1.13-14. Системы
.pdfЛекции 13-14 Остыловский А.Н. Системы линейных уравнений. Основ-
ные понятия. Существование решения. Однородные системы. Структура множества решений. Нахождение решений (основной случай). Матричное решение. Формулы Крамера. Метод Гаусса. Нахождение решений (общий случай).
13-14.1. Основные понятия. Система уравнений вида
a21x1 |
+ a22x2 |
+ + a2nxn |
= b2 |
9 |
|
a11x1 |
+ a12x2 |
+ + a1nxn |
= b1 |
> |
(1) |
|
|
|
|
||
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : |
> |
|
|||
> |
|
||||
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
= |
|
am1x1 + am2x2 + + amnxn |
= bm > |
|
>
>
>
;
называется системой m линейных уравнений с n неизвестными x1, x2, : : :, xn.
Здесь предполагается, что aij и bi (коэффициенты системы) известные числа.
ЗАМЕЧАНИЕ. В этих двух лекциях мы не будем пользоваться немым суммированием, поэтому все индексы будем писать внизу.
Набор чисел 1; 2; : : : ; n называется решением системы (1), если каждое уравнение системы превращается в числовое равенство при подстановке в него чисел 1; 2; : : : ; n вместо соответствующих неизвестных x1; x2; : : : ; xn.
Матрица
|
2a21 |
a22 |
: : : a2n 3 |
|
a11 |
a12 |
: : : a1n |
A = |
6: : : : : : : : : : : : : : : : : :7 |
||
|
6 |
|
7 |
|
6am1 |
am2 |
: : : amn7 |
|
6 |
|
7 |
|
4 |
|
5 |
называется основной матрицей системы (1).
Числа, стоящие в правых частях уравнений, образуют столбец b,
называемый столбцом свободных членов. Столбец x = [x1; x2; : : : ; xn]T
1
называется столбцом неизвестных. |
|
|
|||
Матрица |
2a21 |
a22 |
: : : a2n |
j |
b2 3 |
|
|||||
|
a11 |
a12 |
: : : a1n |
|
b1 |
A = |
6: : : : : : : : : : : : : : : : : : : :j |
7 |
|||
|
6 |
|
|
|
7 |
|
6am1 am2 : : : amn |
|
bm7 |
||
|
6 |
|
|
|
7 |
|
4 |
|
|
j |
5 |
называется расширенной матрицей системы.
Если свободные члены всех уравнений равны нулю, то система называется однородной; в противном случае (если хотя бы одно из чисел bi отлично от нуля) эта система называется неоднородной. При
этом система
a21x1 |
+ a22x2 |
+ + a2nxn |
= 0 9 |
|
|
a11x1 |
+ a12x2 |
+ + a1nxn |
= 0 |
> |
(2) |
|
|
|
|
||
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : |
> |
|
|||
> |
|
||||
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
= |
|
am1x1 + am2x2 + + amnxn = 0 > |
|
>
>
>
;
называется однородной системой, соответствующей системе (1). Используя введенные обозначения систему (1) можно записать в
матричной форме
Ax = b:
13-14.2. Существование решения.
Теорема 1. (Кронекера-Капелли). Решение системы (1) существует тогда и только тогда, когда rang A = rang A (ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы).
Доказательство. Систему (1) можно записать в виде
2 3 2 3 2 3 2 3
|
a11 |
7 |
|
a12 |
x1 |
6 a...21 |
+ x2 |
6 a...22 |
|
|
6 |
7 |
|
6 |
|
6 am1 |
7 |
|
6 am2 |
|
6 |
7 |
|
6 |
|
4 |
5 |
|
4 |
a1n
76
76 a2n
++ xn 6 ...
767
54
amn
b1
7 6 7
76 b2 7
7= 6 . 7:
76 .. 7
5 4 5
bm
2
Тем самым, решение системы (1) существует тогда и только тогда, когда последний столбец b матрицы A равен линейной комбинации (с коэффициентами x1, x2, : : :, xn) столбцов матрицы A. Значит добавление столбца b к матрице A не увеличивает её (столбцового) ранга. 2
13-14.3. Однородные системы. По теореме Кронекера-Капелли однородная система (2) всегда имеет решение, например, нулевое, т.е. x1 = x2 = = xn = 0. Такое решение называют тривиальным. Любое другое решение системы (2) называют нетривиальным.
