- •Часть 3
- •Глава 1
- •1.1. Алгебраическая форма комплексного числа
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1.2 Тригонометрическая форма комплексного числа
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1.3. Показательная форма комплексного числа
- •1.4. Понятие о функции комплексного переменного
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1.5. Основные элементарные функции комплексной переменной
- •1.6. Производная функции комплексной переменной и понятие аналитичности
- •1.7. Интегрирование функций комплексной переменной
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Глава 2
- •2.1.Оригиналы и изображения. Преобразование Лапласа.
- •2.2. Свойство линейности
- •2.3. Свойство подобия
- •2.4. Дифференцирование изображения.
- •2.5. Теорема смещения
- •2.6. Дифференцирование оригинала
- •2.7. Решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
- •Задачи для самостоятельного решения
Задачи для самостоятельного решения
1. Запишите комплексные числа в тригонометрической форме:
1) –1; 2) – ; 3); 4); 5).
Ответы:
1) ; 2); 3)+
+ ; 4); 5)+
+ .
2. . Найти:;;.
1.3. Показательная форма комплексного числа
Рассмотрим разложения функций ,,в ряд Маклорена
,
,
.
Положим , тогда
.
Получили формулу
|
(1.8) |
Равенство (1.8) называется формулой Эйлера.
С учетом этой формулы, комплексное число , записывается в форме,
, |
(1.9) |
которая называется показательной формой комплексного числа.
Пример 1.9
1) , найти.
Решение
==
==
.
Умножение, деление и возведение в целую положительную степень удобно производить, когда комплексное число записано в показательной форме.
1) , .
2) ,
3) , .
Рассмотрим операцию извлечения корня.
, .
Из последних равенств следует формула извлечения корня из комплексного числа, представленного в тригонометрической форме:
, |
(1.10) |
.
Приравнивая числам 0,1, 2, … , получим значений корня.
Пример 1.10
Найти .
Решение
, .
Подставляя , получаем три значения корня:
,
, ;
,
Рис. 1.2
Тот факт, что комплексные числа иявляются значениями корня третьей степени из единицы, означает, что. Проверим,, используя алгебраическую форму числа:
= = +
+ + = +
+ = = 1.
Здесь последнее произведение комплексных чисел является произведением комплексно сопряженных чисел и равно сумме квадратов действительной и мнимой частей (см. пример 1.3).
Пример 1.11
Вычислить .
Решение
.
Пример 1.12
Вычислить
Пример 1.13
Найти .
Решение
Воспользуемся тригонометрической формой числа , полученной в примере 1.5:, тогда===.
1.4. Понятие о функции комплексного переменного
Обозначим множество комплексных чисел С.
. Пусть и. Если каждому комплексному числупо некоторому правилу поставлено в соответствие одно или несколько комплексных чисел, то говорят, что на множествезадана функция.
Множество называется областью определения, а множествообластью значений функции. Если каждому значениюzсоответствует одно значение, то функция называется однозначной, если несколько – функция многозначная.
Обозначая, получим, что задание функциикомплексного переменногоравносильно заданию двух функцийидвух действительных переменныхx и y. Следовательно,, где,= =.
Пример 1.14
Для данной функции , где, найти действительную частьи мнимую часть:.
Решение
т.е. ;.
Пример 1.15
Какая линия описывается уравнением ?
Решение
. Подставляя это выражение в заданное уравнение, получаем – уравнение гиперболы.
Задачи для самостоятельного решения
Для данных функций найти их действительную часть и мнимую часть:
1) ; 2); 3) ; 4) ; 5); 6) .
Ответы: 1) ,; 2) ,; 3) ,; 4) ,; 5) ,;
6) ,.
1.5. Основные элементарные функции комплексной переменной
Показательная функция.По определению,
. |
(1.11) |
Можно показать, что при таком определении выполняются все обычные свойства показательной функции, например
, .
Покажем, что показательная функция (1.11) является периодической с периодом :
, .
Тригонометрические функции.По определению,
; ;; . |
(1.12) |
Можно показать, что при таком определении выполняются все известные формулы для тригонометрических функций, например,
, ,, и т.д.
Пример 1.16
Решить уравнение: .
Решение
, в это уравнение подставим выражение (1.5) для синуса, получим
, , где.
Гиперболические функции. По определению,
, ,, |
(1.13) |
Заменим в этих определениях z на, тогда получим
, .
Таким образом,
, |
(1.14) |
Если в формулах (1.8) заменитьzна, то получим
, . |
(1.15) |
Пример 1.17
Найти .
Решение
Из второго соотношения (1.14) следует, что
.
Пример 1.18
Найти .
Решение
Из первого соотношения (1.15) следует, что
.
Логарифмическая функция.
определяется как функция, обратная показательной функции, т.е. из уравнения
,
Отсюда следует определение логарифмической функции:
|
(1.16) |
Если положить k = 0 и наложить ограничение на, то получим однозначную ветвь логарифмической функции, которую называют главным значением логарифмической функции и обозначают
|
(1.17) |
Пример 1.19
,
, .
Отсюда следует, что
. Главное значение .
Пример 1.20
Найти .
Решение
= ==;
Окончательно,
Если положить k = 0, то получим главное значение логарифма
.