * uV = Q(x). (5)
Выберем V так, чтобы V + P(x) * V = 0. Это - д.у. с разделяющимися переменными.
, тогда (5) будет иметь вид:
uV = Q (x), а это также д.у. с разделяющимися переменными (V уже найдено!): интегрируя, получим: .
Окончательно, . Общий вид (5).
Уравнение Бернулли.
Общий вид: y + P(x) * y = Q(x) * yn (6)
(n 0 и n 1). Метод решения - такой же, как линейного уравнения (5).