Теорема 2. Система (2) имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда rang A < n, где n количество неизвестных системы.
Доказательство. Нетривиальное решение системы (2) существует тогда и только тогда, когда столбцы матрицы A линейно зависимы, т.е. тогда и только тогда, когда rang A (количество линейно независимых столбцов) меньше n (количества столбцов или, что то же самое, количества неизвестных). 2
Следствие 1. Пусть x1; : : : ; xn попарно различные действительные числа, y1; : : : ; yn произвольные действительные числа. Тогда существует, причём единственный, многочлен P (x) = a0 + a1x + a2x2 + an 1xn 1 такой, что P (xi) = yi, i = 1; : : : ; n.
Доказательство. Совокупность условий P (xi) = yi равносильна системе
2 1 |
x2 |
x22 |
: : : x2n 1 |
32 |
a1 |
|
3 |
|
2 y2 |
3 |
|
||
6 |
1 |
x1 |
x12 |
: : : x1n 1 |
76 |
a0 |
|
7 |
|
y1 |
7 |
|
|
: : : : : : : : : : : : : : |
... |
|
= |
6 ... |
: |
||||||||
6 |
|
|
|
|
76 |
|
|
|
7 |
|
6 |
7 |
|
6 |
1 |
xn |
x2 |
: : : xn 1 |
76 an |
|
1 |
7 |
|
6 yn |
7 |
|
|
6 |
|
|
n |
n |
76 |
|
|
7 |
|
6 |
7 |
|
|
4 |
|
|
|
|
54 |
|
|
|
5 |
|
4 |
5 |
|
Положим y1 = |
= yn = 0. Эта однородная система имеет толь- |
||||||||||||
ко нулевое решение a0 |
= = an 1 |
= 0, так как многочлен P (x) |
3
степени n 1 не может иметь n корней. Значит основная матрица нашей системы невырождена (она называется матрицей Вандермонда). Тогда и при ненулевой правой части система имеет единственное решение. 2
13-14.4. Структура множества решений. Исследуем вначале структуру множества X Rn решений системы (2).
Теорема 3. Если x; y 2 X и 2 R, то x + y 2 X и x 2 X.
Доказательство. Воспользуемся матричной записью системы (2). Имеем:
A(x + y) = Ax + Ay = 0 + 0 = 0,
A( x) = A(x) = 0 = 0. 2
Следствие 2. Система (2) имеет либо только тривиальное решение (если rang A = n) , либо бесконечно много решений (если rang A < n) .
Если A Rn b 2 Rn, то по определению
A + b = fa + b j a 2 Rng:
Теорема 4. Пусть Xb множество решений системы (1),
X множество решений соответствующей ей однородной системы (2) и xb произвольное решение системы (1). Тогда Xb = X +xb.
Доказательство. Пусть yb другое решение системы (1). Тогда
A(yb xb) = Ayb Axb = b b = 0;
т.е. z = yb xb 2 X. Отсюда yb = z + xb 2 X + xb, т.е. Xb X + xb. Обратно, пусть x 2 X. Тогда
A(x + xb) = Ax + Axb = 0 + b = b;
т.е. X + xb Xb. Таким образом, X + xb = Xb. 2
Из теоремы 4 и следствия 1 получаем
4
Следствие 3. Система (1) имеет единственное решение тогда и только тогда, когда rang A = n.
13-14.5. Нахождение решений (основной случай). Рассмотрим систему (1) при дополнительных условиях:
m = n; и rang A = n:
(В этом случае матрица A квадратная, число уравнений равно числу неизвестных и rang A = n). По следствию 2 система имеет единственное решение. Укажем три метода его нахождения.
