2.2. Критическая длина волокна. Эпюры напряжений

Появление в матричной фазе длинных элементов с поперечным размером много меньше длины значительно сказывается на механическом сопротивлении системы. Волокна и полимерная матрица соприкасаются по поверхности наполнителя, который усилие от матрицы. Это усилие трансформируется в усилие волокна.

Чем длиннее волокно, тем больше поверхность контакта и сильнее взаимодействие фаз. Если представить, что внешняя нагрузка стремится увлечь волокно из матрицы, действуя на него, то на границе раздела появляются касательные напряжения. Одновременно напряжение в волокне трансформируется в растяг, т.е. нормальное напряжение.

τ ‑ касательные напряжения, развивающиеся в волокне

 ‑ растягивающее (нормальное) напряжение

l_кр ‑ критическая длина волокна

Критическая длина – длина, на которой прочностные свойства используются полностью. Если волокно короткое (l < l_кр), то напряжения небольшие. При достаточно большой длине волокна (l = l_кр) касательные напряжения достигают максимума и при дальнейшем изменении длины волокна не изменяются. Наибольшее касательное напряжение имеет место на самом конце волокна и на длине l_кр доходит до нуля. На длинных волокнах, начиная с этой длины, касательные напряжения отсутствуют.

Количественная зависимость между прочностными показателями волокна, его геометрическими характеристиками и напряжениями, возникающими на границе разделов:

1) Нагрузка, вызывающая напряжение сдвига волокна диаметра d и длиной l определяется:

(2.1.)

2) Усилие сдвига с учетом сохранения статистического равновесия в системе трансформируется в усилие растяжения волокна:

(2.2)

₂ ‑ нормальное растяжение волокна

3) Условие статистического равновесия:

(2.3)

(2.4)

(2.5)

Учитывая, что в полимерной матрице волокно окружено первичной фазой со всех сторон, то длина должна быть в 2 раза больше:

(2.6)

Экспериментально установлено, что τ, которое может выдержать полимерная матрица, составляет некоторую часть от ее прочности:

(2.7)

Отсюда (6) идет в (7):

(2.8)

σ₂ – нормальное напряжение в волокне, которое растягивает его и может вызвать растрескивание системы. Если σ₁ меньше прочности волокна, то растрескивания системы не произойдет.

Адгезионные и химические силы сцепления, как показывает опыт, составляют одну треть от необходимых и реализованных функциональных сил, поэтому для определения критической длины волокна с учетом сил трения и шероховатости используют следующую зависимость:

(2.9)

Лекция 5.

2.3.Сопротивление однонаправленного композиционного материала.

Рассмотрим механическое поведение полимерной матрицы, в которой расположены элементарные однонаправленные волокна.

Однонаправленные композиционные материалы имеют площадь поверхности матрицы (рабочей) F₁, у армирующей фазы – F₂.

Относительное удлинение:

_(2.10)

Т.к. при армировании модуль упругости наполнителя намного больше модуля упругости матрицы, т.е. Е₂ > Е₁, то при одноосном растяжении вдоль напряжения армирования деформация композиционного материала будет определяться более жестким наполнителем:

ε₁ = ε₂ = ε (2.11)

Т.о. физическая модель поведения подобного композита будет выглядеть следующим образом:

Е₁– модуль упругости матрицы

Е₂– модуль упругости наполнителя

В соответствии с законом Гука нагрузка, вызывающая деформацию равна:

(2.12)

Нагрузка складывается из двух составляющих:

(2.13)

Разделим обе части этого уравнения на сумму площадей:

(2.14)

(2.16),

где

φ₁– объемная доля матрицы

φ₂– объемная доля наполнителя

Если (6) разделить на ε, то получим:

(2.17)

Уравнения (6) и (7) – уравнения смеси Фойхта.

Если действие нагрузки на однонаправленный композит перпендикулярно ориентации волокна, то модель механического поведения будет связана с одним напряжением композиционного материала, т.е.:

σ₁ = σ₂ = σ (2.18)

(2.19)

Т.к. напряжение σ постоянно, то после деления обеих частей уравнения (9) на σ, получаем:

(10)

‑ податливость системы

(2.19)

Отсюда 1/Е:

(2.20)

Отсюда:

– формула Райеса (2.13)

Геометрическая интерпретация однонаправленного композиционного материала механического поведения и смесевых композиционных материалов могут быть аппроксимированы линейной и нелинейной зависимостями.