ром 2 наблюдений, приводит к неправильному результату. Нужно использовать всю совокупность наблюдений. Однако, это на первый взгляд приведет к получению переопределенной системы уравнений (число уравнений, больше числа неизвестных).

67. Метод наименьших квадратов для аппроксимации экспериментальных данных

Получим решение, удовлетворяющее в некотором смысле всей совокупности экспериментальных данных.

При этом не будем стремиться, чтобы решение удовлетворяло точно всем экспериментальным точкам (к тому же в рамках рассмотренной простой модели всего с двумя свободными параметрами это невозможно по алгебраическим соображениям).

Значение неизвестных параметров N0 и К будем определять, исходя из минимизации суммы квадратов невязок между экспериментальными данными ni и значениями ni , определяемыми по модели (1).

Этот метод называется методом наименьших квадратов.

Он позволяет разрешить в алгебраическом смысле переопределенную систему, когда число уравнений (наблюдений) превышает число переменных.

В результате использования метода наименьших квадратов получается «решение», удовлетворяющее всем наблюденным значениям в смысле минимизации суммы квадратов отклонений решения от наблюденных значений.

При этом структура решения (структура модели 1) должна быть известна и введена в систему соотношений метода.

Запишем сумму квадратов невязок

Найдем значение N0 и К, при которых эта сумма имеет минимум. Для этого приравняем нулю производные суммы по искомым параметрам.

r

( ni N0 K t e Kti ) e Kti 0

i 1

[Введите текст]

Отсюда следует, что

r

( ni N 0 K t e Kti ) e Kti ( K ti 1 ) 0

i 1

Но из () следует, что первое слагаемое равно 0. Окончательно получим уравнение, которое совместно с (2)

образует систему 2-х уравнений с двумя неизвестными N0 и К.

Выразим из 1-го уравнения N0, суммируя по частям и вынося постоянные, не зависящие от индекса i, за знак суммы

Подставляя это выражение во второе уравнение, имеем

Отсюда

98

Из данного трансцендентного уравнения относительно только одного неизвестного К численным методом можно определить К. Подставляя определенное значение К в (3), можно определить N0.

Модель Джелинского – Моранды дает дробное, а не целое начальное число ошибок Nо. Число оставшихся ошибок по данной модели никогда не будет равно строгому 0. В этом ее недостатки, с которыми приходится мириться. Зато модель проста и понятна.

Обычно принимают соглашение, что нулевому количеству оставшихся ошибок в ПО соответствует значение, например, 0.01 по данной модели Джелинского – Моранды.

Следует подчеркнуть, что в реальных ситуациях отладки ПО она считается завершенной по исчерпанию программы отладки, составленной исходя из выбранных критериев, например, накрытию всех путей на графе ПО.

Определения надежности ПО по модели Джелинского-Моранды является дополнительным методом, экспериментально подтверждающим достигнутую надежность ПО – малую интенсивность проявления ошибок ПО.

[Введите текст]