Вариант №9
Контрольная работа №1
Задачи №9, 19, 29, 39, 49, 59
Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия.
Введение в математический анализ.
Задача 1(9).
Применяя метод Гаусса исключения неизвестных, решить систему линейных уравнений. Сделать проверку найденного решения.
Решение:
Немного теории:
Метод Гаусса.
Метод Гаусса может быть применен к системам линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных. Суть метода заключается в последовательном исключении неизвестных.
Рассмотрим систему линейных уравнений:
Разделим обе части 1–го уравнения на a11 0, затем:
1) умножим на а21 и вычтем из второго уравнения
2) умножим на а31 и вычтем из третьего уравнения
и т.д.
Получим: , где d1j = a1j/a11, j = 2, 3, …, n+1.
dij = aij – ai1d1j i = 2, 3, … , n; j = 2, 3, … , n+1.
Далее повторяем эти же действия для второго уравнения системы, потом – для третьего и т.д.
Применительно к нашей задаче:
Следовательно, система примет вид:
Отсюда находим все оставшиеся неизвестные:
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Заданная система уравнений имеет единственное решение:
, , ,
ПРОВЕРКА:
Ответ: , , ,
Задача 2(19).
Даны векторы(-2; -1; 1),(2; 3; 0),(-4; 2; 3) и (-10; -9; 3) в некотором базисе. Показать, что векторы ,иобразуют базис и найти координаты вектора в этом базисе. Систему линейных уравнений решить методом Крамера.
Решение:
Векторы образуют базис, если они линейно независимы, другими словами, если уравнения, входящие в систему:
линейно независимы.
Тогда .
Это условие выполняется, если определитель матрицы системы отличен от нуля.
0
Для решения этой системы воспользуемся методом Крамера.
1 =
;
2 =
3 =
Итого, координаты вектора в базисе ,,: { 3, -2, 0}.
Ответ: { 3, -2, 0}
Задача 3(29).
Даны вершины , , , , пирамиды.
Найти:
длину ребра ;
угол между ребрами и ;
уравнение грани и ее площадь;
уравнение высоты, опущенной из вершины на грань .
Решение:
Найти длину ребра А1А2.
Чтобы найти компоненты вектора нужно из координат его конца вычесть координаты начала. Если заданы точки А(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2), то = (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1).
Длина вектора в координатах определяется как расстояние между точками начала и конца вектора. Если заданы две точки в пространстве А(х1, y1, z1), B(x2, y2, z2), то .
В нашем случае:
Найти угол между ребрами А1А2 и А1А4.
Скалярным произведением векторов иназывается число, равное произведению длин этих сторон на косинус угла между ними:=cos.
Если рассматривать векторы в декартовой прямоугольной системе координат, то=xa xb + ya yb + za zb.
Используя полученные равенства, получаем формулу для вычисления угла между векторами: .
Находим:
Найти уравнение грани и ее площадь.
Воспользуемся формулой уравнения плоскости, проходящей через три точки.
Уравнение плоскости, проходящей через три точки:
,
. – уравнение грани .
Вычисляем площадь грани грани :
, .
.
.
.
4. Найти уравнение высоты, опущенной из вершины на грань .
Уравнение высоты, будем искать, как уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно плоскости ():
.
Так как вектор с координатами является нормальным вектором плоскости , а следовательно, он является направляющим вектором перпендикуляра, опущенного на эту плоскость. Для искомой высоты получим: =.
Ответ: 1) ;
2) ;
3) – уравнение грани , ;
4) =.
Задача 4(39). Составить уравнение множества точек, для каждой из которых выполняется следующее условие: разность расстояний до точек А(0, 10) и О(0,0) равна 8.
Решение:
В задаче говориться о некотором расстоянии до точки A до оси ординат. Обозначим координаты неизвестной точки как С(x,y). В декартовой системе координат расстояние между точками рассчитывается по формуле (.Тогда расстояние между точками A и C: . А расстояние до оси ординат будет . Из условия задачи также известно, что . Подставим значения длин AC,CО
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Получили уравнение гиперболы с вершиной в точке .
Задача 5(49).
Вычислить пределы функций:
А) ;
Б) ;
В)
.
Задача 6(59).
Задана функция . Найти все точки разрыва функции, если они существуют. Построить график функции.
Решение:
Функция определена и непрерывна на интервалах , где она задана непрерывными элементарными функциями. Следовательно, разрыв возможен только в точках и .
Для точки имеем:
, ,
,
т.е. функция в точке имеет разрыв первого рода.
Для точки имеем:
, ,
,
т
y
-1
-1
1
0
1
4
2
2
x