14.5.1. Матричное решение. Так как det A 6= 0, то существует обратная матрица A 1. Запишем систему в матричной форме
Ax = b:
Умножим слева обе части этого равенства на A 1:
A 1Ax = A 1b:
Так как A 1A = E и Ex = x, то получаем, так называемое, матричное решение системы
x = A 1b: |
(3) |
13-14.5.2. Формулы Крамера. Вспомнив вид элементов обратной матрицы из (3) получим
1
xi = jAj(A1ib1 + A2ib2 + + Anibn) =
a11
1 a21
jAj ...
an1
... b1
... b2
... ...
... bn
... a1n
... a2n
... ... :
... ann
Последний определитель есть определитель матрицы, полученной из матрицы A заменой в ней i-го столбца столбцом b. Обозначим его i. Теперь решение можно записать в виде
xi = i ; i = 1; 2; : : : ; n;
5
где = det A. Это формулы Крамера.
Рассмотрим частный случай однородной системы (2) при m = n 1 и условии независимости всех уравнений, т.е. ранг матрицы
системы |
2 a21 |
a22 |
: : : a2n |
3 |
||||||
|
a11 |
a12 |
: : : a1n |
|
||||||
A = |
6: : : : : : : : : : : : : : : : :7 |
|||||||||
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
6an |
|
1;1 |
an |
|
1;2 |
: : : an |
|
1;n |
7 |
|
6 |
|
|
|
|
|
7 |
|||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
равен n 1. Обозначим через Mi минор (n 1)-го порядка, получающийся вычёркиванием из матрицы A её i-го столбца, i = 1; 2; : : : ; n. Покажем, что тогда одним из решений нашей системы будет система чисел
M1; M2; M3; : : : ; ( 1)n 1Mn;
а всякое другое решение ему пропорционально.
Так как, по условию, rangA = n 1, то один из миноров Mi
отличен от нуля; пусть это будет Mn. Перенесём неизвестное xn в
правую часть каждого из уравнений. Применив правило Крамера к преобразованной системе, получим
xi = ( 1)n 1 Mi xn; i = 1; 2; : : : ; n 1: Mn
Неизвестное xn при этом может принимать любые значения.
13-14.5.3. Метод Гаусса. Изложим этот метод на примере. Рассмотрим систему
x |
x |
x |
; |
9 |
: |
x1 |
+ x2 |
+ x3 |
= 2; |
> |
|
1 + 2 2 + 3 3 |
= 2 |
|
|||
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
= |
|
x1 + 3x2 x3 |
= 2 |
> |
|
||
|
|
|
|
> |
|
;
6
Составим расширенную матрицу системы
|
2 |
1 |
1 |
1 |
j |
2 |
3 |
|
A = |
6 |
1 |
2 |
3 |
j |
2 |
7 |
: |
|
6 |
|
|
|
|
|
7 |
|
|
4 |
1 |
3 |
1 |
j |
2 |
5 |
|
|
|
|
|
Первую строку, помноженную, соответственно, на 2 и 3, приба-
вим ко второй и третьей. Получим расширенную матрицу равно-
сильной системы
|
2 |
1 |
|
|
j |
3 |
|
|
A1 = |
6 |
3 |
0 |
1 |
j 27 |
: |
||
|
6 |
|
|
|
|
|
7 |
|
|
4 |
|
|
|
2 |
j |
5 |
|
|
|
2 |
|
0 |
4 |
|
Вторую строку прибавим к третьей. Получим расширенную матри-
цу равносильной системы
A = |
2 |
3 |
0 |
1 |
j |
|
23 |
: |
|
|
6 |
1 |
1 |
1 |
2 |
7 |
|
||
2 |
|
|
|
j |
|
|
|
||
|
6 |
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
4 |
1 |
0 |
0 |
j |
1 |
5 |
|
|
|
|
|
|
Это завершает прямой ход метода Гаусса.
