- •М.А.Евдокимов, в.Г.Саркисов, г.А.Саркисов
- •Оглавление
- •1. Введение
- •2. Понятие высказывания. Понятие операции
- •Вопросы и задания
- •3.2. Конъюнкция (логическое умножение)
- •3.3. Дизъюнкция (логическое сложение)
- •3.4. Импликация (логическое следование)
- •Вопросы и задания
- •3.5. Эквиваленция (двойная импликация)
- •3.6. Принципы доказательства тождеств. Таблица операций с двумя логическими переменными
- •Вопросы и задания
- •4. Примеры практического приложения булевой алгебры. Переключательные схемы
- •Вопросы и задания
- •5. Тождественные преобразования
- •Вопросы и задания
- •6. Дизъюнктивная и конъюнктивная нормальные формы булевой функции (дизъюнкция конъюнкций и конъюнкция дизъюнкций)
- •Вопросы и задания
- •7. Построение аналитического выражения булевой функции по таблице ее значений
- •Вопросы и задания
- •8. Минимизация логических функций, оптимизация технической реализации функций алгебры логики
- •Вопросы и задания
- •9. Автоматизация процедуры считывания и минимизации логических функций с помощью метода карт Карно
- •Вопросы и задания
- •Библиографический список
- •443100. Г.Самара, Молодогвардейская, 244. Главный корпус
2. Понятие высказывания. Понятие операции
Основным объектом, изучаемым математической логикой является высказывание.
Высказывание – любое предложение, относительно которого известно, является оно истинным (И) или ложным (Л).
Примеры
"Наталья – мужское имя" – ложное высказывание.
"Сопротивление и ёмкость – параметры электрических цепей" – истинное высказывание.
"Среднее расстояние от Земли до Солнца составляет 150 000 000 км." – можно рассматривать как истинное или ложное высказывание в зависимости от величины допустимых погрешностей.
"Соблюдайте технику безопасности" – не является высказыванием.
Математическая логика не изучает содержание высказываний. Для нее существенна лишь их истинность или ложность.
В данном курсе рассматривается двузначная логика, которая имеет дело с объектами, принимающими одно из двух возможных состояний – истина или ложь, высокое или низкое напряжение, наличие или отсутствие некоторого признака у объекта и т.д.
Объекты, которые могут принимать значения из конечного множества, содержащего более двух элементов, называются многозначными. Такие объекты либо сводятся некоторым образом к двузначным, либо обслуживаются аппаратоммногозначной логики. В данном курсе рассматривается двузначная логика, которая широко применяется при разработке компьютеров, контроллеров и других технических устройств.
Объекты с двумя возможными состояниями (в том числе и высказывания) характеризуются булевыми переменными, которые способны принимать лишь два различных значения. Для обозначения этих значений используют цифры 0 и 1 или буквы Л (ложь) и И (истина).
Отношения между булевыми переменными представляются булевыми функциями, которые (подобно числовым функциям) могут зависеть от одного, двух и более аргументов. Далее будем обозначать аргументы буквамиxi(i=1,2,…), а булевы функции буквамиyj(j=1,2,…). Булевы функции можно рассматривать как логические операции.
Исходные, первоначальные высказывания, относительно которых заранее известна их истинность или ложность, называются простыми высказываниями.
Выполняя над простыми высказываниями те или иные действия (в терминах математической логики – операции), можно образовыватьсложные высказывания. Их истинность или ложность можно установить, опираясь на сведения о простых высказываниях. В разговорном языке операциям над высказываниями соответствуют логические связки "если …, то …", "… и …", "… или …", "не …" и др.
Примеры
"a<b", "b<c", "a<c" – простые высказывания; "Еслиa<bиb<c,тоa<c" – сложное высказывание (подчеркнуты логические связки).
"Напряжение в сети 220 В", "частота 50 Гц" – простые высказывания; "напряжение в сети 220 В ичастота 50 Гц" – сложное высказывание.
"Еслиначальная скорость равна нулюиускорениеа– постоянная величина,топройденный за времяtпутьSвычисляется по формулеS=at2/2" – сложное высказывание. Выделим простые высказывания, составляющие данное сложное высказывание: "начальная скорость равна нулю", "ускорениеа– постоянная величина", "пройденный за времяtпутьSвычисляется по формулеS=at2/2".