Вариант 10

Модуль 1

1. -частицы вылетают из ядер при радиоактивном распаде по закону редких событий. В эксперименте счетчик зарегистрировал 3600 частиц за 10 минут. Рассчитать необходимое время регистрации частиц, чтобы относительная погрешность измерения скорости радиоактивного распада была равна 1%. Погрешностью измерения времени пренебречь.

2. В объёме Vсодержится газ при температуреТ. Он состоит изNневзаимодействующих частиц. Энергия и импульс частицы связаны соотношениемЕ = рс, где с– скорость света. Плотность одночастичных состояний в интервале (р, р+dр) равна 4𝜋 V р²/h³. Рассчитать среднюю энергию частицы на основе статистической суммы. Определить молярную теплоёмкостьс_v.

3. Найти характеристическую температуру для вращения молекул Н₂иО₂, если моменты инерции этих молекул имеют значения соответственноI_H2= 0,47 ∙10⁻⁴⁰г∙ см²и I_О2= 19,2 ∙10⁻⁴⁰г∙см².

Модуль 2

4. Найти плотность морской воды на глубине 5 км, если на поверхности океана плотность1,03 г/см³, а сжимаемость воды в пределах давлений от 1 до 500 атм равна γ = 47,5 ∙10^-6атм^-1.

5. Какое количество тепла Qполучает идеальный газ в процессе политропного расширения от объёмаV₁до объёмаV₂, если начальное давление газар₁и показатель политропыn?

6. Один моль одноатомного идеального газа () совершает в тепловой машине цикл Карно между тепловыми резервуарами с температурамиt₁ = 127 °С иt₂ = 27°C. Наименьший объём газа в ходе циклаV₁ = 5 л, наибольшийV₂ = 20 л. Какую работуАсовершает эта машина за один цикл? Сколько теплаQ₁берет она от высокотемпературного резервуара за один цикл? Сколько теплаQ₂поступает за цикл в низкотемпературный резервуар?

7. Вычислите максимальную работу, которую можно получить при соединении двух одинаковых идеальных газов, имеющих одинаковое число молей ν и одинаковое давлении р₀, но различные температурыТ₁иТ₂.

Модуль 3

8. Покажите, что для веществ, подчиняющихся одному и тому же закону соответственных состояний, коэффициенты изотермического сжатия обратно пропорциональны критическим давлениям этих веществ, то есть

9. Тело, помещенное в среду с постоянной температурой t₀охладилось от температуры t₁= 80 °C до температуры t ₂= 64 °C в течение времении до температурыt₃= 52 °C в течение временя 2. Считая справедливым закон охлаждения Ньютона, найти температуру окружающей средыt₀. До какой температуры t₄тело охладится в течение времени 3?

10. Используя уравнение Клапейрона – Клаузиуса найти давление насыщенного водяного пара при температуре 101 ºС. Считать пар идеальным газом.

Коллоквиум

1. Основные понятия статистики.

2. Статистические постулаты.

3. Расчет вероятности макросостояния системы.

4. Средние значения физических величин и их флуктуаций.

5. Биномиальное распределение и его предельные случаи в описании молекулярных систем.

6. Распределение Гиббса. Определение температуры в статистике.

7. Статистическая сумма. Расчет среднего значения энергии системы и ее флуктуации на основе статсуммы.

Билеты коллоквиума

Билет № 1

1. Дайте частотное определение вероятности случайного события. Какое событие называется достоверным? Приведите примеры.

2. Что называется моделью материального тела? Приведите примеры идеальных квантовых моделей. Как определяются микроскопические состояния таких систем?

3. Какова вероятность того, что в объеме, составляющем одну треть объема, предоставленного молю идеального газа, содержится две трети моля вещества?

4. Распределение плотности вероятности некоторой случайной величины химеет вид. ОпределитеАиs(х) без использования процедур интегрирования.

5. Запишите распределение Гиббса (непрерывное и дискретное), условие нормировки для него.

6. Рассчитайте флуктуацию энергии системы, если её среднее значение

<E> =NkT².

Билет № 2

1. Определите понятия:

• микроканонический ансамбль систем;

• канонический ансамбль систем.

