- •1)Геометрическое определение вектора.
- •2)Сумма и разность векторов. Правило сложения векторов.
- •3) Умножение вектора на число.
- •13) Кривые второго порядка: гипербола.
- •14 ) Кривые второго порядка: парабола.
- •15) Размерность матрицы. Основные виды матриц.
- •16) Операции над матрицами: транспонирование.
- •22) Обратная матрица.
- •23) Критерий совместимости Кронекера – Капелли. Критерий совместности Кронекера-Капелли
- •24) Решение системных линейных уравнений. Формулы Крамера. Формулы Крамера
- •25) Решение системных линейных уравнений. Метод Гаусса. Метод Гаусса
- •26)Понятие множества. Операции над множествами.
- •27) Понятие функции: определение. Способы задания функций.
- •28) Основные свойства функций.
- •29) Обратная функция. Сложная функция.
- •30) Элементарные функции: определение, классификация.
1)Геометрическое определение вектора.
Геометрическим вектором называется отрезок АВ с начальной точкой А и конечной точкой В, который можно перемещать параллельно себе.
2)Сумма и разность векторов. Правило сложения векторов.
Правило сложения векторов. Операция сложения вводится по правилу треугольника: пусть есть вектора и . Оба эти вектора переносятся параллельно самим себе так, чтобы начало одного из них совпадало с концом другого. Тогда вектор суммы задаётся третьей стороной образовавшегося треугольника, причём его начало совпадает с началом первого вектора, а конец с концом второго вектора.
Суммой векторов и называется вектор
Для любых векторов справедливы равенства
Разностью векторов и называется такой вектор который в сумме с вектором дает вектор
откуда c 1 = a 1 – b 1 ;
c 2 = a 2 – b 2.
3) Умножение вектора на число.
Произведение вектора a(a1; a2) на число λ называется вектор (λa1; λa2), т.е. (a1; a2) λ = (λa1; λa2). Для любого вектора a и чисел λ, μ Для любого вектора a и b и числа λ
4) Длина вектора.
Длиной вектора называется число, равное длине отрезка АВ, изображающего вектор.
Длина (модуль) вектора a - это длина отображающего его отрезка AB, обозначается | a |. В частности, | 0 | = 0.
Нулевой вектор 0 или 0 - это вектор, у которого начальная и конечная точки совпадают, т.e. A = B. Отсюда, 0 = – 0.
5)Коллинеарные векторы
Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых , называются коллинеарными.
Коллинеарные векторы a и b обозначаются a || b.
6) Скалярное произведение векторов и его свойства.
Определение скалярного произведения
Скалярным произведением двух ненулевых векторов а и b называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.
Свойства скалярного произведения
1. Скалярное произведение обладает переместительным свойством: ab=ba
2. Если a*b=0, то
3.
4.
7) Уравнения прямой на плоскости: общее уравнение, уравнение с угловым коэффициентом.
1)Общее уравнение прямой
Ах + Ву + С = 0,
2)Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- угол, образованный прямой с осью
8) Уравнения прямой на плоскости: уравнение в отрезках; уравнение прямой, проходящей через две данные точки.
1) Уравнение прямой в отрезках
a,b – величины отрезков, отсекаемых на прямой – на осях координат.
2) Уравнение прямой, проходящей через две данные точки
A(x1;x2) и B(x2;y2)
Величина угла между прямыми
y = kx+b
y = k1x +b1
Прямые a1x+b1y+c1=0 и
a2x+b2y+c2=0, если
Дробь = k называется угловым коэффициентом прямой.
9) Условие перпендикулярности прямых на плоскости.
Две прямые на плоскости называются перпендикулярными, если при пересечении образуют 4 прямых угла.
а)для перпендикулярности прямых необходимо и достаточно, чтобы их угловые коэффициенты были обратны по величине и противоположны по знаку.
- условие перпендикулярности двух прямых.
б) Если уравнения прямых заданы в общем виде (6), то условие их перпендикулярности (необходимое и достаточное) заключается в выполнении равенства
A1A2 + B1B2 = 0
10)Условие параллельности двух прямых на плоскости
а) Если прямые заданы уравнениями (4) с угловым коэффициентом, то необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в равенстве их угловых коэффициентов:
k1 = k2.
б) Для случая, когда прямые заданы уравнениями в общем виде (6), необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в том, что коэффициенты при соответствующих текущих координатах в их уравнениях пропорциональны, т. е.
11) Кривые второго порядка: окружность.
Окружность. Окружностью называется геометрическое место точек, равноудаленных от одной и той же точки.
Круг – множество точек плоскости, удаленных от заданной точки этой плоскости (центр круга — o) на расстояние, не превышающее заданное (радиус круга).
Уравнение окружности имеет вид
(x - a)2 + (y - b)2 = r2,
где a и b - координаты центра окружности, а r - радиус окружности. Если же центр окружности находится в начале координат, то ее уравнение имеет вид
x2 + y2 = r2.
12) Кривые второго порядка: эллипс.
Эллипс. Эллипсом называется геометрическое место точек, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек (фокусов) есть для всех точек эллипса одна и та же постоянная величина (эта постоянная величина должна быть больше, чем расстояние между фокусами).
Простейшее уравнение эллипса
где a - большая полуось эллипса, b - малая полуось эллипса. Если 2c - расстояние между фокусами, то между a, b и c (если a > b) существует соотношение
a2 - b2 = c2.
Свойства эллипса:
1) Эллипс имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии (главные оси эллипса) и центр симметрии (центр эллипса). Если эллипс задан каноническим уравнением, то его главными осями являются оси координат, а центром – начало координат. Поскольку длины отрезков, образованных пересечением эллипса с главными осями, равны 2а и 2b (2a>2b), то главная ось, проходящая через фокусы, называется большой осью эллипса, а вторая главная ось – малой осью.
2) Весь эллипс содержится внутри прямоугольника
3) Эксцентриситет эллипса e < 1.
Действительно,
4) Директрисы эллипса расположены вне эллипса (так как расстояние от центра эллипса до директрисы равно а/е, а е<1, следовательно, а/е>a, а весь эллипс лежит в прямоугольнике)
5) Отношение расстояния ri от точки эллипса до фокуса Fi к расстоянию di от этой точки до отвечающей фокусу директрисы равно эксцентриситету эллипса.