Содержание
Задача 1 3
Задача 2 8
Задача 3 10
Задача 4 11
Задача 5 15
Задача 6 18
Задача 7 20
Список использованной литературы 22
Задача 1
Выборка случайной величины Х задана интервальным вариационным рядом (Ii – i-ый интервал, ni – частота).
Таблица 1
i |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
Ii |
2 – 6 |
6 – 10 |
10 – 14 |
14 – 18 |
18 – 22 |
22 – 26 |
26 – 30 |
ni |
9 |
16 |
20 |
26 |
18 |
6 |
5 |
Найти:
1. относительные частоты (частости) Wi;
2. накопленные частоты niнак;
3. накопленные частости Wiнак.
Вычислить:
1. выборочную среднюю ;
2. смещенную оценку дисперсии Д;
3. несмещенную оценку дисперсии S2;
4. среднее квадратическое отклонение ;
5. коэффициент вариации v.
Построить:
1. гистограмму частот;
2. эмпирическую функцию распределения;
3. кумулятивную кривую.
Указать:
1. моду Мо;
2. медиану Ме.
Решение:
Вычисляем объем выборки:
.
Относительные частоты вычисляются по формуле:
.
Получим:
,
,
,
,
,
,
.
Дальнейшие расчеты оформим в виде сгруппированного ряда:
Таблица 2
i |
Ii |
ni |
Wi |
niнак |
Wiнак |
1 |
2 – 6 |
9 |
0,09 |
9 |
0,09 |
2 |
6 – 10 |
16 |
0,16 |
25 |
0,25 |
3 |
10 – 14 |
20 |
0,20 |
45 |
0,45 |
4 |
14 – 18 |
26 |
0,26 |
71 |
0,71 |
5 |
18 – 22 |
18 |
0,18 |
89 |
0,89 |
6 |
22 – 26 |
6 |
0,06 |
95 |
0,95 |
7 |
26 – 30 |
5 |
0,05 |
100 |
1 |
|
- |
100 |
1 |
- |
- |
Смещенная оценка Д вычисляется по формуле:
,
где xi – середина интервала Ii ().
Вычислим
Выборочная средняя вычисляется по формуле:
,
где xi – середина интервала Ii ().
Таким образом, находим:
.
Теперь получаем:
.
Несмещенная оценка дисперсии S2 вычисляется по формуле:
.
Для оценки среднего квадратического отклонения используется несмещенная дисперсия S2. Согласно определению для имеем:
.
Вычисляем значения накопленных частот и полученные значения записываем в таблицу 2.
Согласно определению, накопленная частота равна числу вариантов со значениемХ меньше заданного значения х. Так как значения Х < 6 наблюдались 9 раз (в интервале I1), то . Это значение записываем в верхней клетке столбцатаблицы 2.
Значения Х < 10 наблюдались 9+16 = 25 раза (соответственно в интервалах I1 и I2); поэтому . Аналогичным образом находим остальные значения накопленных частот и записываем в соответствующие клетки таблицы 2.
После вычисления всех значений определяем значения накопленных частостей по формуле:
.
и записываем в таблицу 2.
Коэффициент вариации v определяется по формуле:
.
Для построения гистограммы на оси абсцисс откладываем отрезки частичных интервалов Ii варьирования и на этих отрезках как на основаниях строим прямоугольники с высотами, равными частотам соответствующих интервалов.
Рис.1. Гистограмма частот
С помощью гистограммы находим моду – т.е. вариант, которому соответствует наибольшая частота: Мо 15,5.
Согласно определению эмпирическая функция распределения
для данного значения х представляет накопленную частость. Для интервального вариационного ряда (табл. 2) имеем лишь значения функции распределения на концах интервала, указанные в правом крайнем столбце таблицы 2. Для графического изображения этой функции целесообразно ее доопределить, соединив точки графика, соответствующие концам интервалов, отрезками прямой. Полученная таким образом ломаная совпадает с кумулятивной кривой (кумулятой).
Рис.2. Кумулята
С помощью кумуляты приближенно найдем медиану как значение признака, для которого . Очевидно,Ме 15.