Опишем обратный ход. Третью строку, помноженную, соответ-
ственно, на 3 и 1, прибавим ко второй и первой. Получим расши-
ренную матрицу равносильной системы
23
A |
= |
6 |
0 |
1 |
1 |
j |
1 |
|
: |
|
0 |
0 |
1 |
j |
1 |
|
|||||
3 |
|
1 |
0 |
0 |
|
17 |
|
|||
|
|
6 |
|
|
|
j |
|
7 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
Наконец, вторую строку, помноженную на -1, прибавим к первой
23
A |
= |
6 |
0 |
1 |
0 |
j |
0 |
|
: |
|
0 |
0 |
1 |
j |
1 |
|
|||||
4 |
|
1 |
0 |
0 |
|
17 |
|
|||
|
|
6 |
|
|
|
j |
|
7 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
7
Этой матрице соответствует система |
9 |
|
|||
x2 |
= |
0 |
; |
||
x |
= |
1 |
> |
|
|
3 |
|
||||
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
= |
|
x1 |
= |
1 |
> |
|
|
|
|
|
|
> |
|
что даёт единственное решение |
исходной системы. |
||||
|
|
; |
|
13-14.6. Нахождение решений (общий случай).
Рассмотрим систему (1) при произвольных m, n и условии rang A = rang A = r. По теореме 1 система имеет решение. Найдём его.
Без ограничения общности будем считать, что базисный минор, общий для матриц A и A , лежит в левом верхнем углу матрицы A:
: :a:11: :x:1:+: :a: :12:x: 2: :+: : : : :+: : a: :1r:x: r: :+: : : : :+: :a: :1n:x: :n: : : =: : : :b:1: |
9 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
a |
r1 |
x |
1 |
+ |
a |
r2 |
x |
2 |
+ |
|
a |
rr |
x |
r |
+ + |
a |
rn |
x |
n |
= |
b |
r |
> |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
a: :m:1:x:1: :+: :a:m:2:x: 2: :+: : : : :+: : a: :mr: :x:r:+: : : : : :+: :a:mn: : :x:n: : =: : : :b:m: |
= |
|
||||||||||||||||||||||
> |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
>
>
>
;
По теореме о базисном миноре строки матрицы A с номерами, большими r, представляют собой линейные комбинации первых r её строк. Поэтому последние m r уравнений являются следствиями первых r и, следовательно, могут быть отброшены.
Оставшиеся r уравнений перепишем так:
a: :11:x: :1 :+: : : : :+: : a: :1r:x: r: : :=: : :b:1:+: : :a:1:;r:+1: :x:r:+1: :+: : : : : :+: :a:1:n:x:n: |
9 |
: |
|
> |
|
|
> |
|
|
= |
|
ar1x1 + + arrxr = br + ar;r+1xr+1 + + arnxn |
> |
|
|
> |
|
|
; |
|
Эту систему можно рассматривать как систему r уравнений с r
неизвестными x1, x2, : : :, xr. Её определитель, будучи базисным минором, отличен от нуля, поэтому, согласно следствию 2, при любой правой части, в частности при любых xr+1, xr+2, : : :, xn, она имеет
8
единственное решение. Это означает, что числа xr+1, xr+2, : : :, xn
можно выбрать произвольно, полагая
xr+1 = C1; xr+2 = C2; : : : ; xn = Cn r;
а x1, x2, : : :, xr найти, например, методом Гаусса. Таким образом, общее решение нашей системы зависит от (n r) произвольных чисел
C1, C2, : : :, Cn r.
Упражнения
1. Найти многочлен f(x) третьей степени, для которого
f( 2) = 1; f( 1) = 3; f(1) = 13; f(2) = 33:
2. Найти все решения системы
5 x1 |
+ 3 x2 |
+ 5 x3 |
+ 12x 4 |
= 10 9: |
|
x |
x |
x |
x |
= 4 |
> |
2 1 + 2 2 + 3 3 |
+ 5 4 |
||||
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
= |
x1 + 7x2 + 9x3 |
+ 4x4 |
= 2 |
> |
||
|
|
|
|
|
> |
;
3. Исследовать систему и найти общее решение в зависимости от значения параметра :
x1 + x2 + x3 x1 + x2 + x3 x1 + x2 + x3
9
=1 >
>
=
= 1 :
>
>
= 1 ;
4. При каких условиях данная линейная комбинация любых решений данной неоднородной системы линейных уравнений снова будет решением этой системы?
9