2. Сформулируйте статистические постулаты.

3. Докажите, что

4. Что называется плотностью вероятности? Поясните с помощью графика.

5. Выведите формулу для расчета с помощью биномиального распределенияР(т).

6. Что называется статистической суммой? Какая связь между статсуммой и нормировочной постоянной А распределения Гиббса?

Билет № 3

1. Чем определяется микроскопическое состояние системы:

а) если применима классическая модель материального тела; б) если применима квантовая модель материального тела.

2. Сколько статистических постулатов Вы знаете? Дайте их краткую формулировку.

3. Как определяется относительная величина флуктуации? Чему она равна в случае биномиального распределения?

4. Определите предельные случаи биномиального распределения. Какие явления они описывают? Приведите примеры.

5. Выведите распределение Гиббса.

6. Как рассчитать флуктуацию энергии системы, если известно, что средняя энергия системы

Билет № 4

1. Как определяется вероятность случайного события с помощью понятия «ансамбль систем»?

2. Какой факт отражает условие нормировки плотности вероятности?

3. Какова вероятность того, что в объеме, составляющем одну сотую часть объема, предоставленного молю идеального газа, содержится полмоля вещества?

4. Чему равна относительная величина флуктуации в случае распределения Пуассона?

5. На какой вопрос отвечает распределение Гиббса?

6. Запишите выражение для средней энергии частицы через статистическую сумму.

Билет № 5

1. В рамках статистического метода определите состояние термодинамического равновесия системы.

2. Как определяется среднее значение случайной величины (дискретной и непрерывной)?

3. Исследуйте выражение для дисперсии числа частиц в объёме vв случае биномиального распределения, если объёмvмного меньше всего объёма системы.

4. Докажите, что биномиальное распределение отвечает условию нормировки.

5. Как определяется температура в статистике?

6. Получите общее выражение для через одночастичную статистическую сумму идеальной системы.

Билет № 6

1. Что называется термодинамической вероятностью макроскопического состояния системы?

2. Что называется флуктуацией случайной величины?

3. Выведите формулу для расчетаспомощью биномиального распределенияР(т).

4. Сравните распределения Гаусса и Пуассона. К описанию каких явлений они применимы? Приведите примеры.

5. Что называется кратностью вырождения состояния или его статистическим весом? Какая величина является его аналогом в случае непрерывного распределения?

6. Получите выражение для расчета дисперсии энергии s (Е) на основе статистической суммы.

Билет № 7

1. Как определяется вероятность макроскопического состояния системы? Поясните на примере распределения Гиббса.

2. Что называется условием нормировки вероятностей? Каков ее смысл?

3. Выделите основные признаки явлений, которые описывает биномиальное распределение? Запишите его вид.

4. Как определяется параметр bв распределении Гиббса? Почемуb > 0?

5. Определите область применимости распределения Гиббса.

6. Как рассчитать s(Е),если известно, что средняя энергия системы, а =const.

Билет № 8

1. Для чего подсчитывают микроскопические состояния в статистике? Приведите пример, как это делают при выводе биномиального распределения.

2. Как определяется вероятность случайного события «по времени» и «по ансамблю»?

3. Чему равна наиболее вероятная концентрация частиц в некотором объеме v, являющемся частью большого объема V газовой системы, распределение молекул в которой описывается законом Бернулли?

4. Чему равна дисперсия случайной величины в распределении Пуассона?

5. Какую информацию можно получить с помощью формулы, определяющей температуру в статистике?

6. Запишите статистическую сумму двухуровневой системы и среднюю энергию одной частицы этой системы, если кратность вырождения состояния с меньшей энергией равна 4, а с большей −6.

Билет № 9

1. Что называют микроскопическими состояниями системы? Как и зачем их подсчитывают?

2. Какое достоверное событие лежит в основе нормировки плотности вероятности?

3. Сформулируйте статистические постулаты.

4. Как рассчитать среднее число частиц в объеме v, если полный объем системы 10v? Силовых полей нет. Система – идеальный классический газ.

5. Выведите распределение Гиббса.

6. Как рассчитать среднюю энергию системы на основе статистической суммы?